计算方法插值法(一)

1、1-18周，每周五课堂教学，逢双周五上机实习。2、最终成绩由期中考试(30%)、期末考试(30%)、上机作业（8次）＋课堂出勤率(40%)三部分组成。3、上机作业及考试通知等发到公邮中。任课教师：汪名怀

电邮：minghuai.wang@电话/p>

办公室：大气楼Ａ410

答疑时间:周五下午4：00-5：00助教：赵渊明教学安排上机实习作业１.提交时间：作业布置下来两周内（如无特殊情况，晚交的作业做零分处理。有特殊情况的，需要提前得到授课老师许可，一事一议）（一般是周三）。２.提交内容：书面报告、源代码、源代码流程图及运行结果截图３.源代码要求：简洁、清楚、有较好的注释（助教能够运行程序并复制结果）。４.完成作业要求：鼓励同学之间讨论、合作完成作业，但最终程序、报告需要自己独立完成。如和别的同学交流过，请在上交作业中列出一起合作交流过的同学名字。如发现上交作业雷同，雷同作业做零分处理。5.编程语言：尽量选择Fortran或C语言，不建议使用Matlab。上机作业邮箱：jsff2_nju@上节课内容

计算方法简介误差，误差来源，误差估计数值稳定性/误差的传播和积累数值计算一些注意原则浮点数(floatpointnumbers)计算机只能代表有限、离散的数字！现代计算硬件上用来表示数字的标准方法是二进制浮点数在计算机上的储存

这里位数（bit）指一个二进制位符号位尾数位指数位指数E的范围：[L,U]（基本决定了计算机能代表数字的范围）浮点数的IEEE标准现代计算机硬件上的浮点数标准来自IEEE的浮点数算法（采纳于1985）单精度：１符号位，23尾数位(~7个十进位数字），及8个指数位

单精度指数位数只有254个不同E值，其中一些位数用来代表一些特殊数字，如Inf(infinity,1/0),NaN(Notanumber,0/0,inf/inf)双精度：１符号位，52尾数位(~16个十进位数字），及11个指数位浮点数的IEEE标准：舍入误差

当x在计算机中要求超过p个尾数位时，引起舍入误差计算机中的估计值（绝对误差）Machineprecision相对误差更多浮点数的内容见：

/wiki/Floating_point#IEEE_754:_floating_point_in_modern_computers第二章插值法和数值逼近授课老师：汪名怀南京大学大气科学学院《计算方法》9如果想求不在表上的函数值，怎么办?问题提出:

1函数解析表达式f(x)

已知，但函数形式很复杂，不便于计算，但又需要计算多点处的函数值。表示两个变量x,y内在关系一般由函数式y=f(x)表示，但在实际问题中，通常有两种情况：2实验或测量得到的采样值（函数表），函数关系式y=f(x)未知，需要知道非采样点的值。构造一个新的x与y的函数关系式

ŷ=p(x)

代替原函数式y=f(x)

进行求解,称为函数逼近,即数据建模过程。便于计算，精度高

10函数逼近－插值法函数逼近的两种主要形式：插值、拟合是数值分析的基本工具，是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的

代数多项式11Def：P(x)是插值函数，f(x)为被插值函数（原函数）构造P(x)，使已知函数表插值节点插值条件三角函数有理函数非线性基本概念:

函数y=f(x)不知道或很复杂且满足12设代数插值多项式为即多项式Pn(x)

的系数a0，a1，a2，…，an满足线性方程组x1x0x2x3x4yx×××××代数多项式P(x)的是否存在？是否唯一？13由Cramer法则可知，a0,a1,a2,...,an有唯一解定理1.

的插值多项式

存在且唯一。若插值节点，则满足插值条件当n很大时，通过直接解线性方程组求插值多项式不是好方法!拉格朗日插值、牛顿插值、埃特肯插值、埃尔米特插值、样条插值14此插值问题可表述为如下：求作次数多项式，使满足插值条件

即为拉格朗日（Lagrange）插值。

拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是：把构造插值多项式的问题转化为构造n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)。

2.1

拉格朗日插值/*Lagrangeinterpolation*/－理论价值大于应用价值插值区间I=[min(x0,x2,…,xn),max]当所求插值点xI,称内插(Interpolation)当所求插值点xI,称外推(Extrapolation)15问题已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为y0,y1，求作一次式

L1(x)，使满足条件一、线性插值－点斜式y=L1(x)其几何意义为通过点A，B的一条直线2.1.1线性插值与抛物线插值（由已知节点的数量决定）适用情况：很小时已知两个节点x0,x116由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为称为线性插值(n=1的情况)表示为如下对称形式：其中，显然，称为插值基函数/*Lagrangebasis*/17

问题求作二次式

L2(x)，使满足条件二、抛物插值二次插值的几何解释是用通过三个点的抛物线来近似考察曲线，称为拋物插值。类似于线性插值，构造基函数，要求满足：已知三个节点18n=1

分别利用x0,x1以及x1,x2计算例：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50º，并估计误差。解：利用外推的实际误差≈-0.01001利用内插的实际误差≈0.00596内插通常优于外推。选择要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好19n=22次插值的实际误差≈0.00061高次插值通常优于低次插值2次插值>线性内插>线性外推插值点与节点靠近内插精度一般比外推高插值点适当多精度提高的条件：202.1.2拉格朗日n次插值多项式线性插值二次插值n次插值其中21求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)构造拉格朗日插值多项式例1:解：22拉格朗日插值多项式Ln(x)与原函数f(x)之间存在误差，那么怎样估计误差的大小？2.1.3插值余项（误差估计）/*Remainder*/23令设证明：

假设在区间（a,b）上f(x)的插值多项式为Ln(x)K(x)为待定系数显然在插值节点xi(i=0,1,…,n)上因此Rn(x)在（a,b）上至少有n+1个零点引入辅助函数24则有且依此类推1个零点n+1个零点25所以因此得证即26则注意:（1）余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能应用；（2）在（a,b）内的具体位置通常不可能给出，所以，设27例2:解:√28拉格朗日插值多项式的缺点：（1）插值基函数计算复杂（2）函数的高阶导数不易求（3）高次插值的精度不一定高拉格朗日插值多项式的优点：形式简单，有规律？与节点x

有关，而与

f无关注意：n,不收敛！29我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为缺点：缺少递推关系,计算量很大，每次如需要新增加插值节点，都要重新计算基函数,高次插值无法利用低次插值结果，从而引进牛顿插值多项式。

2.2

牛顿插值/*Newton’sinterpolation*/由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？显然线性无关，因此，可以作为插值基函数30得到31有为写出系数ak的一般表达式，现引入差商概念再继续下去待定系数ak的形式将更复杂32一、差商的定义2.2.1差商(均商)/*divideddifference*/称为f(x)关于节点xi,xj的1阶差商

/*the1stdivideddifference*/定义：设f(x)在互异的节点xi,xj处的函数值分别为fi

,fj

，则2阶差商：1阶差商

f[xi,xj]，f[xj

,xk

]的差商，即33二、差商的性质（请同学们自证）：性质1：k阶差商可以表示成k+1个函数值f(x0),f(x1),…,f(xk)

的线性组合，即依此类推，可用k-1阶差商来定义k阶差商34性质2：差商与节点xi的排列顺序无关！－即任意调换节点的次序，差商的值不变可用余项相等证明(插值多项式的唯一性)。性质3：三、差商表:3536根据差商定义，把x看成[a,b]上的一点，可得2.2.2牛顿插值/*Newton’sInterpolation*/n+1方程把后一项依次带入前一项，可得我们称Nn(x)为牛顿(Newton)插值多项式。

称Rn(x)为牛顿插值多项式的余项。37每增加一个节点，Newton插值多项式只增加一项38xyf(xi

,xj)f(xi

,xj

,xk)…f(x0,x1,…,xn)x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]………………xnf(xn)f[xn-1,xn]f[xn-2,xn-1,xn]…f[x0,x1,…,xn]差商表中对角线红色数值即Newton插值多项式中的各项系数39根据满足给定插值条件的插值多项式存在的唯一性，可得因此差商性质3例3:给定数据表f(x)=lnx

xi2.202.402.602.803.00f(xi)0.788460.875470.955511.029621.09861(1)用二次Newton差商插值多项式，近似计算f(2.65)的值(2)写出四次Newton差商插值多项式N4(x)

解:(1)差商表40N2(x)=0.87547+0.40020(x-2.40)-0.074125(x-2.40)(x-2.60)41(2)差商表42

2.3

差分与等距节点插值/*InterpolationFormulaewithEqualSpacing*/当节点等距分布时,向前差分/*forwarddifference*/向后差分/*backwarddifference*/可以证明43在等距节点的前提下