《二次函数图象与二次方程根的分布》学案

《二次函数的图象与二次方程根的分布》学案（一）．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2。（1）x1＞0，x2＞0EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,x1＋x2＝－\f(b,a)＞0,x1x2＝\f(c,a)＞0))，EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＞0,f(0)＝c＞0,b＜0))或\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＜0,f(0)＝c＜0,b＞0))上述推论结合二次函数图象不难得到。（2）x1＜0，x2＜0EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,x1＋x2＝－\f(b,a)＜0,x1x2＝\f(c,a)＞0))，EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＞0,f(0)＝c＞0,b＞0))或\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＜0,f(0)＝c＜0,b＜0))由二次函数图象易知它的正确性。（3）x1＜0＜x2EQ\f(c,a)＜0af（0）＞0（4）①x1＝0，x2＞0c＝0且EQ\f(b,a)＜0；②x1＜0，x2＝0c＝0且EQ\f(b,a)＞0。（二）．一元二次方程根的非零分布——k分布设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两实根为x1，x2，且x1≤x2。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即x1、x2相对于k的位置）有以下若干结论。（1）k＜x1≤x2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＞k))（2）x1≤x2＜kEQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＜k))。（3）x1＜k＜x2af（k）＜0。特殊地=1\*GB3①x1＜0＜x2ac＜0。=2\*GB3②x1＜1＜x2a（a＋b＋c）＜0。（4）有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f（k1）f（k2）＜0（5）k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2EQ\b\lc\{(\a\al(a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＜0,f(p1)＜0,f(p2)＞0))或\b\lc\{(\a\al(a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＞0,f(p1)＞0,f(p2)＜0))（6）k1＜x1≤x2＜k2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＞0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))或\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＜0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))由于二次函数图象与轴交点的横坐标即为二次方程的根，所以我们通常可借助二次函数的图象来讨论二次方程的实根分布情况。题型一、二次函数的最值问题例1、求在区间上的最大值和最小值。［分析］解决这类问题的关键是判别函数的定义域各区间上的单调性，再利用函数的单调性解决问题。［评注］（1）利用单调性求最值或值域应先判断函数在给定区间上的单调性。（2）求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图象解答。例2、已知函数在区间上的最大值为1，求实数的值。分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数是否为零，如果的最大值与二次函数系数的正负有关，也与对称轴的位置有关，但f（x）的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必须用讨论法。［评注］这里函数的最大值一是与的符号有关。另外也与对称轴和区间的端的远近有关，不分情况讨论就无法确定题型二、一元二次方程的实根分布问题例3、（1）关于的方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求的取值范围；（2）关于的方程有两实根都在内，求的取值范围；（3）关于x的方程有两实根在外，求m的取值范围（4）关于的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，求的取值范围.解（1）（2）（3）（4）[评注]求解二次方程根的分布问题，结合二次函数图象，主要考虑三个方面的问题（1）判别式（2）对称轴（3）区间端点函数值题型三、二次函数的综合问题例4、已知二次函数．（1）若a＞b＞c，且f（1）＝0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；（2）m∈Rf（m）＝－a（3）若对，方程有2个不等实根，解:（1）的图象与x轴有两个交点.（2），∴1是的一个根，由韦达定理知另一根为，∴在（1，＋∞）单调递增，，即存在这样的m使（3）令，则是二次函数.有两个不等实根，且方程的根必有一个属于.例5、（1）已知函数，若有解，求实数的取值范围；（2）已知，当时，若恒成立，求实数的取值范围。解：（1）有解，即有解有解有解所以（2）当时，恒成立又当时，，所以【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）恒成立；（2）恒成立;（3）有解；（4）有解例6:（1）若函数在区间上有意义，求实数的取值范围；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围。解：（1）由题意知，当时，恒有，即恒有.又因为在上单调递增，所以，所以（2）由题意知，不等式，即的解是，易解得，，则，解方程，得[评注]“有意义”与“定义域”是两个不同的概念。一般地，在某个条件下函数“有意义”，是指在该条件下，使得函数有意义的某个式子总成立；而若某个条件为函数的“定义域”，则是指使得函数有意义的自变量的范围就是该条件。小结：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力．习题四1．设，二次函数的图象为下列之一：则的值为（）A．1 B． C． D．2．方程的两根都大于2，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．函数是单调函数的充要条件是（）4、若关于的方程在（0，1）内恰有一解，求实数的取值范围。5、已知关于的方程，探究为何值时（1）方程有一根（2）方程有一正一负两根（3）两根都大于1（4）一根大于1一根小于16、已知二次函数的两个零点且其图象的顶点恰好在的图象上。（1）求的解析式。（2）设在的最小值为，求的表达式7、设，若0，求证：（1）方程有实根；（2）；（3）设是方程的两个实根，则8、已知二次函数设不等式的解集为A，又知集合若，求的取值范围。9、（1）求的值域（2）关于的方程有解，求实数的范围。10、已知函