第八章麦克斯韦电磁理论和电磁波

第八章

麦克斯韦电磁理论和电磁波§2电磁波§3电磁场的能流密度§1麦克斯韦电磁理论§1麦克斯韦电磁理论麦克斯韦简介（J.C.Maxwell1831--1879）英国物理学家，主要贡献是系统总结了前人的研究成果，创立了一套完整的电磁场理论，预言了电磁波的存在。另外他在天体物理学、气体分子运动论、热力学、统计物理学等方面，都作出了卓越的成绩。他筹建并领导的卡文迪许实验室被誉为“诺贝尔物理学奖获得者的摇篮”。一、位移电流麦克斯韦电磁理论的核心是位移电流假说，位移电流是将安培环路定理运用于含有电容的交变电路中出现矛盾而引出的。下面总结一下前面讲过的电磁场的基本规律。(1)静电场的高斯定理建立在静止电荷相互作用的实验基础之上。麦克斯韦假定它在电荷与场都随时间变化时仍成立。(2)电场环路定理即法拉弟电磁感应定律，时过渡到静电场环路定理。麦克斯韦假定该式也普遍成立。(3)磁场的高斯定理麦克斯韦假定其普遍成立（各种情况下未发现不成立）(4)安培环路定理稳恒情况下成立。麦克斯韦将该式推广到非稳恒情况下时遇到了困难，下面以含有电容的交变电路为例说明问题的产生。我们知道，稳恒电流磁场的安培环路定理为：稳恒电路：穿过L为边线的曲面S1、S2的电流I0

相同，下式成立。稳恒电路~非稳恒电路非稳恒电路：可见，对同一边界L所作的不同曲面S1和S2，通过的电流不同，安培环路定理不成立。问题非稳恒情况下磁场环路积分满足什么表达式？有电容电路中问题的核心在于电流的不连续上，我们应设法找出一个物理量来代替传导电流，使之“连续”，以保证安培环路定理的成立。~非稳恒电路稳恒情况下电流连续性方程：非稳恒情况下电流连续性方程：按麦克斯韦的假定，非稳恒情况下电场的高斯定理仍成立。对时间求导数得：此物理量对任意闭合曲面积分为0，即以L为边线的任意两曲面S1和S2组成闭合曲面，则从S1流进的等于从S2面流出的。定义全电流密度：由前面推导可知，全电流密度是连续的，即我们知道，非稳恒电路中安培环路定理不成立的原因是传导电流的不连续性。现在我们找到了一个物理量，并证明了它是连续的，因此麦克斯韦假定在非稳恒情况下，上述安培环路定理中的应该用来代替，即这就是麦克斯韦的位移电流假说，其中

位移电流与传导电流的关系位移电流与传导电流在产生磁效应上是等效的。(2)产生的原因不同：传导电流是由自由电荷运动引起的，而位移电流本质上是变化的电场。(3)通过导体时的效果不同：传导电流通过导体时产生焦耳热，而位移电流不产生焦耳热。1.麦克斯韦方程组的积分形式(1)电场的性质(2)磁场的性质(3)变化电场和磁场的联系(4)变化磁场和电场的联系二、麦克斯韦方程组积分形式不能表示各电磁场量在场中各点上的点—点对应关系，所以要求我们把积分形式的方程组化成微分形式。假定自由电荷体密度为0，则高斯定理为：由数学中的高斯定理2.麦克斯韦方程组的微分形式上式对任意体积V

都成立，所以此式即为高斯定理微分形式。同理可得：下面推导安培环路定理的微分形式。由数学中的斯托克斯定理得由于S是任意的，所以同理，麦克斯韦方程组可写成如下的微分形式：直角坐标系中，算符称为劈形算符或纳布拉算符麦克斯韦方程组是经典电磁理论之基础。每一式的物理意义如下：第一式：静电场是有场源；第二式：磁场是无源场，磁感应线闭合，自由磁荷不存在；第三式：不但传导电流能激发磁场，而且变化的电场也能激发磁场。第四式：不但电荷能激发电场，而且变化的磁场也能激发电场；解决电磁问题常遇到介质，需引进反映介质状态的方程方可解决适用于各向同性非铁磁质。有非静电力时，使用3.介质状态方程4.电场和磁场的本质及内在联系电荷电流磁场电场运动变化变化激发激发5.麦克斯韦电磁场理论的局限性（2）麦克斯韦电磁理论在微观区域里不完全适用，它可以看作是量子电动力学在某些特殊条件下的近似规律。（1）麦克斯韦方程组适用于宏观领域，原则上可求解任何宏观电磁场问题。例：半径为R的平板电容器均匀充电内部充满介质求：1)I

d(忽略边缘效应)P解：2)（r<<R）充电放电I

d方向与外电路传导电流方向一致<解：过P点垂直轴线作一圆环P等效为位移电流均匀通过圆柱体2)求：（r<<R）由全电流定理有§2电磁波一、电磁波的产生与传播由给定条件求解麦克斯韦方程组，能够证明在空间有电磁场的传播，变化电磁场在空间的传播称为电磁波。已发射出去的电磁波，即使当激发它的源消失后仍将继续存在并向前传播，所以电磁场可以脱离电荷和电流而单独存在，并在一般情况下以波的形式运动。1865年，麦克斯韦理论预言电磁波的存在。1888年，赫兹实验证实了电磁波的存在。理论指导实验的典型事例。电磁波预言的定性分析：是涡旋电场和位移电流这两个假设的必然结果。（1）变化磁场激发涡旋电场（2）变化电场激发涡旋磁场电磁波传播过程的定性解释为了更深入地了解电磁波的产生，首先介绍电磁振荡（发射电磁波的振源）。1、自由振荡LC振荡电路。若电路中无电阻，电路也没有辐射，由能量守恒：对时间求导得：此为振动方程振动角频率为：无阻尼自由振荡，L、C越小，则振荡频率越高。2、阻尼振荡LCR电路（实际电路）。若电路中有电阻或一部分能量以电磁波的形式发射出去，振幅会衰减。R较小时，解为可见，LC电路能够产生电磁振荡，可作为发射电磁波的振源，但为了有效地发射电磁波，还必须满足下列条件：①频率足够高：可以证明，电磁波的辐射功率正比于频率的四次方，频率越高，辐射的电磁波越强。②电路开放：LC振荡电路中的能量集中于电容和电感中，为将电磁能发射出去，必须使电磁能分散到空间中。电路改造方法：增加电容器极板间距d，缩小极板面积S，减少线圈匝数

n。LC电路变为一直导线，电流在其上振荡，两端交替出现正负电荷，称为振荡偶极子（或偶极振子）。由于电容C

很小，充电量UC

也很小，相应地振荡电流和电磁波也弱，为了解决这个矛盾，应尽量增大U，赫兹采用高压感应线圈充电。可见，这样不仅提高了振荡频率，而且还将原来封闭于电容器中的电场和封闭于线圈中的磁场对空间开放出来，这样才更有利于电磁波的辐射。3、赫兹实验——电磁波的实验验证。赫兹（Hertz,H.R.,1857—1894）

德国物理学家。

首次用实验证实了电磁波的存在，开创了无线电电子技术的新纪元。此外，赫兹还研究了紫外光对火花放电的影响，发现了光电效应。这一发现，后来成了爱因斯坦建立光量子理论的基础。

1894年元旦因血中毒逝世，年仅36岁。为了纪念他的功绩，人们用他的名字来命名各种波动频率的单位，简称"赫"。

黄铜杆A、B是用以产生电磁波的振荡偶极子，感应圈周期性地在其间产生很高的电势差。A、B间留有一个空隙，当偶极子被充电到很高的电势差时开始击穿空气放电，两根杆就被连成一条导电通路，这时它相当于一个振荡偶极子，发射电磁波。由于偶极子的电容和自感都很小，因而振荡频率很高，其频率的数量级是108Hz。赫兹实验原理

（1）发射装置由于能量不断损失，所以产生的振荡是阻尼振荡。感应圈周期性地（感应圈的周期比振荡周期大很多）对偶极子充电，每充电一次，偶极子就在放电时产生一次阻尼振荡。（2）接收装置

有了发射源，只要在距它一定距离检测到变化的电磁场，就证明了电磁波的存在。自从1879年柏林科学院出重金征求对电磁波的实验验证，曾有不少科学家想做证实电磁波的实验，但都受阻于“电磁波接收器”，人们想象接收器一定非常复杂和极难制作。

赫兹根据电磁感应定律制成了极为简单的接收器（共振偶极子）。

赫兹认为，若电磁波真的传到了空间某点，则该处共振偶极子两小球间会出现感应电动势，若小球很近，感应电动势足够高，空气会被击穿，出现火花放电。经过不断失败，赫兹终于在1887年的某一天，在暗室中观察到了铜球间微弱的火花放电，明白无误地证实了电磁波的存在。随后，赫兹发现电磁波和光波一样具有反射、干涉及偏振等现象，测量了波长，初步证实了光波的本质是电磁波。金属镜金属镜发射接收波长测量装置振荡的电偶极子相当于一个交变电流元，振荡偶极子所激发的电场和磁场都是迅速变化的，不能用静电场理论和稳恒电流磁场的理论来计算，而必须用麦克斯韦方程计算。下面仅给出计算结果。二、偶极振子发射的电磁波+–+q-ql设球心有一偶极子，l沿z沿方向，电流近区场：由交变电流元i(t)l的瞬时值决定由电偶极矩的瞬时值p(t)决定远区场：分析远区场的性质：①

E和H都具有波动性质，E、H的相位在矢径的方向上以速度c

传播。推导：对t

求导得电磁波的相速度②

E和H具有相同的变化规律。半径为r的球面上具有相同的位相，即等相位面为球面。（球面波）③

H场只在方向存在（纬线）E场只在方向存在（经线）即，电力线沿经线分布，磁力线沿纬线分布。④

电场和磁场振幅中都含有sin项，说明同一经线上各点场强不同。⑤对同一点E和

H的振幅关系⑥

辐射能量电磁场能流密度矢量能流密度与频率四次方成正比。三、平面电磁波的性质远离波源的电磁波可看成平面电磁波，其波面是平面，波面内各点相位相同。自由空间（无自由电荷和传导电流）的平面电磁波具有如下性质。横波

E和H互相垂直

E和H同位相

E和H的振幅满足

传播速度以上性质与偶极振子远区场相同，实际上在远区场处一个小范围内近似为平面波。下面从麦克斯韦方程组推导平面电磁波的表达式讨论沿z轴正向传播的平面波波面为垂直于z轴的平面，面上各点振动状态（相位）相同对x,y

求导为零kzxy0kzxy0说明电磁波是横波另外4个方程化为：假设电磁波为线偏振波，即E只在x

轴一个方向振动，则Ey=0，得最后方程化为（略去下标）：这是两个完全一样的波动方程，其解可写为复数形式：复振幅初位相代入波动方程可得：波速真空中波速复数解代入方程得四、电磁波谱按波长或频率顺序把所有电磁波排列起来，称电磁波谱。§3电磁场的能流密度一、电磁场能量守恒定律的表达式

空间任意体积V内的总电磁能为：

电磁场是一种物质存在形式，电磁场具有能量当电磁场随时间t变化时

由得由麦克斯韦方程组利用矢量运算公式：得：闭合曲面