第二章 逻辑代数与逻辑函数

第二章布尔代数及其逻辑实现2.1布尔代数的基本概念2.2布尔代数的公式、定理及重要规则2.3布尔函数表达式的形式与转换方法2.4布尔函数的代数化简法2.5布尔函数的卡诺图化简法2.6具有无关项的布尔函数及其化简2.7布尔函数的实现2.8多输出布尔函数的化简与实现12.1布尔代数的基本概念

从本章开始，以下各章均是讨论逻辑运算问题。逻辑运算是逻辑思维和逻辑推理的数学描述。1847年，英国数学家乔治·布尔（GeorgeBoole）提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法——布尔代数。由于布尔代数被广泛的应用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计上，所以布尔代数也称为开关代数或逻辑代数。2

逻辑问题的前提是二值性问题，即一个问题只有二种答案，不是“真”就是“假”，不存在第三种似是而非的答案。这样逻辑问题也可用二种代码表示，一般用“1”和“0”表示二种答案。此处的“1”和“0”仅表示一个问题的二种结果，不表示数,无大小之分。“1”和“0”称逻辑常量。布尔代数（逻辑代数）中也是用字母表示变量，这种变量称为布尔（逻辑）变量。在二值逻辑中，每个逻辑变量的取值只有“1”和“0”两种可能。3与逻辑（与运算、逻辑乘）或逻辑（或运算、逻辑加）非逻辑（非运算、逻辑反）布尔代数中的三种基本运算

实际的逻辑关系是千变万化的，但它们都是由与、或、非三种基本运算组成的，都可以通过这三种基本运算来实现42.1.1与逻辑（与运算、逻辑乘）只有前提均具备了，结果才发生，这种关系称为“与”逻辑。下面我们用开关A、B

串联控制灯F的亮与灭，说明与逻辑的功能。定义：开关合上为“1”，断开为“0”。灯亮为“1”，灯灭为“0”。BAFREBAFRE5描述逻辑功能的多种手段一、真值表将AB各种可能的情况与灯F的关系列表表示如下图：111010001000FAB真值表BAFREBAFRE6二、布尔（逻辑）函数表达式F=

A·B将逻辑常量代入：0·0=00·1=01·0=01·1=1A为逻辑变量,它的取值只能为0或者1。则：0·A=01·A=AA·A=A7四、波形关系高电平为“1”，低电平为“0”（正逻辑）AFB8三、逻辑符号目前存在三种符号表示，逐渐应统一到国际标准。&（c）国际标准（b）国外流行ABFBAFFAB（a）国家标准＆92.1.2或逻辑（或运算、逻辑加）只要具备了一个前提，结果就发生，这种关系称为“或”逻辑。下面我们用开关A、B

并联控制灯F的亮与灭，说明“或”逻辑的功能。定义：开关A或B合上为“1”，断开为“0”。灯亮为“1”，灯灭为“0”。FREAB10一、真值表将AB各种可能的情况与灯F的关系列表表示如下图：111110101000FAB真值表FREAB11二、逻辑函数表达式F=

A+B将逻辑常量代入：0+0=00+1=11+0=11+1=1A为逻辑变量,它的取值只能为0或者1。则：A+0=AA+1=1A+A=A12三、逻辑符号FFFABABAB+≥1（a）（b）（c）AFB四、波形关系高电平为“1”，低电平为“0”132.1.3非逻辑（非运算、逻辑反）前提与结果相反；前提为真，结果为假。这种关系称为“非”逻辑。下面我们用开关A控制灯F的亮与灭，说明“非”逻辑的功能。定义：开关合上为“1”，断开为“0”。灯亮为“1”，灯灭为“0”。EARF14一、真值表将AB各种可能的情况与灯F的关系列表表示如下图：0110FA真值表EARF15二、逻辑函数表达式F=

A将逻辑常量代入：

0=11=0A·A=0A+A=1A=A16三、逻辑符号四、波形关系高电平为“1”，低电平为“0”AF17三种基本逻辑运算的运算顺序非与或例182.1.4其他复合逻辑运算及描述

将基本逻辑运算进行简单的组合—组合成如下常用复合逻辑。“与非逻辑”“或非逻辑”“与或非”逻辑“异或”“同或”逻辑

19“与”逻辑和“非”逻辑的组合。先“与”再“非”。＆BAAB11FABA&F=ABB＆1.“与非逻辑”20AFB波形图011110101100FAB真值表见0得1全1得021

“或”逻辑和“非”逻辑的组合。先“或”再“非”。≥1BAA+B11FA+BAF=A+BB≥1

2.“或非逻辑”22波形关系AFB011010001100FAB真值表全0得1见1得023“与”逻辑、“或”逻辑、“非”逻辑的组合。先“与”后“或”最后再“非”。ABCDF=AB+CD＆≥1＆≥11F=AB+CD11AB+CD≥1≥1CDAB＆BA＆DC

3.“与或非”逻辑24真值表输入二变量相异为“0”，相同为“1”，称为“同或”F2。输入二变量相异为“1”，相同为“0”，称为“异或”F1。4.“异或”“同或”逻辑ABF1F20001011010101101异或同或25由真值表可得出下式：真值表ABF1F2000101101010110126异或逻辑符号同或逻辑符号

（a）（b）（c）

=1AFBABFAFB=1

（a）（b）（c）

BAAFBAFB=1F27“同或”运算实例说明一个控制楼梯照明灯的电路。单刀双掷开关A装在楼下，B装在楼上，这样在楼下开灯后，可以在楼上关灯。同样也可以在楼上开灯，而在楼下关灯。因为只有当两个开关都向上扳时，灯才会亮。而一个向上扳，另一个向下扳，灯就灭。220VabCdABL上述电路功能可如下表述：设L表示灯的状态，即L=1表示灯亮，L=0表示灯不亮。用A和B表示开关A和B的位置，用1表示向上扳，用0表示向下扳。则L与A、B的关系可用真值表表示ABL001010100111灯亮的逻辑表达式：L=AB+AB描述了从逻辑问题建立逻辑函数的过程282.1.5布尔（逻辑）函数

在实际问题中，通常总是以这些基本逻辑运算构成各种复杂的逻辑关系式。概念：在数字系统的逻辑电路中，如果某一输出量与一组输入量存在一定的对应关系，当输入变量取任意一组确定的值，输出变量也就唯一的被确定，则这种关系为逻辑函数关系．设输入变量为A1、A2，…An，输出变量为F，则描述输出变量和输入变量的逻辑函数可表示为

F=f(A1,A2,…An)29逻辑函数自身的特点逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和1两种可能。逻辑函数和逻辑变量之间的关系是由“或”、“与”、“非”三种基本逻辑运算决定的。逻辑代数的函数和普通代数的函数一样，存在相等的问题。设有两个逻辑函数：F1=f1(A1,A2，…，An)F2=f2(A1,A2,…,An)若对应于逻辑变量A1,A2,…,An的任何一组取值，F1和F2的值都相同，则称函数F1和F2相等。记作F1=F2。302.2布尔（逻辑）代数的基本公式、定理和规则

主要要求：

掌握布尔代数的基本公式和基本定理。熟悉布尔代数的重要规则。312.2.1基本公式

布尔（逻辑）常量运算公式

布尔（逻辑）变量与常量的运算公式

0

·

0

=

00

·

1

=

01

·

0

=

01

·

1

=

10

+

0

=

00

+

1

=

11

+

0

=

11

+

1

=

10–1律重迭律

互补律

还原律

0+A=A1+A=11·A=A0·A=0A+A=AA·A=A

双重否定律322.2.2基本定理

(一)与普通代数相似的定律

交换律

A+B=B+AA·B=B·A结合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律

A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)普通代数没有！利用真值表逻辑等式的证明方法

利用基本公式和基本定理33111111111100[例]

证明等式A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法公式法右式=(A+B)(A+C)

用分配律展开

=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A·1+BC=A+BC0000ABCA+BC(A+B)(A+C)00000101001110010111011134

(二)逻辑代数的特殊定理

吸收律A+AB=A

A+AB=A(1+B)=A

350011111011011100A+BA·BA

B0011001000011100A·BA+BA

B

(二)逻辑代数的特殊定理

吸收律A+AB=A

推广公式：思考：(1)若已知A+B=A+C，则B=C吗？

(2)若已知AB=AC，则B=C吗？

推广公式：摩根定理

(又称反演律)

36香农（Shannon）定理任何函数的反函数（或称补函数），可以通过对该函数的所有变量取反，并将常量1换成0,0换成1，运算符“+”换成“·”,“·”换成“+”而得到。依据德·摩根定理得：利用香农定理，可直接得：例：已知函数求其反函数372.2.3重要规则

(一)代入规则

A

A

A

A均用代替A均用代替B均用C代替利用代入规则能扩展基本定律的应用。

将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。38（三）反演法则（香农定理）反演法则的目的是能够较快的写出函数的反函数（补函数），将原式按下述过程即可求得其反函数。例:L=AB+CD+0

L=(A+B)·(C+D)·139(二)对偶法则解：

按上述过程其对偶式为：L=(A+B)(A+C)则L’=A·B+AC40上述过程要反复应用求反律。而利用反演法则直接写出结果。

FEDCBAF的反函数例：求++++=41求下列函数的反函数和对偶函数42基本公式应用①

等式的证明②

逻辑函数不同形式的转换由于与或形式物理意义明确，与真值表相对应，且对应的基本公式较为熟悉，故在一般情况下，函数均以“与或”形式给出。③

逻辑函数的化简

用基本公式将逻辑函数化简，称为代数法化简。43主要要求：

了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。

了解逻辑函数的代数化简法。2.4逻辑函数的代数化简法

理解最简与-或式和最简与非式的标准。

2.3逻辑函数表达式形式44二、逻辑函数式化简的意义与标准

化简意义使逻辑式最简，它所表示的逻辑关系就越明显，有利于设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与-或式，然后通过变换得到所需最简式。45最简与-或式标准(积之和表达式)(1)乘积项(即与项)的个数最少(2)每个乘积项中的变量数最少用与门个数最少与门的输入端数最少

最简与非式标准(1)非号个数最少(2)每个非号中的变量数最少用与非门个数最少与非门的输入端数最少

46逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。一、逻辑函数式的几种常见形式和变换

例如与或表达式

或与表达式与非-

与非表达式或非-

或非表达式与或非表达式转换方法举例

与或式与非式

用还原律

用摩根定律

或与式或非式与或非式

用还原律

用摩根定律

用摩根定律

47三、代数化简法

运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。并项法

运用，将两项合并为一项，并消去一个变量。Y=ABCD+ABCD=A48吸收法

运用A+AB

=A和，消去多余的与项。49吸收法

运用A+AB

=A和，消去多余的与项。50消去法

运用吸收律

，消去多余因子。51配项法通过乘或加入零项进行配项，然后再化简。52综合灵活运用上述方法

[例]化简逻辑式解：

应用[例]化简逻辑式解：

应用应用AB53[例]化简逻辑式解：

应用用摩根定律541.无统一的固定模式2.需记大量的公式3.需要一定的技巧

4.难于判断结果是否最简为此出现一种既简便又直观的化简方法—

图形法化简，即卡诺图化简法。通过以上各例可看出代数法化简存在如下问题：55代数化简法

优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。

卡诺图化简法

优点：简单、直观，有一定的步骤和方法容易判断结果是否最简。

缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于四变量以下函数的化简。

56函数的“积之和”与“和之积”表示形式

所谓“积之和”即：“与或式”，是指一个函数表达式中包含若干个“积”项，其中每个“积”项可有一个或者多个以原变量或反变量形式出现的字母，这些“积”项的“和”就表示了一个函数。

所谓“和之积”即：“或与式”，是指一个函数表达式中包含若干个“和”项，其中每个“和”项可有一个或者多个以原变量或反变量形式出现的字母，这些“和”项的“积”就表示了一个函数。57逻辑函数的标准形式1.最小项和最大项

什么是最小项？

n个逻辑变量组成的“与”项中，所有变量必须以原变量或反变量的形式出现一次。例：对于2个逻辑变量，共可写出4个最小项：58

用mi表示最小项例：用二进制数0表示反变量,1表示原变量;改用十进制数表示;此十进制数就是mi

的下标.59

最小项的性质性质1：输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。性质2：任意两个最小项相与,结果为0。性质3：全部最小项相或,结果为1。即：性质4两个相邻最小项相加可合并为一项，消去互反变量，化简为相同变量相与。若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。例：和，这两个最小项相加时能合并，并可消去1个因子。6061

用最小项表达逻辑函数

——“标准积之和”

例：互补律分配律重叠律0,2,3,4一个函数可以用最小项之和的形式来表示，称之为函数的“标准积之和”形式。62最大项

什么是最大项？

n

个逻辑变量组成的“或”项中，所有变量以原变量或反变量的形式出现一次。例：对于2个逻辑变量，共可写出4个最大项：63

用Mi

最大项例：用二进制数1表示反变量,0表示原变量;改用十进制数表示;此十进制数就是Mi

的下标.64

最大项的性质性质1任取一组值,仅有一个最大项的值为0。性质2任意两个最大项相或,结果1。性质3全部最大项相与,结果为0。即：性质4只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。(A+B+C)•(A+B+C)=A+B6566

用最大项表达逻辑函数——“标准和之积”

例：

互补律，0-1律分配律重叠律A+BC=(A+B)(A+C)一个函数可以用最大项之积的形式表示，把这种形式称为函数的“标准和之积”形式。67例：ABCF

000

1

001

1

0101

0111

1000

1010

1100

1111使F=1的最小项构成函数的“标准积之和”形式使F=0的最大项构成函数的“标准和之积”形式

最小项与最大项的关系

68根据摩根定律

所以，只要能写出函数的最小项之和的形式，根据上述方法就可得到最大项之积的形式结论：同一函数既可以表示成“标准积之和”的形式，也可以表示成“标准和之积”的形式。同一函数的最大项与最小项互斥的，即如果真值表中的某一行作为函数的最小项，那么它就不可能是同一函数的最大项。69变量取0的代以反变量取1的代以原变量AB二变量卡诺图0101000110110001AB0101m0m1m2m30123ABAAB

BABABABAB三变量卡诺图ABC01000111

10

m6

m7

m4

m2

m3000

m0

m5001

m16

7

5

4

2

310以循环码排列以保证相邻性1.最小项的卡诺图表示

将n变量的2n个最小项用2n个小方格表示，

并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n变量最小项卡诺图，

简称为变量卡诺图。2.5.1逻辑函数的卡诺图表示法70四变量卡诺图01

3

245

7

61213

15

14891110ABCD00011110000111

1071变量取0的代以反变量取1的代以原变量ABCD00011110000111

1001

3

245

7

61213

15

14891110ABCD相邻项在几何位置上也相邻卡诺图特点：循环相邻性同一列最上与最下方格相邻同一行最左与最右方格相邻72卡诺图的特点各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。卡诺图水平方向同一行里，最左和最右端的方格、垂直方向同一列里最上端和最下端两个方格是相邻的，这是因为都只有一个因子有差别——即卡诺图呈现循环邻接的特性。73如何写出卡诺图方格对应的最小项？

已知最小项如何找相应小方格？

例如

原变量取1，反变量取0。1001？ABCD0001111000011110

74为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得真值表或者标准与-或式或者与-或表达式。因此，下面先介绍标准与-或式。任何形式的逻辑式都可以转化为标准与-或式，而且逻辑函数的标准与

-

或式是唯一的。

逻辑函数的标准与

-

或式2.用卡诺图表示逻辑函数每一个与项都是最小项的“与

-

或”逻辑式称为标准与

-

或式，又称最小项表达式。

75如何将逻辑式转化为标准与-或式呢

？

[例]将逻辑式化为标准与或式。解：(1)

利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。AB+(2)

利用配项法化为标准与或式。76(3)利用A+A=A，合并掉相同的最小项。0000m00001m11100m121101m131111m15=m0+m1+m12+m13+m15=∑m(0,1,12,13,15)77用卡诺图表示逻辑函数举例

已知标准与或式画函数卡诺图[例]

试画出函数Y=∑m

(0,1,12,13,15)的卡诺图解：(1)画出四变量卡诺图(2)填图逻辑式中的最小项m0、m1、m12、m13、m15对应的方格填1，其余不填。ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

11

111

78已知一般表达式画函数卡诺图解：(1)将逻辑式转化为与或式(2)作变量卡诺图找出各与项所对应的最小项方格填1，其余不填。

[例]已知，试画出Y的卡诺图。AB+ABCD0001111000011110(3)根据与或式填图

11111111

1

1

AB对应最小项为同时满足A=1，

B=1的方格。BCD对应最小项为同时满足B=1，C=0，D=1的方格AD对应最小项为同时满足A=0，D=1的方格。792.同一最小项可以重复使用多次（A+A=A）。1.2m个最小项可合并成一项，并消去m个因子(m<n)，应使m尽可能大。3.每一个最小项至少被使用一次。4.每次合并至少有一个最小项以前未用过。化简规则2.5.2用卡诺图化简逻辑函数801.二个相邻项可合并为一项，消去一个取值不同的变量，保留相同变量。如图（a）所示1111CDAB0001111000011110(a)8111111111CDAB000111100001111011111111CDAB0001111000011110(b)2.四个相邻项可合并为一项，消去二个取值不同的变量，保留相同的变量，如图（b）所示。111182111111111111CDAB0001111000011110(C)3.八个相邻项可合并为一项，消去三个取值不同的变量，保留相同变量，如图（c）所示。一定是2n

个最小项，且相邻关系是封闭的（图形上是方形）才可合并。832.卡诺图化简法的步骤

ABCD+ABCD+ABCD+ABCD画函数卡诺图将各圈分别化简

对填1的相邻最小项方格画包围圈

将各圈化简结果逻辑加

84m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)画变量卡诺图[例]用卡诺图化简逻辑函数

Y(A,B,C,D)=∑m

(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡诺图11111111(3)画包围圈abcd(4)将各图分别化简圈2个可消去

1个变量，化简为3个相同变量相与。Yb

=BCD圈4个可消去

2个变量，化简为2个相同变量相与。孤立项Ya=ABCDYc

=

AB循环相邻

Yd=

AD(5)将各图化简结果逻辑加，得最简与或式85解：(1)画变量卡诺图[例]用卡诺图化简逻辑函数

Y(A,B,C,D)=∑m

(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000011110(2)填卡诺图11111111(4)求最简与或式

Y=1消1个剩3个(3)画圈消2个剩2个4个角上的最小项循环相邻86找

AB

=11,C

=

1

的公共区域找

A

=

1,

CD

=

01

的公共区域找

B

=

1,

D

=

1

的公共区域解：(1)画变量卡诺图ABCD0001111000011110(2)填图11(4)化简(3)画圈[例]用卡诺图化简逻辑函数0011m30100m411111111要画吗？Y=87[例]已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最简与或式。ABCD000111100001111011111111110011

11解：0方格很少且为相邻项，故用圈0法先求Y的最简与或式。111111111188[例]已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。ABCY00010011010001111001101011011111注意：该卡诺图还有其他画圈法可见，最简结果未必唯一。解：(1)画函数卡诺图ABC01000111

101

1

1

111(3)化简(2)画圈Y=1

1

1

111ABC010001111089约束项和随意项都不会在逻辑函数中出现，所对应函数值视为1或0都可以，故称无关项。

不允许出现的无关项又称约束项；客观上不会出现的无关项又称随意项。

2.6具有无关项的逻辑函数的化简

1.无关项的概念与表示

无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的变量取值组合或者不允许出现或者根本不会出现。

例如8421码中，1010~1111这6种代码是不允许出现的。例如A、B

为连动互锁开关，设开为

1

,

关为

0,

则

AB

只能取值

01

或

10

,

不会出现

00

或11。90合理利用无关项可使逻辑式更简单

无关项在卡诺图和真值表中用“”“”来标记，在逻辑式中则用字母d和相应的编号表示。

2.利用无关项化简逻辑函数

无关项的取值对逻辑函数值没有影响。化简时应视需要将无关项方格看作1或0，使包围圈最少而且最大，从而使结果最简。91将d10看成0,其余×看成1

将×看成0

ABCD00011110000111

10111111×××××××显然左图化简结果最简

解：(1)画变量卡诺图[例]用卡诺图化简函数

Y=∑m

(0,1,4,6,9,13)+∑d

(2,3,5,7,10,11,15)ABCD00011110000111

10(2)填图11111(4)写出最简与

-

或式最小项(3)画包围圈无关项1×××××××0×92解：(1)画变量卡诺图ABCD0001111000011110(2)填图(4)求最简与-或式(3)画包围圈1111求最简与非式基本方法是：先求最简与或式，再利用还原律和摩根定律变换为最简与非式。[例]求函数的最简与非式11××××××××(5)求最简与非式分析题意称约束条件，表明与项AB和AC对应的最小项不允许出现，因此

AB和AC对应的方格为无关项。93概念：蕴含项