山东省青岛市即墨南泉中学高三数学文上学期期末试卷含解析

山东省青岛市即墨南泉中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（

）

参考答案：A2.若，则，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.已知函数为偶函数，则的一个取值为（

）

A.

0

B.

C.

D.

参考答案：B略4.已知命题命题使，若命题“且”为真，则实数的取值范围是 ()A．B．C．

D．参考答案：D略5.若能构成映射，下列说法正确的有（

）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；A、1个

B、2个

C、3个

D、0个参考答案：B6.已知集合,,则（

）A．(0,2)

B．[0,2]

C．{0,2}

D．{0,1,2}参考答案：D7.定义设实数满足约束条件则的取值范围是 （A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略8.已知是定义在R上的单调函数，实数，，，若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：答案：A9.如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标，记矩形的周长为，则（

）A．208

B.216

C.212

D.220参考答案：B略10.设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i参考答案：C【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥S-ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，，则球O的表面积为

．参考答案：.试题分析：以底面三角形作菱形，则平面ABC，又因为SC⊥平面ABC，所以，过点作，垂足为，在直角梯形中，其中，所以可得，所以，所以球O的表面积为，故应选.考点：1、球的表面积；2、简单的空间几何体；12.右图是求实数的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填

．参考答案：或13.在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为___________.参考答案：36略14.（几何证明选做题）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为

.参考答案：15.在极坐标中，已知点为方程所表示的曲线上一动点，点的坐标为，则的最小值为____________．参考答案：16.某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．

第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题第8题得分甲××√××√×√5乙×√××√×√×5丙√×√√√×××6丁√×××√×××？丁得了_______________分．参考答案：6【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同

所以，丁的得分也是6分。

故答案为：617.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是

寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）参考答案：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸．则盆中水的体积为（立方寸）．所以则平地降雨量等于（寸）．故答案为3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）动点P在椭圆C上，直线l：x=4与x轴交于点N，PM⊥l于点M（M，N不重合），试问在x轴上是否存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=1，再由正三角形的高与边长的关系，可得b=，进而得到a，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）假设存在点T，使得∠PTN的平分线过PM中点．设P（x0，y0），T（t，0），PM中点为S．由角平分线的定义和平行线的性质，再由两点的距离公式和P满足椭圆方程，化简整理，即可得到定点T．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆C的焦距2c=2，解得c=1，因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，所以b=c=，a==2，所以椭圆C的标准方程为+=1；

（Ⅱ）假设存在点T，使得∠PTN的平分线过PM中点．设P（x0，y0），T（t，0），PM中点为S．因为PM⊥l于点M（M，N不重合），且∠PTN的平分线过S，所以∠PTS=∠STN=∠PST．又因为S为PM的中点，所以|PT|=|PS|=|PM|．即=|x0﹣4|．因为点P在椭圆C上，所以y02=3（1﹣），代入上式可得2x0（1﹣t）+（t2﹣1）=0．因为对于任意的动点P，∠PTN的平分线都过S，所以此式对任意x0∈（﹣2，2）都成立．所以，解得t=1．所以存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，此时定点T的坐标为（1，0）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，同时考查存在性问题的求法，角平分线的性质和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．19.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且.(I)求角B的大小.(Ⅱ)已知b=2，求△ABC面积的最大值.参考答案：解：(I)中，即解得(舍)或所以.(Ⅱ)由(I)知根据余弦定理得代入得，得，解得，所以的面积最大值为20.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，D是棱AB的中点．（1）求证：；（2）求证：．参考答案：(1)见详解；（2）见详解.【分析】（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，可求O为AC1的中点，D是棱AB的中点，利用中位线的性质可证OD∥BC1，根据线面平行的判断定理即可证明BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可证平行四边形ACC1A1是菱形，由其性质可得AC1⊥A1C，利用线面垂直的性质可证AB⊥AA1，根据AB⊥AC，利用线面垂直的判定定理可证AB⊥平面ACC1A1，利用线面垂直的性质可证AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根据线面垂直的判定定理可证A1C⊥平面ABC1，利用线面垂直的性质即可证明BC1⊥A1C．【详解】（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：OD∥BC1，又因为：BC1?平面A1CD，OD?平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC＝AA1，所以：平行四边形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为：AB?平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因为：AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C?平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB?平面ABC1，AC1?平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因为：BC1?平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．21.（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数的单调单调性；（2）当时，若函数在区间上的最大值为28，求的取值范围．

参考答案：解：(1)． …………………2分令得 …………………3分（i）当，即时，，在单调递增 ………4分（ii）当，即时，当时，在内单调递增当时，在内单调递减 …………………5分（iii）当，即时，当时，在内单调递增当时，在内单调递减 …………………6分综上，当时，在内单调递增，在内单调递减；当时，在单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减．（其中） ………………………7分（2）当时， 令得 …………………8分将，，变化情况列表如下：100↗极大↘极小↗………………………10分由此表可得， 又 ，故区间内必须含有，即的取值范围是． …………12分22.（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明平面； （Ⅲ）求二面角的正弦值的大小参考答案：（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故，平面而平面，（Ⅱ）证