第7章 时间序列趋势外推预测

7.1时间序列具有水平趋势的外推预测法7.2一次移动平均法和一次指数平滑法7.3线性二次移动平均法7.4线性二次指数平滑法7.5序列有线性趋势和季节波动的外推预测法7.6不同的滑动平均方法及其在趋势外推预测中的应用7.7温特线性和季节性指数平滑法第7章时间序列趋势外推预测法7.1样本序列具有水平趋势的外推预测一、朴素预测法或者优点：简单方便；成本低。缺点：未能充分利用历史信息，易受随机波动影响。二、平均数预测法相对于朴素预测法来说，有更高的精度，克服了易受随机干扰的影响，能充分利用历史信息。三、常数均值模型且相互独立。1.已知预测误差为即为无偏预测。2.未知预测误差同样是无偏的，且预测误差的方差为用最小二乘估计法得到故预测公式为四、预测校正设现有样本序列，要增加观测值，则预测值变为也可表示成预测误差修正系数7.2一次移动平均法和一次指数平滑法一、一次移动平均法一次移动平均方法是收集一组观察值，计算这组观察值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数，必须一开始就明确规定。每出现一个新观察值，就要从移动平均中减去一个最早观察值，再加上一个最新观察值，计算移动平均值，这一新的移动平均值就作为下一期的预测值。（1）移动平均法有两种极端情况在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数N=1，这时利用最新的观察值作为下一期的预测值；N=n，这时利用全部n个观察值的算术平均值作为预测值。当数据的随机因素较大时，宜选用较大的N，这样有利于较大限度地平滑由随机性所带来的严重偏差；反之，当数据的随机因素较小时，宜选用较小的N，这有利于跟踪数据的变化，并且预测值滞后的期数也少。由移动平均法计算公式可以看出，每一新预测值是对前一移动平均预测值的修正，N越大平滑效果愈好。设时间序列为,移动平均法可以表示为：式中：为最新观察值；为下一期预测值；（2）移动平均法的优点计算量少；移动平均线能较好地反映时间序列的趋势及其变化。（3）移动平均法的两个主要限制限制一：计算移动平均必须具有N个过去观察值，当需要预测大量的数值时，就必须存储大量数据；限制二：N个过去观察值中每一个权数都相等，而早于（t-N+1）期的观察值的权数等于0，而实际上往往是最新观察值包含更多信息，应具有更大权重。

•例1分析预测我国平板玻璃月产量。时间实际观测值三个月移动平均值五个月移动平均值

123456789101112203.8214.1229.9223.7220.7198.4207.8228.5206.5226.8247.8259.5---215.9222.6224.8214.6209.0211.6214.3220.6227.0-----218.4217.4216.1215.8212.4213.6223.5下表是我国某年平板玻璃月产量，试选用N=3和N=5用一次移动平均法进行预测。计算结果列入表中。二、一次指数平滑法一次指数平滑法是利用前一期的预测值

代替

得到预测的通式，即：或一次指数平滑法是一种加权预测，权数为α。它既不需要存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而可以大大减少数据存储问题，甚至有时只需一个最新观察值、最新预测值和α值，就可以进行预测。它提供的预测值是前一期预测值加上前期预测值中产生的误差的修正值。由一次指数平滑法的通式可见：一次指数平滑法的初值的确定有几种方法：

取第一期的实际值为初值；取最初几期的平均值为初值；取的反向预测值，即运用反向平滑公式若序列长度充分大，则初始值可任意确定。一次指数平滑法比较简单，但也有问题。问题之一便是力图找到最佳的值，以使均方差最小，这需要通过反复试验确定。直观法/主观法；序列变化缓慢，用较小的，否则用较大的。模拟法/客观法；具体操作方法：穷举法和0.618法。

•例2

利用下表数据运用一次指数平滑法对1981年1月我国平板玻璃月产量进行预测（取=0.3，0.5，0.7）。并计算均方误差选择使其最小的

进行预测。拟选用试预测。结果列入下表：时间序号实际观测值指数平滑法123456789101112123456789101112203.8214.1229.9223.7220.7198.4207.8228.5206.5226.8247.8259.5

—203.8206.9213.8216.8218.0212.1210.8216.1213.2217.3226.5—203.8209.0230.0226.9223.8211.1209.5219.0212.8219.8233.8—203.8211.0224.2223.9221.7205.4207.1222.1211.2222.1240.1α=0.3，α=0.5，α=0.7时，均方误差分别为：

MSE=287.1MSE=297.43MSE=233.36

因此可选α=0.7作为预测时的平滑常数。下一年1月的平板玻璃月产量的预测值为：

由上表可见：最小7.3线性二次移动平均法一、线性二次移动平均法（1）基本原理为了避免利用移动平均法预测有趋势的数据时产生系统误差，发展了线性二次移动平均法。这种方法的基础是计算二次移动平均，即在对实际值进行一次移动平均的基础上，再进行一次移动平均。（2）计算方法线性二次移动平均法的通式为：m为预测超前期数（7.1）（7.2）（7.3）（7.4）（7.1）式用于计算一次移动平均值；（7.2）式用于计算二次移动平均值；（7.3）式用于对预测（最新值）的初始点进行基本修正，使得预测值与实际值之间不存在滞后现象；（7.4）式中用其中：除以，这是因为移动平均值是对N个点求平均值，这一平均值应落在N个点的中点。7.4线性二次指数平滑法一次移动平均法的两个限制因素在线性二次移动平均法中也才存在，线性二次指数平滑法只利用三个数据和一个α值就可进行计算；在大多数情况下，一般更喜欢用线性二次指数平滑法作为预测方法。其基本原理与线性二次移动平均法相似，因为当趋势存在时，一次和二次平滑值都滞后于实际值，将一次和二次平滑值之差加在一次平滑值上，则可对趋势进行修正。计算公式：为一次指数平滑值；为二次指数平滑值；设线性趋势预测方程为则这样便得到预测公式：例：设某公司的月销售额如表所示，该序列数据的变化趋势是由线性上升到线性下降。现分别求出一次、二次指数的平滑值，并运用线性趋势方程进修预测，计算结果如表。由表可以看出，运用二次指数平滑的预测结果除序列的转折点外，其他点的预测精度都比一次指数平滑的预测精度高。月份实际销量11010101021210.310.2110.3931311.4911.1111.8841612.5512.3312.7851914.9714.1815.7862317.7916.7118.8772621.4420.62122.2683024.6323.4325.8392828.3926.90229.88101828.1227.7528.49111621.0423.0519.03121417.5119.1715.857.5序列有线性趋势和季节波动的外推预测法一、时间序列的分解经济时间序列的变化受到长期趋势、季节变动、周期变动和不规则变动这四个因素的影响。其中：（1）长期趋势因素（T）

反映了经济现象在一个较长时间内的发展方向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势。（2）季节变动因素（S）

是经济现象受季节变动影响所形成的一种长度和幅度固定的周期波动。（3）周期变动因素（C）

周期变动因素也称循环变动因素，它是受各种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动。（4）不规则变动因素（I）

不规则变动又称随机变动，它是受各种偶然因素影响所形成的不规则变动。二、时间序列分解模型

时间序列y可以表示为以上四个因素的函数，即：

时间序列分解的方法有很多，较常用的模型有加法模型、乘法模型和混合模型。

加法模型为：乘法模型为：混合模型为：三、加法型序列的外推预测法（不考虑）春夏秋冬平均值例：某市的啤酒销售量有如下表的数据序列，试求出第21，22，23，24季度的啤酒销售量的预测值。季度春夏秋冬春夏秋冬春夏t12345678910销售量（万瓶）22323528304245333648季度秋冬春夏秋冬春夏秋冬t11121314151617181920销售量（万瓶）50404457625255687462解：步骤如下：春夏秋冬-534-5-556-8-733-9-747-5-4711-3平均-5.64.46.2-6四、乘法型序列的外推预测法（不考虑）年份季度春%夏%秋%冬%197876.71104.031979115.50110.8276.54103.671980111.20108.6175.70106.151981114.78109.5076.03105.601982111.81110.5078.73104.16例：某地某种服装的销售量有下述季度销售数据，根据该表，绘制销售量随时间变化的图形，从图形可以看出，序列呈季节性变化，季节长度为4。此外，序列有线性长期趋势，按乘法型序列外推预测法的基本原理，其模式为试求2000年春、夏、秋、冬各季某种服装的销售量预测值。年份季度销售量年份季度销售量19911801994131042701410039015120410016140199259019951711468018104710519130812020148199399819962112210902211211110231381213024158单位：万件季度季度19911801994131041110.93727014100113.50.881390851.059151201161.035410087.5151.181199259092.50.9731995171141220.93468093.750.853181041220.853710598.751.063191301241.0488120100.751.191201481261.1751993998103.250.9491996211221280.9531090104.50.861221121300.862111101071.02823138132.51.04212130108.51.19824158年份季度春夏秋冬19911.0591.14319920.9730.8531.0631.19119930.9490.8611.0281.19819940.9370.8811.0351.18119950.9340.8531.0481.17519960.9530.8621.042平均7.6不同的滑动平均方法及其在趋势外推预

测中的应用1.中心化平均法2.中位平均数即去掉最高的和最低的，剩余的求平均值。得到的结果就可以直接应用。3.中心化平均法在趋势外推预测中的应用。考虑中心化滑动平均法，重新计算上一例题。如下表。季度

4个月的滑动平均值4个月的中心化滑动平均值19811802703908586.25410087.590198259092.593.12568093.7596.25710598.7599.758120100.751021983998103.25103.8751090104.5105.7511110107107.7512130108.5109.75季度

4个月的滑动平均值4个月的中心化滑动平均值198413104111112.2514100113.5114.7515120116117.2516140118.5120.2519851711412212218104122123191301241252014812612719862112212812922112130131.2523138132.5241587.7温特线性和季节性指数平滑法

一、温特线性和季节性指数平滑法的基本原理温特线性和季节性指数平滑法利用三个方程式，其中每一个方程式都用于平滑模型的三个组成部分（平稳的、趋势的和季节性的），且都含有一个有关的参数。该方法既可用于乘法型序列，也可用于加法型序列。这里，我们只针对乘法型序列进行讨论。清除了季节影响，但保留了随机因素的影响对的估计平滑系数既消除了季节影响，又消除了部分随机干扰的趋势分量平滑系数对时间点n+1序列线性趋势斜率的估计平滑系数消除了趋势影响但保留了随机影响的季节指数上一季节周期的季节指数消除了部分随机影响例：某市啤酒销售量按季度统计有如下数据。（百万元）年份季度时期销售额年份季度时期销售额200311362200611354422385214582334323156814434141655720041538220071176282640921870737498319773483874205922005194732008121627210513222725311582323854412