工程电磁场高斯定律

1-2高斯定律根据物体的静电表现，可分为三类：导电体（导体）、绝缘体（电介质）、半导体。1.导体存在大量的可自由移动的电荷conductor2.绝缘体理论上认为一个自由移动的电荷也没有也称电介质

dielectric3.半导体介于上述两者之间semiconductor一.导体的静电平衡条件1.静电平衡electrostaticequilibrium导体内部和表面无自由电荷的定向移动，说导体处于静电平衡状态。2.导体静电平衡的条件

4.导体表面上的E必垂直于表面。

5.导体如带电，电荷只能分布于其表面。

3.导体为一等位体，导体表面必为等位面。导体静电平衡时，导体各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面。证：在导体上任取两点和导体等势是导体体内电场强度处处为零的必然结果静电平衡条件的另一种表述

二、电介质及其极化polarization+-+-无外场时：有电场时:电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度,排列愈有序说明极化愈烈单个电偶极子电位：内多个电偶极子电位：1.极化介质所产生的电位2.描述极化强弱的物理量--极化强度宏观上无限小微观上无限大的体积元定义单位每个分子的电偶极矩其中：

实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中

—电介质的极化率体积V内电偶极子产生的电位矢量恒等式：3.极化强度与极化电荷的关系电荷守恒定律：电介质对电场的影响可归结为极化化后极化电荷或电偶极子在真空中所产生的作用。极化电介质所产生的电位等于电荷面密度为的面积电荷与电荷体密度为的体积电荷共同产生的电位。三、电通量(electricflux)藉助电力线认识电通量通过任一面的电力线条数匀强电场通过任意面积元的电通量通过任意曲面的电通量怎么计算？把曲面分成许多个面积元每一面元处视为匀强电场通过闭合面的电通量讨论正与负取决于面元的法线方向的选取如面元正方向向上知>0若如红色虚线箭头所示则<0S规定：面元方向由闭合面内指向面外确定的值S>0<0电力线穿入电力线穿出四、静电场的高斯定理Gausstheorem在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和。除以静电平衡条件导体上电荷的分布由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质，可以得出导体上的电荷分布。导体体内处处不带电证明：在导体内任取体积元由高斯定理体积元任取证毕导体带电只能在表面！例1均匀带电球面根据电荷分布的对称性，选取合适的高斯面(闭合面)解:取过场点的以球心o为心的球面总电量为半径为求：电场强度分布先从高斯定理等式的左方入手先计算高斯面的电通量再根据高斯定理解方程过场点的高斯面内电量代数和?><><如何理解面内场强为0?过P点作圆锥则在球面上截出两电荷元在P点场强方向如图在P点场强方向如图平面角：由一点发出的两条射线之间的夹角单位：弧度补充：立体角的概念为半径的弧长取一般的定义：射线长为线段元对某点所张的平面角平面角立体角面元dS对某点所张的立体角：锥体的“顶角”单位球面度对比平面角，取半径为球面面元定义式弧度计算闭合曲面对面内一点所张的立体角球面度计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角平面例2均匀带电的无限长的直线线密度对称性的分析取合适的高斯面计算电通量利用高斯定理解出例3金属导体静电平衡时,体内场强处处为0求证:体内处处不带电证明：在导体内任取体积元由高斯定理体积元任取证毕解:真空中的高斯定律例4真空中无限大的带电平面，面密度为，求距平面x处的电场强度。积分得：解得：一般形式的高斯定理极化电荷证：已知真空中：已知：定义：得：U

例1-7单心电缆如图，内外导体之间介质有两种，两导体间电压为U，求其电场分布。P17o解：在绝缘体中任意取一点P，到O点距离为ρ，过P点作同轴圆柱面，高为l，再在该面上下加两个“盖”，这样就形成一个“高斯面S”,由于上下“盖”上没有D垂直穿过，因此应用高斯定律：分别分析各层绝缘体中的电场强度为：由于电压为已知，可以由电压的计算公式：从而消去τ：于是绝缘体中场强为：通过两个场强的公式发现：ρ＝ρ1时，E1最大ρ＝ρ2时，E2最大取ε1ρ

1＝ε2

ρ2时，E1＝E2且等于若单层绝缘的话，最大场强等于解:真空中的高斯定律习题：真空中无限大的带电平面，面密度为，求距平面x处的电场强度。P5，例1-2积分得：解得：1-3基本方程、分界面上的衔接条件1.3.1基本方程(BasicEquation)静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。BasicEquationandBoundaryCondition静电场的基本方程为微分形式（旋度、散度）积分形式（环量、通量）构成方程例1-9在真空中设半径为a的球内分布着电荷体密度为的电荷，已知球内场强为式中A为常数，求及球外的电场强度。球坐标系下:代入得：解：（1）球内，利用微分形式高斯定律：（2）球外,利用积分形式的高斯公式得：包围点P作高斯面()。1.3.2分界面上的衔接条件（BoundaryCondition)1.D的衔接条件（通量条件）则有根据D的法向分量不连续当时，D的法向分量连续。介质分界面围绕点P作一矩形回路()。

E的切向分量连续。根据则有3.折射定理当交界面上时，折射定律

介质分界面2.E的衔接条件（环量条件）4、的衔接条件设P1与P2位于分界面两侧，

因此电位连续得电位的法向导数不连续由，其中电位的衔接条件说明（1）导体表面是等位面，E线与导体表面垂直；

导体与电介质分界面

解:分界面衔接条件导体中E＝0，分解面介质侧（2）导体表面上任一点的D等于该点的。

试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。解：忽略边缘效应图(a)图(b)例

试求两个平行板电容器的电场强度。平行板电容器作业：P24：1-3-3P67：1-2P68:1-8(1)/(3)/(4)1.4边值问题、惟一性定理1.4.1泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程—拉普拉斯算子拉普拉斯方程当r=0时边值问题微分方程边界条件初始条件场域边界条件分界面衔接条件

强制边界条件有限值自然边界条件有限值泊松方程拉普拉斯方程1.4.2边值问题场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件)2）第二类边界条件（诺依曼条件)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上导体的电位已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度或电力线)例1-12试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。

（阴影区域）图缆心为正方形的同轴电缆

解：根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题1.4.3惟一性定理（UniquenessTheorem)惟一性定理：在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的。解析法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法数值法1.8.1电容器的电容（CapacitanceofCapacitor)CapacitanceandDistributedCapacitance1.8电容及部分电容定义：单位：

电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。

工程上的电容器：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。电容的计算思路：设解：设内导体的电荷为q，则同心球壳间的电压球形电容器的电容当时（孤立导体球的电容）例1.8.1试求同心球壳电容器的电容。图同心球壳电容器思考：无限长同轴导体圆柱面间的电容如何计算？1.8.2部分（分布）电容（DistributedCapacitance)图三导体静电独立系统多导体系统静电独立系统部分电容基本概念导体的电位与电荷的关系为约束条件1.已知导体的电荷，求电位和电位系数导体i电位的贡献；

ai

i

—自有电位系数，表明导体i上电荷对

a—电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；

ai

j—互有电位系数，表明导体j上的电荷对导体i电位的贡献；ai

j=aji

矩阵形式2.已知带电导体的电位，求电荷和感应系数

b—静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；

bii—自有感应系数，表示导体i电位对导体i电荷的贡献；

bij—互有感应系数，表示导体j电位对导体i电荷的贡献。βij＝βij矩阵形式：3.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容矩阵形式部分电容的性质静电独立系统中n＋1个导体有个部分电容Ci

j均为正值，

部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力

线相连；

部分电容可将场的概念与电路结合起来。图部分电容与电容网络所以静电屏蔽在工程上有广泛应用。静电屏蔽

三导体系统的方程为：

4.静电屏蔽当时，

说明1号与2号导体之间无静电联系，实现了静电屏蔽。1.9静电能量与力1.9.1静电能量(ElectrostaticEnergy)ElectrostaticEnergyandForce1.用场源表示静电能量q3从移到c点，所需能量q2从移到b点，需克服q1的电场力做功，q1从移到a点不受力，所需能量W1=0，点电荷的能量总能量推广1：

若有n个点电荷的系统，静电能量为单位：J（焦耳）推广2：

若是连续分布的电荷，

2.用场量表示静电能量矢量恒等式能量密度因当时，面积分为零，故能量1.9.2静电力(ElectrostaticForce)1.虚位移法(VirtualDisplacementMethod)功=广义力×广义坐标广义力f：企图改变广义坐标的力。广义坐标g：距离、面积、体积、角度。力的方向：f的正方向为g