江苏省苏州市2023届迎一模十校联考数学试题2023.3

江苏省苏州市2023届迎一模十校联考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．命题“”的否定是★．2．已知复数，（是虚数单位），若为纯虚数，则实数＝__★_3．直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是__★4.执行右边的程序框图，若，则输出的★．5．已知点A、B、C满足，，，则的值是_____★________.6．若直线过点，则以坐标原点为圆心，长为半径的圆的面积的最小值是★．7．已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为★.8．分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m和n，则的概率为★9．设等差数列的公差为，若的方差为1，则=__★_10．已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为_★_11．已知、是椭圆+=1的左右焦点，弦过F1，若的周长为，则椭圆的离心率为★．12．实数满足，且，则★13．已知一个正三棱锥P－ABC的主视图如图所示，若AC＝BC＝，PC＝，则此正三棱锥的全面积为_____★____14．已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_★___二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，，．（Ⅰ）求角的值;（Ⅱ）若，求△ABC面积．16．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．17．已知数列的前n项和为，且．（Ⅰ）求数列通项公式；（Ⅱ）若，，求证数列是等比数列，并求数列的前项和．18．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t（件），价格近似满足（元）．（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；（Ⅱ）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．19.已知⊙过点,且与⊙:关于直线对称.（Ⅰ）求⊙的方程；（Ⅱ）设为⊙上的一个动点,求的最小值；（Ⅲ）过点作两条相异直线分别与⊙相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.20．已知函数图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）；（Ⅲ）令，如果图象与轴交于，AB中点为，求证：．数学（附加题）21．选修4—2矩阵与变换已知矩阵，求特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2．22．已知直线和圆，判断直线和圆的位置关系．23．如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，⊥平面ABCD，且，，点E是AB上一点，AE等于何值时，二面角的平面角为．24．已知方程为常数。（Ⅰ）若，，求方程的解的个数的期望；（Ⅱ）若内等可能取值，求此方程有实根的概率．参考答案1．2．3．a＝－2．4.5．6．7．8．9．10．11．12．013．14．1815．解：（Ⅰ）由得，，3分，5分又，∴。7分（Ⅱ）由可得，，9分由得，,12分所以，△ABC面积是14分17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．∴SABCD＝．………………3分则V＝．………………5分（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．………………7分∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC．………9分∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．……10分（Ⅲ）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．………12分在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．………14分∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．………15分证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．……12分∵E为PD中点，∴EC∥PN．……14分∵EC平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．………15分17．解：（Ⅰ）n≥2时，．…4分n＝1时，，适合上式，∴．…5分（Ⅱ），．…8分即．∴数列是首项为4、公比为2的等比数列．…10分，∴．………………12分Tn＝＝．…14分18．解：（Ⅰ）……4分＝……8分（Ⅱ）当0≤t＜10时，y的取值范围是[1200，1225]，在t＝5时，y取得最大值为1225；……11分当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1200]，在t＝20时，y取得最小值为600．……14分（答）总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；第20天，日销售额y取得最小为600元．……15分19.解:(Ⅰ)设圆心,则,解得…(3分)则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为…………(5分)(Ⅱ)设,则,且…………(7分)==,所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)…………(10分)(Ⅲ)由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,,由,得……………(11分)因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得…………(13分)同理,,所以=所以,直线和一定平行………………(15分)20．解：（Ⅰ），，．∴，且．……2分解得a＝2，b＝1．……4分（Ⅱ），令，则，令，得x＝1（x＝－1舍去）．在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；当x∈时，，∴h(x)是减函数．……7分则方程在内有两个不等实根的充要条件