第三章系统的时间响应分析

工程控制基础华中科技大学文华学院

第三章系统的时间响应分析

3.1时间响应及其组成引言3.2一阶系统的时间响应本章小结3.3二阶系统的时间响应3.4高阶系统的时间响应3.5稳态系统误差分析与计算引言经典控制理论中常用的分析法

时域分析法

根轨迹法（了解）

频率特性法（第四章）研究控制系统在典型输入信号作用下输出信号随时间的变化。3.1时间响应及其组成一、系统的输入信号1.单位阶跃函数：1u(t)t02.单位斜坡函数：xr(t)t113.单位加速度函数：xr(t)t4.单位脉冲函数：t05.正弦函数：

分析系统特性采用何种典型输入信号，取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。当系统的输入具有突变性质时，选择阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，选择斜坡函数为典型输入信号。

时间响应的概念

时间响应的概念二、瞬态响应和稳态响应1、时间响应定义：在输入作用下，系统的输出随时间的变化过程，即系统的时间响应。在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件及输入信号下的解。瞬态响应稳态响应

时间响应稳态响应瞬态响应时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应指系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程；稳态响应指时间t趋于无穷时，系统的输出状态。可用来衡量系统的精确程度反映系统的动态性能动态性能分析一、一阶系统动态分析二、标准二阶系统动态分析三、高阶系统动态分析时域指标来源

——给定输入下的单位阶跃响应曲线主要动态指标

——超调量、调节时间、峰值时间、上升时间

时域指标的定量计算或估算3.2一阶系统的时间响应一、一阶系统的数学模型一阶系统的微分方程为：其闭环传递函数为：——为时间常数，是表征系统惯性的一个主要参数_R(s)C(s)1/Ts初始斜率=1/T0.6320.8650.9820.950一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的瞬态响应(1)输出响应到达0.632倍的稳态值所需要的时间为时间常数T。(2)输出响应曲线的初始斜率为时间常数T的倒数。(3)ts=3T(s)—5%误差带

ts=4T(s)—2%误差带二、一阶系统的单位阶跃响应初始斜率一阶系统的单位脉冲响应为一单调下降的指数曲线。一阶系统的瞬态响应三、一阶系统的单位脉冲响应瞬态分量稳态分量T一阶系统的单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数，因此在位置上存在稳态跟踪误差，其值正好等于时间常数T；瞬态分量为衰减非周期函数。一阶系统的瞬态响应四、一阶系统的单位斜坡响应系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。对一阶系统：线性定常系统时间响应的性质一阶系统的瞬态响应结论：线性定常系统对输入信号微分的响应等于系统对该输入信号响应的微分。同样可知，线性定常系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分。3.3二阶系统的时间响应一、二阶系统的数学模型_R(s)C(s)二阶系统典型结构图典型二阶系数传递函数为：系统的特征方程为：系统的特征根为：

由于特征方程的根与阻尼比ξ有关，若ξ<0，二阶系统具有正实部的特征根，系统是不稳定的。故只考虑ξ≥0的情况，则可分下面几种情况来讨论二阶系统的动态特性。

ξ=0,

0<ξ<1,ξ=1,

ξ>1二阶系统的时间响应ξ=0,

0<ξ<1,ξ=1,

ξ>1[s]o

a)欠阻尼时的极点分布××[s]od)无阻尼时的极点分布××××b)临界阻尼时的极点分布[s]jω0σ××jωσ0c)过阻尼时的极点分布二阶系统的时间响应二、二阶系统的单位阶跃响应假设初始条件为零，xi(t)=1（t），则系统有一对具有负实部的共轭复根，对应于在S平面的左半部的共轭复数极点，1、欠阻尼（0<ξ<1）的情况二阶系统的时间响应称为阻尼振荡角频率xo(t)wnt1(b)欠阻尼时的单位阶跃响应0称为衰减系数二阶系统的时间响应2、无阻尼（ξ＝0）的情况系统有一对共轭纯虚数根,它们在s平面上的位置如图所示。系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为xo(t)wnt1(b)无阻尼时的单位阶跃响应0二阶系统的时间响应3、临界阻尼（ξ＝1）的情况系统具有两个相等的负实数极点，xo(t)wnt1(b)临界阻尼时的单位阶跃响应0二阶系统的时间响应4、过阻尼（ξ>1）的情况系统具有两个不相等的负实数极点稳态分量为1，瞬态分量包含两个衰减指数项，曲线单调上升。xo(t)wnt1(b)过阻尼时的单位阶跃响应0二阶系统单位阶跃响应曲线二阶系统的时间响应ξ＝0ξ＝1ξ＝2ξ＝0.1在欠阻尼状态下，二阶系统对单位阶跃输入的响应为衰减的振荡，阻尼比越小则振荡幅值衰减得越慢；若阻尼比等于0，系统以无阻尼自然频率作等幅振荡；当阻尼比等于1，达到衰减振荡的极限，系统不再振荡；随着阻尼比的增加，振荡幅值衰减也越快。

0<<1：三、二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的时间响应

=1：

=0：二阶系统的时间响应

>1：二阶系统的时间响应四、二阶系统响应的性能指标二阶系统的时间响应控制系统的性能指标通常以系统对单位阶跃输入量的瞬态响应形式给出。稳定的单位阶跃响应具有典型衰减振荡和单调变化两种类型。（a）典型阶跃响应曲线rt延迟时间td：第一次到达所需的时间

上升时间tr：输出响应第一次上升到稳态值所需的时间

峰值时间tp：超过第一次到达最大值所需的时间调节时间ts：指当和之间误差达到规定允许范围，一般是超过，并且以后不再超出此范围所需的最小时间。超调量Mp：单位阶跃响应第一次越过稳态值达到峰值时，对稳态值的偏差与稳态值之比的百分数。

td，tr

,tp

,

ts——表征系统的灵敏性或快速性；Mp——反映了系统相对稳定性

由于ξ=0时，系统不能正常工作，在ξ≥1时，系统暂态响应进行得又太慢。因此，对于二阶系统来说，0<ξ<1是最有实际意义。下面讨论这种情况下的暂态特性指标。五、欠阻尼二阶系统瞬态性能指标[s]o欠阻尼二阶系统的特征参量××二阶系统的时间响应1、上升时间tr响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。则有，总结：当一定时，阻尼比ξ越大，上升时间

越长；

当ξ一定时，

越大，

则越短。二阶系统的时间响应2、峰值时间tp响应曲线从零开始上升，到达第一个峰值所需的时间，称为峰值时间。则有，总结：与阻尼振荡频率成反比，当ξ一定时，

越大，

则

越短。二阶系统的时间响应Mp与ξ的关系曲线3、最大超调量Mp最大超调量发生在第一个周期中t=tp时刻，则有则有，总结：Mp仅是阻尼比ξ的函数，而与无关。

阻尼比越大，超调量越小。二阶系统的时间响应4、调节时间ts调节时间是响应曲线与稳态值之间的偏差达到允许范围（一般取5%~2%）而不再超出的暂态过程时间。为简单起见，忽略正弦函数的影响，则有，二阶系统的时间响应5、振荡次数N在过渡过程时间内，响应曲线穿过稳态值的次数的一半定义为振荡次数。二阶系统的时间响应总结：调节时间近似与ξ

成反比关系。在设计系统时，ξ通常由要求的最大超调量决定，调节时间则由自然振荡角频率决定。也就是说，在不改变超调量的条件下，通过改变

的值可以改变调节时间。若保持ξ不变而增大ωn则不影响超调量Mp，但延迟时间td，峰值时间tp及调整时间ts会减小，有利于提高系统的灵敏性，即系统的快速性变好。若保持ωn不变而改变ξ，ξ减小，虽然td、tr和tp均会减小，但超调量Mp和调整时间ts（在ξ<0.7范围内）却会增大，灵敏性好但相对稳定性差，ξ过大，ξ>1，则tr

，ts均会增大，系统不灵敏。因此一般取ξ在0.4-0.8之间。当ξ=0.7时，Mp和ts均小，这时Mp=4.6%,ξ=0.7为最佳阻尼比。二阶系统的时间响应例1

有一位置随动系统的结构图如图所示，其中K＝4。求该系统的：①自然频率；②阻尼比；③超调量和调节时间；④如果要求ξ＝0.707，应怎样改变系统参数K值。解：由图可知由此得_Xi(s)Xo(s)随动系统结构图①自然振荡角频率②阻尼比二阶系统的时间响应③超调量④当要求ξ＝0.707时，调节时间二阶系统的时间响应例2：图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)=8.9N的阶跃力后，M的位移时间响应如图b)。试求系统的质量m、弹性系数k和粘性阻尼系数c的值。mf(t)kcxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)二阶系统的时间响应解：根据牛顿第二定律：

其中，系统的传递函数为：二阶系统的时间响应由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根据拉氏变换的终值定理：由图b)知xo()=0.03m，因此：k=8.9/0.03=297N/m二阶系统的时间响应又由图b)知：解得：

=0.6又由：代入，可得n=1.96rad/s根据解得m=77.3Kg，c=181.8Nm/s

二阶系统的时间响应三阶以上的系统称为高阶系统3.4

高阶系统的时间响应高阶系统简化分析：若有主导极点存在，则简化为只有主导极点的系统（主导极点为实极点则简化为一阶系统；主导极点为共轭复极点则简化为二阶系统）；若有偶极子存在，则忽略这对偶极子的作用。主导极点是指在系统所有闭环极点中，距离虚轴最近且周围没有闭环零点的极点，而其它所有其它极点都远离虚轴。闭环主导极点通常是以共轭复数极点的形式出现。偶极子是指高阶系统的某闭环极点与一个零点在同一位置或相距很近，且远离原点及其它极点，则该极点对系统的影响很小。这一对作用相互抵消的零极点称为偶极子。(s2+2s+5)(s+6)30Φ1(s)=σ%=19.1%ts=3.89s(s2+2s+5)5Φ2(s)=σ%=20.8%ts=3.74s增加极点对ξ有何影响？主导极点高阶系统的时间响应例题:已知系统的闭环传递函数为：求系统近似单位阶跃响应。解：系统闭环传递函数的零极点形式为：高阶系统的时间响应-10-20-20.03-6071.4-71.40j由系统零极点分布图可见，零点z1＝-20.03和极点p1＝-20构成一对偶极子，可以消去，共轭复数极点p3,4＝-10±j71.4与极点p2＝-60相距很远，p3,4为系统的主导极点，p2对响应的影响可以忽略，从而系统简化为：高阶系统的时间响应n=72.11rad/s，=0.139系统的近似单位阶跃响应为：高阶系统的时间响应tc

(t)0原系统等效二阶系统单位阶跃响应tc(t)0-10±j71.4-60-20瞬态输出分量高阶系统的时间响应一、稳态误差定义考虑图示反馈控制系统H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E

(s)G(s)1、偏差信号(t)E(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信号E(s)定义为系统输入Xi(s)与系统主反馈信号B(s)之差，即：3.5系统误差分析与计算误差信号E(s)定义为系统希望输出Xor(s)与系统实际输出Xo(s)之差，即：E1(s)=Xor(s)－Xo(s)系统误差分析与计算2、误差信号E1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)G(s)μ(s)E1(s)Xor(s)控制系统的希望输出Xor(s)为偏差信号(s)＝0时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于希望输出：Xo(s)＝Xor(s)可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s)对于单位反馈系统，H(s)＝1，Xor(s)＝Xi(s)对单位反馈系统：E(s)＝E1(s)系统误差分析与计算3、偏差信号E(s)与误差信号E1(s)的关系稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t）下的差值，即误差信号e(t)的稳态分量：稳态误差是衡量系统最终控制精度的性能指标。系统误差分析与计算4、稳态误差ess当sE1(s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：系统误差分析与计算二、与输入有关的稳态误差1、终值定理利用拉氏变换的终值定理，系统稳态误差为：系统误差分析与计算2、稳态误差的计算系统误差分析与计算对于单位反馈系统：显然，系统稳态偏差(误差)决定于输入Xi(s)和开环传递函数G(s)H(s)，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。

例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为：

G(s)=1/Ts求其在单位阶跃输入、单位单位速度输入、单位加速度输入以及正弦信号sint输入下的稳态误差。系统误差分析与计算解：该单位反馈系统在输入作用下的误差传递函数为：①在单位阶跃输入下的稳态误差为：②在单位速度输入下的稳态误差为：③在单位加速度输入下的稳态误差为：系统误差分析与计算④sint输入时：由于上式在虚轴上有一对共轭极点，不能利用拉氏变换的终值定理求稳态误差。对上式拉氏反变换后得：系统误差分析与计算稳态输出为：系统误差分析与计算而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将得到错误得结论：此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差也不同；并且终值定理实际使用过程中，一定要验证SE1(s)是否满足解析条件系统误差分析与计算三、输入信号作用下的稳态偏差

开环传递函数为：H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E

(s)G(s)系统误差分析与计算

控制系统类型开环传递函数为：v-----串联积分环节的个数v=0—0型系统v=1—Ⅰ型系统v=2—Ⅱ型系统随着v增加，系统的控制精度将得到改善，但增加类型号会使系统的稳定性恶化。因此，一般不对v>2的系统作研究。系统误差分析与计算1、输入为单位阶跃信号

令Kp称为位置无偏系数系统误差分析与计算

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①对于0型系统②对于I型系统③对于Ⅱ型系统系统误差分析与计算2、输入为单位斜坡信号

令Kv称为速度无偏系数系统误差分析与计算

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①对于0型系统②对于I型系统③对于Ⅱ型系统系统误差分析与计算3、输入为单位加速度信号

令Ka称为速度无偏系数系统误差分析与计算

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①对于0型系统②对于I型系统③对于Ⅱ型系统系统误差分析与计算

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稳态偏差型别Ⅱ型Ⅰ型

0型系统

几点结论

不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态偏差不同；相同的输入信号作用于不同类型的控制系统，其稳态偏差也不同。

系统的稳态偏差与其开环增益有关，开环增益越大，稳态偏差越小。0型系统常称为有差系统或0阶无差系统；I型常称为一阶无差系统；II

型系统常称为二阶无差系统。系统误差分析与计算系统误差分析与计算

令为输入信号的阶次，当<v时，无偏差；当=v时，偏差为常数；当>v时，偏差为无穷大；

系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差等于多个信号单独作用下的稳态偏差之和。

稳态偏差与型别的关系表只对相应的阶跃、速度及加速度输入有意义。xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)I型系统的单位速度响应xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)II型系统的单位加速度响应系统误差分析与计算xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)0型系统的单位阶跃响应

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例2

系统结构图如图所示已知输入求系统的稳态误差。_Xi(s)Xo(s)Ts+1ε(s)解:系统的开环传递函数为系统误差分析与计算

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①②系统误差分析与计算系统误差分析与计算四、扰动引起的稳态偏差和系统总偏差1、扰动引起的稳态偏差

G1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)G2(s)N(s)++当只有干扰信号作用下，系统偏差为：系统误差分析与计算G1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)G2(s)N(s)++当只有干扰信号作用下，系统输出为：则系统偏差为：所以，扰动引起的稳态偏差：系统误差分析与计算扰动引起的稳态误差：本章小结

华中科技大学文华学院模型G(s)性能指标二阶系统单位阶跃响应曲线ξ＝0ξ＝1ξ＝2ξ＝0.1本章小结

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欠阻尼二阶系统暂态性能指标给定输入量的稳态偏差的求取方法静态误差系数法:直接法：终值定理法：（sE1(s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐标原点）

）（开环放大系数Kk是指开环传递函数以尾“1”的形式表示）注意：