第三讲层次分析法及差分方程模型

层次分析法及差分方程模型1层次分析法2差分方程模型y3.1层次分析法背景

日常工作、生活中的决策问题

涉及经济、社会等方面的因素

作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化Saaty于1970年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造出各层次中的所有判断矩阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量（层次单排序）并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（层次总排序）并作一致性检验*组合权向量可作为决策的定量依据。例1.选择旅游地如何在海南、哈尔滨及九寨沟3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择旅游的目的地？“选择旅游地”思维过程的归纳

将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。

通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。

将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。目标层O(选择旅游地)P2哈尔滨P1海南P3莫高窟准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途Step1：构造层次结构模型层次结构模型2468比较尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍强强明显强绝对强aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反

心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个

用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。

便于定性到定量的转化：Step2：构造判别矩阵

元素之间两两对比，对比采用相对尺度

设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地Step2：构造判别矩阵成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如

A的秩为1，A的唯一非零特征根为n

A的任一列向量是对应于n的特征向量

A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质成对比较阵和权向量成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n

阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI

当CR<0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下Step3：一致性检验“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

权向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通过一致性检验w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T组合权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pm第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。二.层次分析法的广泛应用

应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。

处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。

建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。

构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。工作满意程度研发课题发展前途待遇同事情况地理位置单位名气供选择的岗位（岗位1、岗位2及岗位3）练习：

工作选择准则层的判断矩阵方案层的判断矩阵层次总排序的结果(见chooseofwork.m)国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国补充例2

国家实力分析过河的效益

A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构补充例3

横渡江河的抉择过河的代价

A经济代价

B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构待评价的科技成果直接经济效益

C11间接经济效益

C12社会效益

C13学识水平

C21学术创新

C22技术水平

C23技术创新

C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价补充例4科技成果的综合评价三.层次分析法的若干问题

正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？

怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？

为什么用特征向量作为权向量？

当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？1.

正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理1

正矩阵A的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且定理2n阶正互反阵A的最大特征根

n,=n是A为一致阵的充要条件。正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。一致性指标定义合理2.

正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算

精确计算的复杂和不必要

简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。和法——取列向量的算术平均列向量归一化算术平均精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010根法——取列向量的几何平均幂法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度2)计算3）归一化5)计算简化计算4）若，停止；否则，k:=k+1,转23.

特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应问题一致阵A,权向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,应选权向量w使wi/wj与

aij相差尽量小（对所有i,j)。用拟合方法确定w非线性最小二乘线性化——对数最小二乘结果与根法相同

按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。成对比较Ci:Cj(直接比较）aij~1步强度aisasj~Ci通过Cs与Cj的比较aij(2)

~2步强度更能反映Ci对Cj的强度多步累积效应体现多步累积效应定理1特征向量体现多步累积效应当k足够大,Ak第i行元素反映Ci的权重求Ak的行和4.不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得讨论由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))计算第3层对第1层权向量w(3）的方法贡献O教学C1科研C2P2P1P3P4例:评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等

不考虑支配元素数目不等的影响

仍用计算

支配元素越多权重越大用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正

若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,

P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1

再用计算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T

支配元素越多权重越小教学、科研任务由上级安排教学、科研靠个人积极性考察一个特例：5.

残缺成对比较阵的处理mi~A第i行中的个数为残缺元素辅助矩阵6.

更复杂的层次结构

递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。

更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。制动底盘车轮方向盘发动机减震装置刹车转向运行加速性能汽车行驶性能汽车1汽车2汽车n……例

层次分析法的优点

系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、测试分析并列）；

实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；

简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。层次分析法的局限

囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案；

粗略——定性化为定量，结果粗糙；

主观——主观因素作用大，结果可能难以服人。模型1市场经济中的蛛网模型模型2差分形式的阻滞增长模型模型3按年龄分组的种群增长2差分方程模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定？当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定？价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡差分模型之一--市场经济中的蛛网模型蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛网模型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0

以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直模型的推广

生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定，即k,xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了模型的推广连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)~某种群t时刻的数量(人口)yk~某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性，即k,

ykN？y*=N是平衡点差分模型之二---差分形式的阻滞增长模型离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论x*的稳定性变量代换(2)的平衡点(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性01的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*

稳定x*

不稳定另一平衡点为x=0不稳定01/2101的平衡点及其稳定性初值x0=0.2数值计算结果b<3,xb=3.3,x两个极限点b=3.45,x4个极限点b=3.55,x8个极限点0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论单周期不收敛2倍周期收敛(*)的平衡点x*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性倍周期收敛的稳定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0倍周期收敛的进一步讨论出现4个收敛子序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3平衡点及其稳定性需研究时有4个稳定平衡点2n倍周期收敛,n=1,2,…bn~2n倍周期收敛的上界b0=3,b1