《数据的数字特征》设计

5.1.2数据的数字特征【教学目标】1.会求一组数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、方差.2．理解上述数字特征的意义，并能解决与之相关的实际问题．【教学重点】会求一组数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、方差.【教学难点】理解上述数字特征的意义，并能解决与之相关的实际问题．【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数(1)最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．(2)平均数①公式：指样本数据的平均数，即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝eq\f(1,n)一般地，利用平均数的计算公式可知，如果x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为aeq\o(x,\s\up6(－))＋b.②求和的性质(xi＋yi)＝＋；(kxi)＝k；＝nt.(3)中位数一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称eq\f(xn＋xn＋1,2)为这组数的中位数．(4)百分位数①定义直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数．中位数就是一个50%分位数．②意义一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值．规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．(5)众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．2．极差、方差、标准差数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．(1)极差一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．(2)方差如果x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，则方差可用求和符号表示为s2＝eq\f(1,n)(此时，如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.(3)标准差方差的算术平方根称为标准差．思考：方差与标准差的大小与样本数据有什么关系？[提示]标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．小试牛刀1．求下列一组数据1,2,2,3,4,4,5,6,6,7的第30百分位数()A．2B．3C．4D．2.5解析：这组数据共10个，10×30%＝3即第30百分位数是第3项数据．答案：A2．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数C．中位数<众数<平均数D．众数＝中位数＝平均数解析：平均数、中位数、众数皆为50，故选D.答案：D某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表：鞋号3435363738394041数量/双259169532如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是________．①平均数；②众数；③中位数；④方差．解析：鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数．由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据的众数为37.答案：②4．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．解析：由题意知eq\f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.所以样本方差为s2＝eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：2例题讲解百分位数的计算例1计算甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．序号1234567891011121314151617181920甲组1222233355668891010121313乙组00001123456677101414141415【解析】因为数据个数为20，而且20×25%＝5,20×75%＝15.因此，甲组数的25%分位数为eq\f(x5＋x6,2)＝eq\f(2＋3,2)＝2.5；甲组数的75%分位数为eq\f(x15＋x16,2)＝eq\f(9＋10,2)＝9.5.乙组数的25%分位数为eq\f(x5＋x6,2)＝eq\f(1＋1,2)＝1；乙组数的75%分位数为eq\f(x15＋x16,2)＝eq\f(10＋14,2)＝12.求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出i＝n×p%，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例值．当堂练习1某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.计算出学生甲、乙的第25,50的百分位数．解析：把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得甲：65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110.乙：78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,114.由13×25%＝3.25,13×50%＝6.5.可得数据的第25,50百分位数为第4,7项数据，即学生甲的第25,50的百分位数为76,88.学生乙的第25,50的百分位数为86,98.平均数、中位数、众数[例2]据报道，某公司有33名职工，他们所在部门及相应每人所创年利润(单位：万元)如下表所示：部门ABCDEFG人数11215320每人所创年利润5.553.532.521.5(1)求该公司职工每人所创年利润的平均数、中位数、众数．(2)假设部门A每人所创年利润从5.5万元提高到30万元，部门B每人所创年利润由5万元提高到20万元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(3)在(2)的条件下，你认为哪个统计量更能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平？[解](1)eq\x\to(x)＝eq\f(5.5＋5＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×20,33)≈2.1(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元．(2)eq\x\to(x)′＝eq\f(30＋20＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×20,33)≈3.3(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元．(3)中位数或众数均能反映该公司职工每人所创年利润的平均水平．这是因为公司中少数人每人所创年利润与大多数人每人所创年利润差别较大，这样导致平均数与中位数或众数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平．方法总结1．求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计．2．求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数．3．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．当堂练习2某电冰箱专卖店出售容积为182L、185L、228L、268L四种型号的同一品牌的冰箱，每出售一台，售货员就做一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185和11个182组成的数据．(1)这组数据的平均数有实际意义吗？(2)这组数据的中位数、众数分别是多少？(3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数？【解】(1)这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值．(2)这组数据共有110个，中位数为228，众数为228.(3)专卖店总经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228L型号的冰箱销售量最大，它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些．方差与标准差的应用例3甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．【解析】(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定.方法总结1．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．2．关于统计的有关性质及规律：(1)若x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\x\to(x)＋a；(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等；(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.当堂练习3某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)：甲9582888193798478乙8375808090859295(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．(2)由(1)知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝85分，所以seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4