工程光学第二章

第二章：共轴球面光学系统

2.1基本概念与符号规则2.2单个折射球面成像2.3单个反射球面成像2.4共轴球面光学系统成像球面系统：由球面透镜和球面反射镜组成的光学系统(P9)平面镜：半径无限大的球面(图解分析)光轴：所有球面球心的连线为光学系统的光轴共轴球面系统：光轴为一条直线的球面光学系统共轴球面系统便于计算，只要依次求出个光学元件的折射光线即可只需根据几何光学基本定律（第一章），在已知光学系统结构参数的条件下，求解物或者像的位置和大小。基本概念2.1基本概念与符号规则常用符号n、n’——折射率

r——球面的曲率半径

y——

物体的大小

y’——

像的大小

I——光线的入射角

I’——光线的折射角

L——物体到折射面或反射面的距离（物方截距）

L’——折射面或反射面到像的距离（像方截距）

U——入射光线和光轴的夹角（物方孔径角）

U’——出射光线和光轴的夹角（像方孔径角）

——光轴与法线的夹角O——顶点（光轴于折射球面的交点）-Lo

入射角、折射角通过球面切线来计算符号规则光线行进方向：从左向右为正向光路，否则为逆向光路。线量符号： 沿轴线段：以球面顶点O为原点，与光线行进方向相同者为正，与光线行进方向相反者为负。 垂轴线段：以光轴为界，在光轴之上为正，在光轴之下为负。

角度符号（一律以锐角来衡量）：

(1)

光线与光轴的夹角：光轴转向光线，顺时针为正，逆时针为负。

(2)光线与法线的夹角：光线转向法线，顺时针为正，逆时针为负。

(3)光轴与法线的夹角：光轴转向法线，顺时针为正，逆时针为负。-Lo图上标注的，包含负号，永远是正的！！AA’清楚地描述物像的虚实和正倒：物在左：负物距——实物；右：正物距——虚物；像在右：正像距——实像；左：负像距——虚像；物高y像高y’代数值符号相反——倒像；符号相同——正像；符号规则的意义2.2单个折射球面成像单折射球面成像的光路计算光线通过光学系统时是逐元件折、反射，设计计算也是逐元件依次进行，故首先讨论单个折射面。然后再逐面过渡到整个光学系统。

-Lo为何首先学习单折射面成像单折射球面成像的光路计算光路计算方法P14推导-LoACA’E在AEC和A’EC中运用正弦定理光路计算目的：已知物方的L、U、，系统的n、n’，r，能计算出像方的L’和U’P15推导推导时注意符号单折射球面成像的光路计算轴上点无限远时的计算hA’oE-LoACA’EC单折射球面成像的光路计算近轴光线光路的计算光线孔径角很小所以：近轴区轴上点无限远第四式单折射球面成像的光路计算近轴区的特点

近轴区等效于（细光束成像）+（物体很靠近光轴）结论：当L已定，不同的U，得出不同的I，不同的I得出不同的I’和U’，最终得出不同的L’近轴区成像的物像关系练习证明：（1）（2）（3）（4）（4）把（3）代入（1）近轴区成像近似认为轴上物点无限远l无限远时，近似认为（5）（6）（5）、（6）带入（1）单折射球面成像的光路计算近轴区的特点对于一个确定位置的物体，无论u为何值，l’均为定值，即近轴光路能获得唯一像。即：l’与u无关，与l有关。

近轴区内以细光束成像都是完善的，该像称为高斯像，通过高斯像点且垂直于光轴的平面称为高斯像面，A与A’点称为共轭点。

证明做为作业和（1）-（4）式说明：与光轴夹角很小的光线可以近似认为是来自轴上物点无限远（放大镜点火柴、相机拍摄风景）近轴区成像的物像关系

由前面公式可推出：

第一式中，称为阿贝不变量；第二式表明了物、像孔径角的关系；第三式表明了物、像位置关系。反映近轴光路成像获得唯一像-LoACA’E光焦度越大，折光能力越强物方焦距像方焦距已知一折射球面其r=36.48mm，n=1，n’

=1.5163。轴上点A的截距L=-240mm，由它发出一同心光束，今取U为-1°、-2°、-3°的三条光线，分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’

和像方倾斜角U’）AEOCnn’-240mm例题

U=-1°:U’=1.596415°L’=150.7065mm

U=-2°:U’=3.291334°L’=147.3711mm

U=-3°:U’=5.204484°L’=141.6813mm利用书上（2-1）-（2-4）可得：

可以发现：同一物点发出的物方倾斜角不同的光线过光组后并不能交于一点轴上点以宽光束经球面成像时，存在像差。AEOCnn’-240mm即所成像是不完善的！仍用上例的参数，r=36.48mm,n=1,n’=1.5163，l=-240mm,sinU=u=-0.017（1°），求：l’,u’

与大L公式计算的结果比较：L’=150.7065mm.（1°），通过工程近似实现所要求精度。例题近轴区成像的放大率和传递不变量垂轴放大率

β>0，与同号，成正像，反之倒像。

β>0，与同号，物像虚实相反，反之虚实相同。|β|>1，放大像，反之缩小像。

ABC相似于A’B’C’垂轴小物体成像练习：推倒垂轴放大率公式，寻找p17推倒中的错误近轴区成像的放大率和传递不变量轴向放大率

α

恒为正，物点沿轴向移动时，其像点沿同方向

移动。两放大率关系近轴区成像的放大率和传递不变量角放大率

表示折射面将光束变宽或变窄的能力近轴区成像的放大率和传递不变量三种放大率间的关系

表示折射面将光束变宽或变窄的能力三者之间关系拉格朗日-赫姆霍兹不变量：

y’增大，u’减小：应用：调节照相机公式中无法推出近轴区成像的放大率和传递不变量三种放大率与物体成像的关系

是有符号数，具体表现为成像正倒：当>0时，表明y’、y同号，成正像；否则，成倒像。成像大小：当||＝1时，表明|y’|=|y|，像、物大小一致；||>1时，表明|y’|>|y|，成放大的像；反之，成缩小的像。成像虚实：当>0时，表明l’、l同号，物像同侧，虚实相反；否则，物像异侧，虚实相同。当物体位于不同的位置时，不同。因恒为正，故当物点沿轴向移动时，其像点沿光轴同向移动；且因≠，故空间物体成像时要变形，例如一正方体成像后将不再是正方体。只与共轭点的位置有关，

而与光线的孔径角无关。

例2.1解释了图2.6，说明平面物体即是细光束成像也不可能得到完善的平面像

已知一个光学系统的结构参数，r=36.48mm,n=1,n’=1.5163l=-240mm,y=20mm已求出：l’=151.838mm，现求β,y’,分析所成像的正倒、虚实。解：β<0：|β|<1：缩小倒立、实像、两侧练习上例中，若l1=-100mm,

求像的位置和大小,分析所成像的正倒、虚实。当l1=-100mm时： l1’=365.113mm

β1=-2.4079 y1’=-48.1584mm放大倒立实像，两侧利用公式例题

当l2=-30mm时：

l2’=-79.0548mm

β2=1.7379y2’=34.7578mm放大正立虚像同侧上例中，若l2=-30mm,

求像的位置和大小,分析所成像的正倒、虚实。

近轴区内成像时，一侧的物体离原点距离改变时，物体像的大小和虚实可能发生改变

2.3单个反射球面成像单反射球面成像的光路计算折射角的正弦与入射角的正弦之比与入射角的大小无关，仅由两种

介质的性质决定，即：通常写为:

若在此式中令，则上式成为

,此结果在形式上与反射定律公式相同。

所以反射可认为是时的单个折射球面镜折射成像，即为单个反射球面镜成像。球面透镜成像转化为球面反射镜成像单反射球面成像的光路计算成像公式物像位置公式成像放大率物点位于球心时单反射球面成像的光路计算成像公式a<0恒为负，所以物体沿光轴移动时，像总是以相反方向移动。，通过球心的光线沿原光路反射。（图解法）反射球面镜的焦距等于球面半径的1/2。

物像不同侧，成正像；反之。（2-25第一式）

球面镜的拉赫不变量成像特点物点位于球心时过渡公式2.4共轴球面光学系统成像k个折射面组成k个子系统，前一子系统的像是后一子系统的物。（第一章：物像相对性）拉赫不变量推导时注意正负号若有反射镜则不成立成像放大率共轴球面系统单折射球面练习一束平行细光束入射到一半径r=30mm、折射率n=1.5的玻璃球上，求其会聚点的位置？如果在凸面镀反射膜，其会聚点应在何处？

（1）首先考虑光束射入玻璃球第一面时的状态，使用高斯公式：会聚点位于第二面后15mm处。解：该题可以应用单个折射面的高斯