第四章平面问题的极坐标解答

第四章平面问题极坐标解法

§4-1极坐标中的基本方程与边界条件

§4-2极坐标中的应力函数相容方程

§4-3应力轴对称问题及其相应的位移

§4-4圆环或圆筒问题

§4-5曲梁的纯弯曲

§4-6含小圆孔平板的拉伸

§4-7楔形体在楔顶或楔面受力

§4-8轴对称问题的位移解法

在求解弹性力学问题时，无论选取什么形式的坐标系都不会影响问题本质的描述，但却涉及到解决问题的难易程度。在平面问题中，对于圆环、楔形、扇形之类的物体，用极坐标比用直角坐标方便得多。这时，物体的边界线与坐标线重合，边界条件的形式最为简单。在极坐标系中，平面内任一点的位置由径向坐标r和环向坐标表示。在平面上r不变的曲线称为坐标曲线，它是以原点为圆心的圆；平面上不变的曲线称为r坐标曲线，它是过O点的直线。

在极坐标中，由于两切线相互垂直，所以极坐标是一种正交曲线坐标。过这一点沿r和增加的方向引两条坐标曲线的切线矢量，就构成了该点的一个局部标架。

随点的位置不同局部标架的方向将发生变化。图4-1在极坐标系中，应力分量、应变分量、位移分量和外力分量的定义、记号和正负号都是参照局部标架来定义和规定的。比如r面上的正应力，用表示，称为径向正应力，其上剪应力用表示。面上的正应力，用表示，称为环向（或切向）正应力，其上剪应力表示为.图4-2§4-1极坐标中的基本方程与边界条件

1.平衡微分方程

根据极坐标的特点，用两个同心圆柱面和两个径向平面从弹性体中截出一个扇形微单元体PABC。由于单元体尺寸很小，可以认为各微面上的应力是均匀分布的。按泰勒级数展开，在两个弧面上，由于有位置dr的变化，其上相应的正应力和剪应力的变化量为和;同样两个径向平面由于位置差d，其上正应力和剪应力的变化分别为和;

微元体的体力:下面研究微元体的平衡，将微元体上所受的力向微元体中心的径向方向投影，得径向平衡方程：将微元体上的作用力向中心的切向方向投影，得切向平衡方程：将微元体上的作用力对中心取矩得:剪应力互等仍然成立.由于d是个小量，故有和

简化以后，除以，再略去高阶小量，得:这就是平面问题极坐标下的平衡微分方程。2.几何方程

下面考察过物体内一点P的两个正交线元的变形。和分别表示线元PA和PB的相对伸长，即径向和切向正应变，表示该两个正交线元直角的变化，即剪应变。分别表示P点的径向和环向位移。假定正交线元PA、PB的变形分两步完成：第1步：只有径向位移，而没有环向位移（图4-4(a)）。这时，径向线元PA移到PA，环向线元PB移到PB。；P点的位移为B点的位移为A点的位移为径向线元PA的正应变：环向线元PB的正应变:直角的变化（剪应变）:第2步：只有环向位移，而没有径向位移（图4-4(b)）。径向线元PA移到，环向线元PB移到。P点的位移：A点的位移：B点的位移：径向线元PA的正应变：环向线元PB的正应变：直角的改变量（剪应变）：将（3）～（5）三式与（6）～（8）三式分别叠加，得物体的任一点P的应变：这就是极坐标平面问题几何方程。3.本构方程由于极坐标与直角坐标都是正交坐标，只是通过同一点的两组坐标架相对转动了一个角度，而材料又是各向同性的，与方向无关。所以，只须将直角坐标下本构方程中的x、y用r、替换即得极坐标下的本构方程如下：或者

4.边界条件

力的边界条件：这里的外法线方向余弦（l,m）是对局部标架定义的，、表示沿r和方向的给定面力分量。

位移边界条件：§4-2极坐标中的应力函数相容方程已知在直角坐标中的相容方程为（常体力），式中拉普拉斯算子同样，在极坐标系中，也可得到类似的应力函数表示的控制方程，为了导出极坐标下的相容方程，最简单的办法是对算子进行变换。直角坐标与极坐标的关系如下：或

将r和分别对x、y求偏导数：根据复合函数求导的链式法则，并引用（2）式得由此，对坐标x、y的二阶偏导为：将和相加得：代入在常体力下的相容方程，于是得极坐标中的应力函数表示的相容方程：式中，为应力函数。应力函数与应力分量之间的关系，可按下述方法导出。我们注意到，当时，x、y轴分别与r、轴重合，此时应力分量分别与应力分量对应用极坐标按应力函数法求解常体力平面问题，就是寻求满足边界条件的微分方程（4-7）的解。求出应力函数以后，代入（4-8）式可得问题的应力解，在多连体中，这些应力分量还要满足位移单值的附加条件。§4-3应力轴对称问题及其相应的位移在工程中，常常会遇到结构的形状和所承受的外力不随极角变化的问题。例如火炮炮筒、高压容器、气缸、旋转圆盘等。在这类问题中，由于结构及受力均对称于它的中心轴(z)，故其应力只与r有关，与极角无关，由于对称性，只有正应力，而剪应力为零，称此类问题为平面轴对称问题。对于象曲杆纯弯曲这类问题，其应力也具有这种特点(与θ无关)，但结构不具有对称性，称为应力轴对称问题。由应力分布的上述特点，可假设应力函数形式为：相容方程：展开上式得：这是一个变系数欧拉方程，其通解为式中，A、B、C、D是待定系数。将代入式（4-8），得应力分量：位移分量：将（4-9）式代入本构方程（4-3）得应变分量为几何方程：积分可得位移分量：（2）将（4-10）的第2式及（2）式代入几何方程的第二式：积分得：将式（2）和式（3）代入几何方程第三式：（3）若要上式恒定成立，只可能是两边都等于某个常数F，于是有（4）由上式解得：将（4（b））两边对求导，方程变为：

其解：则由式（4(b)）得：轴对称应力相应的位移分量：（4-11）式中，A、B、C、H、K、I为待定系数，由边界条件和约束条件确定。式（4-9）表明，待定系数H、K、I与应力无关，它们代表刚体位移。对应于无应力状态的位移为：（8）下面讨论待定系数H、K、I的物理意义。首先，从图4-5的投影关系中可以得到，直角坐标下的位移与极坐标下位移的关系为：（4-12）将（8）代入（4-12）得可见，I、K分别是物体沿x和y方向的刚体平移，H的意义可参见图4-6，它代表绕对称轴的刚体转动。一般地，与轴对称应力相对应的位移不是轴对称位移。但如果物体的几何形状、载荷和约束是轴对称的，则必为轴对称位移，即则由（4-11）式，有代入（4-9）式得应力：位移：如果物体是实心的，由于中心处的应力不可能是无限大，故此时，应力分量为：此式表明，具有轴对称几何和载荷作用的实心物体，其应力场为均匀应力场。§4-4圆环或圆筒问题

1受内、外压作用的圆环或圆筒圆环或厚壁圆筒，内半径为a，外半径为b，内部受均压外部受均压，求应力分量。图4-7由于结构和载荷的对称性，其应力解为：解：边界条件：其中边界条件：已自动满足由其余二式得：解之得：应力分量：

2.圆筒受内压，外边界给定位移约束圆筒内半径为a，外半径为b，受内压q作用，外边界固定。这是一个混合边值问题。边界条件：解:图4-8显然，已自然满足将（4-13）第一式和（4-14）第一式分别代入其余两式，并注意到在平面应变问题中由此可解得：应力分量：位移分量：3.弹性接触问题

设一圆筒，其内径为a，外径为b，埋在无限大弹性体中，内部受均压q，求应力分量.设圆筒上的应力分量：解：位移分量：弹性常数：无限大弹性体中的应力分量：图4-9位移分量：弹性常数：对两个结构，应力和位移均为轴对称，于是可采用公式（4-13）和（4-14）。但由于弹性常数不同，上式中，两个结构对应的待定系数也不同，对于圆筒设其为A、C；对于无限大弹性体，设其为。圆筒应力：无限大弹性体应力：现在利用边界条件和接触条件来确定这4个待定未知数。（4）（5）（ⅰ）圆筒：＝＞对于无限大体，按照圣维南原理，圆孔内壁（r=b）所受的内压是平衡力系，在应力应为零，即由此得（ⅱ）对于无限大体边界条件和接触条件：（6）（7）（ⅲ）接触条件：将式（4）和（5）代入上式，得（8）由（4-14）的第1式，并注意到（7）式，圆筒和无限大弹性体的径向位移为代入连续条件，经整理得（9）由方程（6）（8）（9）可求出A、C、A，

圆筒及无限大弹性体的应力分量和位移分量：无限大弹性体：式中当时，应力分布大致如图4-9所示。这个问题是一个最简单的弹性接触问题。在接触问题中，通常都假定各弹性体在接触面上保持“完全接触”，即，既不互相脱离也不互相滑动。应力方面的接触条件是：两弹性体在接触面上的正应力相等，剪应力也相等；位移方向的接触条件是：两弹性体在接触面上的法向位移相等，切向位移也相等。§4-5曲梁的纯弯曲狭长矩形截面的圆弧形曲梁，内半径为a，外半径为b，两端受有大小相同，方向相反的力矩M作用，如图4-10所示。力的平衡条件可知，梁的所有各径向截面上的弯矩相同，因而可认为各截面上的应力分布也相同，即曲梁的纯弯曲是一个应力轴对称问题。解:由于其几何结构不满足轴对称条件，故应力分量和位移分量应采用关系式（4-9）和（4-11）。其中待定常数A、B、C通过边界条件来确定，在曲线边显然条件能自然满足。将式（4-9(a)）代入其余两个条件，得(ⅰ)上端面边界条件:（3）（2）注意到该面为负面，其应力边界条件为：由于故（4(a)）式自然满足。下面讨论边界条件（4(b)）。（4）在轴对称应力问题中，应力分量：由此，（4(b)）式左边积分可以改写为（5）显然，如果（2）、（3）式能够满足，则上式为零，即边界条件（4(b)）也得到满足，故下面不必考虑。将（5（b））式代入边界条件（4(c)）积分后，得（6）由式（2）、（3）、（6）式解得（7）其中应力沿径向截面的分布规律大致如图4-11所示。将所得到的A、B、C代入式（4-11）中，即可求得曲梁受纯弯曲时的位移分量，其中待定系数H、K、I由约束条件来确定。假设梁在上端面的中点，即在应用式（4-11）可定出积分常数将（7）和（8）式代入（4-11），即可得到位移分量。其中环向位移（8）（4-20下面考察一个例子:设开口圆环，其开口为的微小角度，如图4-12所示。现将两端用焊接方法接合起来,试求焊接后圆环内的应力。图4-12此结构的的受力情况，相当于在某外力作用下产生的位移使其刚好闭合，即应满足位移连续条件：解：（9）条件自动满足，而由式（4-20）可得解得将B代回（7（b））式得到将缺口用焊接方式强行焊合时在环内引起的内力矩M，进一步代入式（4-19）就求得其中的应力分量，即圆环的装配应力。§4-6含小圆孔平板的拉伸考虑一个内部有一圆孔的平板，圆孔的半径为a，相比较于平板的长和宽是一个小量，即相对于圆孔，平板可看作无限大，平板两端受有均匀拉力q，如图4-13所示。图4-13解：在该问题中，外边界是直线边界，内边界为圆曲线边界，这样直接求解，有一定困难。通过下述分析，我们可以将其转换为圆环问题，在极坐标下求解。与无孔板比较，由于圆曲线内边界仅是该问题的很小一部分边界，由圣维南原理可知，在离边界足够远的地方，应力将不受该段边界条件的影响。由此，可在平板上取一与圆孔同心半径为b的大圆，b>>a。这时，大圆上每一点应力分量由受单向均匀拉伸的无孔板应力场确定，即大圆边界上有由应力坐标变换公式：可得到用极坐标表示的形式将外载荷分为如下两组：（1）（2）原问题转化为如下新问题，在外边界上：显然，第一组面力所对应的问题是圆环外边界受均匀拉力的问题，由（4-15）式，该问题的解答是。第二组面力所对应的问题较为复杂，可从其所受面力分析入手。在外边界上边界条件为：在内边界上，无外力作用，边界条件为：（4（a））（4（b））由应力函数与应力分量的关系：（4-8）可以看出，要满足外边界条件（4(a)），则应力函数中应当含有因子。而从内边界到外边界和都是变化的，即与r有关，是r的函数，由此可假设，应力函数：

必须满足相容方程，则：

（5）这是欧拉型常微分方程，求解可得（6）将应力函数（6）代入（4-8）得应力分量：代入边界条件（4）得方程：（7）由此解得：在求解过程中，应用了将系数A、B、C、D代回（7）式得（8）（4-21）根据叠加原理，将与两组面力相对应的两组解答（3）和（8）相加，即得到问题的解答：环向应力分量的分布特点：沿孔边周向：由以上分析可见，最大环向应力发生在孔的边缘处，其值为3q，随着距孔边距离的增大，环向应力迅速衰减至无孔状态时的应力q，这一现象即是孔边应力集中现象。孔边应力集中现象是一种局部现象，在约5倍于孔边距离时，该处的应力已不受孔的影响，这也从数值上验证了圣维南原理。利用上述结果，通过叠加原理，可以得到等值或不等值拉压、纯剪切、孔边均匀压力等含小孔平板的应力解答。§4-7楔形体在楔顶或楔面受力1.顶端受集中力P的问题(图4-15)取图示坐标系，P是任意集中力，它与楔体中心线夹角为，楔顶角为。

下面采用半逆解法求解用量纲分析方法来寻求问题的应力函数。描述问题的物理、几何参数有P、、、r、

，其中，P是单位厚度上的力(由平面问题的载荷特性)，量纲是[力][长度]-1，、、为无量纲量，r的量纲是[长度]。显然，应力分量的表达式是由P、、、r、

构成，而应力的量纲是[力][长度]-2故从量纲上看，应力分量在形式上应为其中，F为无量纲函数。我们注意到应力分量与应力函数的关系（4-8），应力函数在r的幂次上应比应力分量高两次，即由上式，可以假设（1）代入相容方程得：（2）化简后得：这是一个常系数常微分方程，其解为于是：（3）由此，得各应力分量：边界条件:(ⅰ)侧面边界已自动满足在顶端，受一集中力作用，应力很大，要超过弹性极限，因此必须考虑O点附近以外的区域。为此，取以楔顶为圆心，r为半径的扇形体，如图4-15（b）所示，由该扇形块的平衡得出由力的边界条件转换而来的平衡条件：(ⅱ)平衡条件：将代入上式:求解后，可得应力分量这个解答称为密切尔解答。2.楔块顶端受一集中力偶M的问题（图4-16）。从量纲的角度，应力的形式应为应力函数在r的幂次上比应力高两次，故有形式:由此，可假设应力函数:图4-16将上式代入相容方程得:化简可得求解可得:（6）该问题是一个反对称问题，即是关于的奇函数，是关于的偶函数，由应力分量与应力函数的关系可知，应是的奇函数，故A=0D=0应力分量:（7）式中待定系数B、C由边界条件确定。(ⅰ)左右两边界上:（8）显然，第一式已自动满足。由第二式得:（9）(ⅱ)由扇形体的力矩平衡（10）此即集中力矩M转化以后的边界条件。将表达式（7(c)）代入上式，积分后得将B，C代回式（7），即得英格立斯解答：3.楔形体侧边受均布荷载的问题（图4-17）两个侧面受均布剪力q，本问题同上面两问题求解思路一样。由于q的量纲是[力][长度]-2

，故从量纲分析和应力函数与应力分量关系可知，应力和应力函数有如下形式：应力分量：应力函数：可设（11）图4-17代入相容方程并化简，可得求解可得（12）应力分量为边界条件：（14）将应力表达式代入上面边界条件，可求解得到A、B、C、D四个待定常数，代回应力表达式（13），即可得到应力解答4.半平面体边界上受法向压力

对于楔顶受集中力P的问题，令则问题就变为一个半平面体受法向集中荷载问题，这就是著名的符拉芒（Flamant）问题，如图（4-18）所示.则应力分量为：（4-25）图4-18利用坐标变换式（见§5-1（5-3）式或者习题（4-2）），可得直角坐标系下的分量形式:（4-25）

进一步，利用上面的解答，通过积分，可得到半平面体在边界上受任意法向分布力的解答。如图4-19所示，在半平面体区间AB段上有一法向分布力荷载考察在AB段上任取一微荷载：借助于集中