第三章力系的简化

第3章力系的简化定义：

设有一力F

，在力F的作用线所在平面内任选一x轴，从力F的始端和末端分别向x轴的作垂线，可得垂足a、b，将a、b间的直线段ab冠以适当的正负号，称为力F在x轴上的投影，用Fx表示。§3–1、力的投影与分解(1)力F在直角坐标轴上的投影：若力F

和x和Y轴正向之间的夹角分别为α和β，称为力的方向角，则有

即力在坐标轴上的投影等于力的大小乘以该力与坐标轴正向之间夹角的余弦。2.正负号规定

力在轴上的投影是代数量。

当由力F的始点垂足到终点垂足的指向与坐标轴的方向一致时，投影取正号，反之取负号。yb´a´abFOxBFxFy

（3-1）(2)力F沿平面直角坐标轴分解的解析表示：力F在直角坐标轴上投影的大小与其沿相应轴方向分力的模相等，且投影的正负号与分力的指向对应一致。1.直角坐标力F可沿直角坐标轴分解为两个正交分力：FFyFxxyjio（3-2）

若以i，j分别表示沿x，y轴方向的单位矢量，则力

F的两个正交分力可用力在对应轴上投影与相应的单位矢量的乘积表示为：可得解析表达式为：（3-4）（3-3）

若已知力F在两个直角坐标轴上的投影Fx、Fy，则力F的大小和方向余弦可用下列各式计算必须注意：力沿坐标轴的分力与力在对应轴上的投影是两个不同的概念。（3-5）力F沿坐标轴x、y、z的分力Fx、Fy是矢量，它有大小、方向、作用线；而力在坐标轴上的投影Fx、Fy是代数量，它无所谓方向和作用线。2.斜坐标力沿x、y轴方向的分力大小与力在该坐标轴上投影的绝对值的大小不相等。设有一汇交于O’点的平面汇交力系，F1、F2、…、Fn，由力的平行四边形法则可知，该汇交力系可以合成为一个合力，合力等于各个分力的矢量和，即：

（3-6）(3)合力投影定理：建立直角坐标系并取单位矢量，则（3-6）式右端分力的解析表达式为：（3-9）（3-7）（3-8）将（3-7）和（3-8）代入（3-6）中得而（3-6）式左端合力的解析表达式为：比较（3-9）式等式两端单位矢量i、j前面的系数，可得（3-10）上式表明：

合力在某坐标轴上的投影等于各个分力在同一坐标轴上投影的代数和，称为合力投影定理。AF2F1(a)F3F1F2RF3xABCD(b)证明：以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1、F2、F3如图。合力R在x轴上投影：F1F2RF3xABCD(b)

推广到任意多个力F1、F2、Fn

组成的平面共点力系，可得：abcd各力在x轴上投影：汇交力系的合成可以采用几何法和解析法，本书主要介绍使用较多的解析法。解析法以力在坐标轴上的投影的概念和合力投影定理为基础。§3–2、平面汇交力系的合成1、解析法：如图所示的平面汇交力系F1、F2、…、Fn，各力在直角坐标系的x、y轴上投影是：和利用合力投影定理，可得合力在x、y轴的投影为合力FR的大小和方向余弦分别为确定。通常合力FR的方向也可由合力FR与x轴所夹锐角再由FRx和FRy的正负号来判定FR的指向。的值由下式确定：2、几何法

用力多边形求汇交力系合力的方法称为几何法

（1）依据：力的平行四边形法则；

（2）方法：力多边形法则：

力的平行四边形法则中间过程可以省掉力多边形法则作力多边形与力的次序无关(3)合力：

从任一点出发，依次将力系中各分力首尾相连（次序可变），再连接第一力矢的始点和最后一力矢的终点所得力多边形的封闭边，即为原力系的合力矢。表达式为：合力的大小：力多边形的封闭边的长度；合力的方向：力多边形的封闭边起点到终点的指向；合力的作用线：通过原力系的汇交点。

若汇交力系由n个力组成的，汇交力系可以合成为一个作用线通过汇交点的合力，合力的大小和方向由力多边形的封闭边确定。即：合力矢等于各分力矢的矢量和。简写为：表达式为：例3.1如图所示一平面汇交力系，已知:F1＝3kN，F2＝1kN，F3＝1.5kN，F4＝2kN。各力方向如图所示。求此力系的合力FR。合力FR的大小合力FR的与x轴所夹锐角θθ=69.5o1、平面力系中力对点之矩在力的作用下，物体将可能发生移动和转动，力的转动效应用力对点之矩来衡量。§3–3、平面力系中的力对点之矩、力偶及其性质、力的平移定理定义：力F的小大与O点到力F作用线的垂直距离h的乘积，再冠以适当的正负号，表示力F对O点的矩，用符号MO(F)表示。(2)表达式：

MO(F)＝±Fh

其中O点称为力矩中心，简称矩心；h称为力臂；力F与矩心所决定的平面称为力矩平面；正负号表示在力矩平面内力使物体绕矩心的转向，即：绕过矩心且垂直于力矩平面的轴的转向。(3)作用：度量力F

使物体绕

O点的转动效应。(6)正负号规定：

平面力系中的力对点之矩仅仅取决于力矩的大小和转向，因而力对点之矩是代数量；约定：顺时针为负，逆时针为正；(4)大小：MO(F)＝±Fh＝2ΔOAB的面积(5)单位：N·m，kN·m(7)讨论：（a）当力F的大小等于零，或者力的作用线通过矩心，即力臂h＝0

时，对矩心的力矩等于零。（b）力F沿其作用线移动时，并不改变力对指定点之矩。（c）一个力对不同点的矩一般不同，因此必须指明矩心，力对点之矩才有意义。1)力偶的定义:

大小相等，方向相反，作用线不共线但相互平行的一对力所构成的力系称为力偶。记作（F,F’）2)力偶作用平面

力偶中两力作用线所决定的平面称为力偶作用平面；3)力偶臂

两力作用线间的垂直距离d称为力偶臂。2、平面力系中的力偶与力偶矩、力偶系的合成（1）力偶与力偶矩4）力偶对物体的转动效应取决于：①力偶的大小；②在力偶作用面内力偶的转向。因此，平面力系中可用一个代数量表示力偶的转动效应。5）力偶矩在平面力系中，可以用力偶中的一个力的大小与力偶臂的长度的乘积，并冠以适当的正负号后所得的代数量，来表示力偶的转动效应，称为力偶矩。用符号表示。力偶矩的大小:正负号的规定：

为当力偶使得物体逆时针转动时取正号，逆时针转动时取负号。力偶矩的单位:N.m或kN.m（2）力偶的性质

组成力偶的两个平行力满足等值、反向、不共线的条件，与单独一个力一样，都是独立的最基本的力学量。性质一:

力偶不能与一个力等效，即力偶不能合成为一个合力，因此力偶也就不能与一个力相平衡，力偶只能与力偶平衡；力偶中的两力在任一轴上投影的代数和都等于零，但力偶不是平衡力系。力偶是最简单的力系。力和力偶是两个独立的力学元素

这一性质是力偶与力对点之矩的主要区别。

性质二：

力偶中的两力对力偶作用平面内任意点之矩的和恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。

性质三：

力偶矩是力偶对刚体作用效应的唯一度量，因而在同一平面内的两力偶等效的必要与充分条件是这两力偶矩相等，称为力偶等效性质。由力偶的这一性质，可得出如下推论：

1）只要力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移动和转动，或者从一个平面平移到另一个平行的平面中去，而不改变它对刚体的效应；

2）只要力偶矩不变，可以相应地改变组成力偶的力和力偶臂的大小，都不会改变原力偶对刚体的作用效应。力偶矩是力偶对刚体用效应的唯一度量。

常用一段带箭头的弧线表示力偶，其中弧线所在平面代表力偶作用面，箭头表示力偶在其作用面内的转向，M表示力偶矩大小。1)力偶系:

同时作用在刚体上的一群力偶称为力偶系。2)力偶系的定义和分类力偶系空间力偶系平面力偶系3)合力偶力偶不能与一个力等效，因此力偶系合成的结果不可能是一个力，而只能是一个力偶，此力偶称为力偶系的合力偶。（3）平面力偶系的合成

4）合力偶矩：

——平面力偶系合力偶之矩等于各分力偶之矩的代数和。

M=m1+m2＋…＋mn＝∑mi3、力的平移定理（1）．力向一点平移

作用于刚体上某点的力可以平行移动到该刚体上的任一点去，但须附加一力偶且此附加力偶的矩等于原力对平移点的力矩。这称为力的平移定理。附加力偶的矩为：

（2）．力的平移定理表明：一个力可与同一个平面内的一个力和一个力偶等效，亦即可以把一个力分解为作用在同一平面内的一个力和一个力偶。反之，作用在同一平面内的一个力和一个力偶必定可以合成为一个合力。注：（1）力的平移定理只适用于刚体；（2）力只能在同一刚体上进行平移。（3）．力的平移定理的应用偏心受压柱比中心受压柱相当于多受到一个力偶的作用，此力偶之矩为M=－Fe（e

为偏心距）。用丝锥攻丝时，为什么单手操作比双手操作容易使丝锥折断？请思考。

力的平移定理不适用于变形体，例如图示的悬臂梁AB，若将作用于粱端B的力平移至固定端A，两者的变形效应显然不同。

平面一般力系是作用线位于同一平面的力系，利用力的平移定理、平面汇交力系的合成以及平面力偶系的合力偶矩的合成方法，可对平面一般力系进行简化。§3–4、平面一般力系的简化1、主矢量和主矩

设一平面一般力系由分别作用于同一平面内A1、A2、…、An的力F1、F2、…、Fn组成，如图3-16（a）所示。主矢量在x，y轴上的投影：主矢量的大小和方向余弦为：主矩MO：简化结果

主矢量：原力系向简化中心简化所得汇交力系的合力，等于力系中各力的矢量和，作用线通过简化中心；

主矩：原力系向简化中心简化所得的附加力偶系的合力偶矩，等于力系中各力对简化中心之矩的代数和，作用面即力系所在的平面。2、

简化结果分析1).

若则力系可简化为一作用在力系平面内的力偶，其力偶矩等于主矩：此时主矩与简化中心位置无关。2).若则力系可简化为一作用线过简化中心的合力FR。3).若则力系可进一步简化为一合力FR，且

合力FR的作用线位置可由简化中心O到合力作用线的垂直距离d表示；亦可由合力作用线与x

轴的交点坐标x表示。其中d为：x由下式计算：4).若，则力系平衡。最后简化结果：

1）若F’R=0，MO≠0，则简化为一合力偶；2）若F’R≠0，MO=0，或者F’R≠0，MO≠0，则可简化为一合力；3）若F’R=0，MO=0，则力系平衡。即

——平面一般力系的合力对力系所在平面内任意点之矩等于力系中所有的各力对同一点之矩的代数和。3、

合力之矩定理当求力对某点之矩时，可以利用合力之矩定理简化计算。例：如当a、b、F、θ均为已知，力F对A点之矩。例2

图示为平面一般力系各力作用线位置，且F1=130N，F2=100N，F3=50N，M=500N·m图中尺寸单位为m，试求该力系合成的结果。解：(1)以O点为简化中心，建立图示直角坐标系Oxy。(2)计算主矢量FR(3)计算主矩MO(4)求合力FR的作用线位置由于主矢量、主矩都不为零，所以这个力系简化的最后结果为一合力FR。FR的大小和方向与主矢量F’R相同，而合力FR

与x轴的交点坐标为：x=MO/F′Ry

=3.87m

合力FR的作用线如图所示。在狭长面积或体积上平行分布的荷载，都可抽象简化为线荷载。平面结构所受的线荷载，常见的是沿某一直线连续分布的同向平行力系。4、沿直线分布的同向线荷载的合力(1)合力的大小

选取图示Axy坐标系，沿横坐标为x处的线荷载集度为q(x)，在微段dx上的线荷载集度可视为常量，则：作用在微段dx上分布力系合力的大小