教育技术与数学探究

主讲人：徐秀莲2015.05五寨宁武“山西省国培”送培活动“山西省国培”送培活动“山西省国培”送培活动探究：“探索研究”

也称发现学习,是学生在学习情境中通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流、检验的过程。一、开展数学探究活动的意义数学学习的四个层次:一、开展数学探究活动的意义

《新课标》（修订稿）提出“教材应选用合适的学习素材，设计必要的数学活动，让学生通过活动，感悟知识的形成和应用。教师要以问题情境为载体，引导学生经历观察、猜想、计算、推理、验证等进行自主地探索、研究问题本质的探究活动。一、开展数学探究活动的意义2015年开始，中考将全面落实2011版的义务教育数学课程标准一、开展数学探究活动的意义新课标中第三学段

具体内容的变化一、开展数学探究活动的意义1.删减一些内容能对含有较大数字的信息作出合理的解释与推断了解有效数字的概念能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题（不等式组的建模）极差、频数折线图梯形：掌握梯形的概念和性质；探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件；证明等腰梯形的性质定理和判定定理圆与圆的位置关系影子、视点、视角、盲区；雪花曲线和莫比乌斯带等的欣赏镜面对称

一、开展数学探究活动的意义2.适当增加内容必学内容：

●最简二次根式和最简分式的概念

●能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等

●能用计算器处理较为复杂的数据

●理解平均数的意义，能计算中位数、众数选学内容：

*能解简单的三元一次方程组

*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数

*了解一元二次方程的根与系数的关系

解方程组的基本思路是消元，二元方程组消元基本操作层面只要操作熟练就行，但消元思想不够，解三元方程组才更需考虑先选择消谁，怎么消。消元思想更突出。探究意识自然就产生了。一、开展数学探究活动的意义加强运算教学，强调算理。为实施运算创设条件

；规范运算结果的表示；为后续学习奠定基础选学几何部分了解平行线性质定理的证明了解相似三角形判定定理的证明了解圆周角及其推论的证明探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧

探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等强调探究一、开展数学探究活动的意义课标中课程内容变化的目的：1、解决后续的数学问题

2、加深对数学思想的理解

3、培养探究的意识一、开展数学探究活动的意义数学教学是数学探究活动的教学。

开展数学探究活动的教学，能突出学生的主体地位，有利于教师充分了解不同层次学生的学习信息，针对学生认知过程中出现的问题给予点拨引导和帮助；有利于学生在探究活动的过程中提高发现、分析问题和解决问题的能力；有利于发展学生的创新意识和实践能力。一、开展数学探究活动的意义

改变学生数学学习的方式，变“听数学”为“做数学”，变“看演示”为“动手操作”，变“机械接受”为“主动探究”。一、开展数学探究活动的意义“山西省国培”送培活动“山西省国培”送培活动

关于三角形的内角和定理的教学

小学是通过测量和拼图，了解三角形内角和是180度。这说明升入初中的学生已经知道了三角形内角和的事实。对于初中学生的要求是：“探索并证明三角形内角和定理。掌握它的推论。”案例一“山西省国培”送培活动如何进行内角和定理的教学？

也就是如何探究？需不需证明？如何证明？有哪些推论？“山西省国培”送培活动需要证明？

告诉学生：

眼见未必为实,测量存在误差，

三角形千姿百态，不可能一一测量。“山西省国培”送培活动大小“山西省国培”送培活动形状“山西省国培”送培活动明暗“山西省国培”送培活动动静“山西省国培”送培活动小学的三角形的内角和定理的拼图与测量不满足证明带来“信服”的安全感，我们还是需要对这一定理进行演绎推理。“山西省国培”送培活动课本的探究中“将它的内角剪下来拼合在一起”是如何想到的呢？

小学学习的时候如果不讲，那么，到了初中，教师是不是要引导学生去思考呢？

我们知道，在课堂教学中，教师的任务不是教给学生一个又一个结论，而是要引导学生去理解问题、分析问题及解决问题.任何操作行为的背后都有思维活动，教师就是要让这种思维活动能在课堂教学中展示出来，并不断地引向深入.“山西省国培”送培活动

定理证明的引入除了从学生熟悉的验证方法展开外，也可以从平面几何内部知识的逻辑关系去思考.

“山西省国培”送培活动学了新概念“圆”用圆的观点审视已经学过的直线形知识，有什么新的发现？案例二“山西省国培”送培活动在Rt△ABC中，CD是中线，用圆的语言表述，则1°C在以D为圆心、以AB

为直径的圆上；2°∠ACB是以AB为直径的

圆上的圆周角。在三角形(直线形)中：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”而以AB为斜边的直角三角形有无数个!C1C2C3圆周角?ABCD“山西省国培”送培活动

用圆的观点审视已经学过的直线形知识，让学生用动态的眼光审视静态的直线型图形。直角顶点在圆上动，但这角所对的弧不动，从而寻找变中不变的思想，探究出所需要的结论，架构了直线型与曲线性图形之间的联系。为后续解决同类问题提供方法。“山西省国培”送培活动长期以来，我们在教学内容的选择上，往往关注具体的、客观的数学结论，而相对忽视形成这些结论的数学活动过程；关注处于显形态的数学事实，而相对忽视处于潜形态的数学思想及方法；关注遵循数学知识的逻辑关系与结构，而相对忽视如何有利于学生的理解，为学生主动地从事观察、实验、猜测、推理与交流等数学活动提供适宜的学习素材。“山西省国培”送培活动课程标准的基本理念：“不同的人在数学上得到不同的发展”。希望数学教育能最大限度地满足每一个学生的数学需求，最大限度地开启每一个学生的智慧潜能，为每一个学生提供多样性的弹性发展空间，这里也包括数学特长生。“山西省国培”送培活动找规律主题拓展性学习案例三“山西省国培”送培活动1．观察下列各组数，尝试写出第n个数：（1）有一列数：2，4，6，8，10，…，则第n个数是

；序号：1，2，3，4，5，…，n数列：2，4，6，8，10，…，2n2n学生自行探究体验“山西省国培”送培活动（2）有一列数：2，4，8，16，32，…，则第n个数是

；序号：1，2，3，4，5，…，n数列：2，4，8，16，32，…，（1）经历了一个类比的过程，体验了类比的数学思想。2n2n（2）经历了一个从特殊到一般的过程，体验了从特殊到一般的数学思想。“山西省国培”送培活动生活模型1．折纸：层数2．拉面：根数基于哲学的思考：不能孤立、静止地看问题，加强事物（事件）之间的联系，特别是与生活的联系。2n2n248248“山西省国培”送培活动（3）有一列数：1，3，6，10，15，…，则第n个数是

；序号：1，2，3，4，5，…，n数列：1，3，6，10，15，…，1=1，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+2+3+4+5=15，……，1+2+3+……+（n-1）+n=“山西省国培”送培活动生活模型2．圆形物体堆放的层数与总个数的关系1361．线段的条数136“山西省国培”送培活动初步感知：我们试图用一个代数式表示出一个数列的演变准则。核心概念一：找出一个代数式来表示某事物（或事件）的演变准则的过程叫做找规律。上面的例题让学生关注到找规律的方法的多样性“山西省国培”送培活动（4）有一列数：－，，－，，－，…，第n个数

；

操作感悟：说说你探究的步骤有哪些？（1）分析；（2）尝试；（3）归纳；（4）验证。核心知识二：找规律步骤：析、试、归、验1、观察分析：与序号联系；2、推理尝试：纵横向类比；3、猜想归纳：写出关系式；4、验证规律：取多值验证。“山西省国培”送培活动（4）有一列数：－，，－，，－，…，第n个数

；

也可以表示成：（1）当n为奇数时，第n个数为

；（2）当n为偶数时，第n个数为

；体现了分类思想“山西省国培”送培活动变式引领（5）观察：①9－1=2×4；②25－1=4×6；③49－1=6×8；④81－1=8×10；……；按此规律写出第n个等式是

。你的解题策略是什么？

“山西省国培”送培活动（6）观察：①9－1=2×4；32－1=2×4；1②25－1=4×6；52－1=4×6；2③49－1=6×8；72－1=6×8；3④81－1=8×10；92－1=8×10；4

解法分析1．改变已知等式的排列形式——利于观察分析；2．抓住变与不变——利于推理尝试；3．紧扣与序号关联——利于猜想归纳；4．归纳是否正确——一定要验证。第n个等式是

（2n+1）2-1=2n×（2n+2）。析、试、归、验“山西省国培”送培活动（6）．观察：①9－1=2×4；32－1=2×4；1②25－1=4×6；52－1=4×6；2③49－1=6×8；72－1=6×8；3④81－1=8×10；92－1=8×10；4

……；第n个等式是（）2-1=()×（）。你的验证策略有哪些？左边=4n2+4n+1-1=4n2+4n；右边=4n2+4n=左边；所以等式成立。

解完这道题你有什么感悟？

2n+12n2n+2体现了数学中的转化思想“山西省国培”送培活动（7）下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子：观察图形的变化规律，则第n个小房子用的石子块数为

个．“山西省国培”送培活动解法分析1．观察、分析，分离图形；2．分类推断；3．组合归纳；4．验证。体现了分解与组合的数学思想“山西省国培”送培活动（8）由若干根火柴棒拼成小金鱼的图形：（1）拼一个金鱼需要

根火柴；（2）拼三个金鱼需要

根火柴；（3）拼n个金鱼需要

根火柴。8=6+220=3×6+26n+2“山西省国培”送培活动解法分析1．观察、比较各个图形间的关联；2．分离出基本图形；3．每一个基本图形与火柴棒数量的关系；4．基本图形的数量与序号的关系。体现数学中的基本图形思想“山西省国培”送培活动观察分析推理尝试猜想归纳验证规律取多值验证写出关系式纵横向类比与序号联系3．找规律步骤：析、试、归、验“山西省国培”送培活动4．数学思想回顾基本图形思想经历了一个类比的过程，体验了类比的数学思想经历了一个从特殊到一般的过程，体验了从特殊到一般的数学思想体现了数学中的转化思想分解与组合的数学思想“山西省国培”送培活动

《标准》中“数学的基本思想”主要指：

数学抽象的思想；数学推理的思想；数学模型的思想。“山西省国培”送培活动

人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展；通过数学建模，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学科学的发展。

“山西省国培”送培活动数学抽象的思想

数学抽象的思想派生出的有：

分类的思想；集合的思想；数形结合的思想；变中有不变的思想；符号表示的思想；对称的思想；对应的思想；有限与无限的思想等。“山西省国培”送培活动

数学推理的思想派生出的有：

归纳的思想；演绎的思想；公理化思想；转换与化归的思想；联想与类比的思想；逐步逼近的思想；代换的思想；特殊与一般的思想等。“山西省国培”送培活动数学推理的思想

数学模型的思想派生出的有：

简化的思想；量化的思想；函数的思想；方程的思想；优化的思想；随机的思想；抽样统计的思想等。“山西省国培”送培活动数学模型的思想目前探究性教学存在的问题小步子：学生缺少数学探究的机会赶进度：学生缺少数学探究的空间套题型：学生缺少数学探究的意识重技巧：学生缺少数学探究的策略看分数：学生缺少数学探究的动力牵着走：学生缺少数学探究的氛围“山西省国培”送培活动

不是所有数学知识都要由学生自己探究得到，但那些隐含了丰富数学思想的知识，我们有必要组织学生探索。

例如三角形内角和定理学生已经知道结论，但要让学生明白这结论获得的途径。“山西省国培”送培活动

再如“零指数”是一种规定，不是“证明”，要确保学生正确地获得知识，不能仅仅要求学生记住“规定”并操练，应当引导学生感受“规定”的合理性，这就需要展开探究活动。

再如，三角形全等的判定方法的形成过程中隐含了数学分类、从特殊到一般等基本的数学思想方法，教学时就值得花更多的时间引导学生进行探究活动。“山西省国培”送培活动

“探索”的价值不仅仅是获得知识，更为重要的是让学生经历探索的过程，感受基本的数学思想，并获得基本数学活动经验。------这也是课标的理念。“山西省国培”送培活动教师的观念凡是能动手做的，就一定让学生尝试实验探究的过程远比结论要重要。

例如：圆锥的侧面展开图面积公式，重点不是用来计算的，而是怎样探究出面积计算方法的“山西省国培”送培活动“山西省国培”送培活动“山西省国培”送培活动1、传统教学难以呈现的内容2、

黑板画图不易操作的内容3、概念抽象理解困难的内容4、难点重思维密度大的内容“山西省国培”送培活动1、传统教学难以呈现的内容2、

黑板画图不易操作的内容3、概念抽象理解困难的内容4、难点重思维密度大的内容“山西省国培”送培活动1、传统教学中难以呈现的课程内容在过往的教学中，对于很多立体几何的知识，教师都难以找到好的教学方式在课堂上展开，特别是教学旋转、对称等知识时，很多学生都难以在头脑中构建出来。然而，通过采用多媒体技术中图形的移动、变形、翻转、色彩变化等手段呈现静态的教学内容时，则能把教学时说不清、道不明的内容很清晰地表达出来，并且学生理解起来也非常顺畅。如：点线面体平移、旋转等知识点的教学“山西省国培”送培活动点线面体利用信息技术可以展现丰富多彩的图形世界，丰富学习资源，有助于学生从中抽象出几何图形；图形的动态演示可以帮助学生认识立体图形与平面图形的关系，建立空间概念。案例一“山西省国培”送培活动

可以帮助学生在变化的图形中，寻找不变的位置关系和数量关系，从而发现图形的性质。案例二“山西省国培”送培活动平移、旋转正方体的展开图在具体情景中理解正方体的11种展开图。对正方体与它的平面展开图之间的转换，通过观察、思考、想象等数学活动，发展学生的空间观念．初步建立了空间观念，发展了几何直觉。案例三“山西省国培”送培活动对正方体的11种展开图的记忆还可以从分类和转化的思想去理解。“山西省国培”送培活动第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。“山西省国培”送培活动第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。123412341234123412341234“山西省国培”送培活动123123123第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。“山西省国培”送培活动第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。12第四类，两排各三个，只有一种。“山西省国培”送培活动分类讨论思想数“个数”的方法“山西省国培”送培活动转化的思想“接缝”“旋转”变换第三类，中间二连方。从几何直觉到合情推理“山西省国培”送培活动1、传统教学难以呈现的内容2、

黑板画图不易操作的内容3、概念抽象理解困难的内容4、难点重思维密度大的内容“山西省国培”送培活动1、传统教学难以呈现的内容2、

黑板画图不易操作的内容3、概念抽象理解困难的内容4、难点重思维密度大的内容“山西省国培”送培活动三角尺拼角1.用1副三角尺拼角

用1副三角尺可以直接得到30°，45°，60°，90°四种角，也可以拼出75°角（如图）。用1副三角尺还能拼出哪些小于平角的角？请你先拼再画．

可采取“相加”、“相减”的方法，共10种度数，分别是165°、150°、135°、120°、105°、75°、60°、45°、30°、15°．案例一“山西省国培”送培活动用2副三角尺也能拼出很多种角，请你先拼再画．通过上面的拼角活动，你有什么发现？

结论：15°的整数倍数的角都可以通过三角尺拼出来．让学生经历用三角尺拼角的过程，发展学生的观察和操作能力。以便学生更好地归纳“用1副或2幅三角尺拼角”的方法。也处理了教师在黑板上难以处理的问题。案例二2副三角尺拼角“山西省国培”送培活动时钟问题案例三

根据钟表的构造我们知道，1小时为一个大格对应30°,1分钟为一小格对应6°，把12点方向作为角的始边，把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边，则m时n分这个时刻时针所成的角为30（m+n/60）度，分针所成的角为6n度，而这两个角度的差即为两指针的夹角。若用α表示此时两指针夹的度数，考虑到两针的相对位置有前有后，为保证所求的角恒为正且不失解，我们得出计算某一时刻两指针所夹角的公式：α=|30（m+n/60）-6n|=|30m-5.5n|。“山西省国培”送培活动1、传统教学难以呈现的内容2、

黑板画图不易操作的内容3、概念抽象理解困难的内容4、难点重思维密度大的内容“山西省国培”送培活动1、传统教学难以呈现的内容2、

黑板画图不易操作的内容3、概念抽象理解困难的内容4、难点重思维密度大的内容“山西省国培”送培活动在数轴上表示无理数对无理数的认识与理解，原先八年级的学生尚感困难，现在面对七年级的学生，当属难上加难。通过演示，让他们经历无理数的产生过程，能够触摸到无理数。直观理解无理数可以用数轴上的点来表示。具体教学过程中，实验操作只是载体，关键是激发学生探究的兴趣，引发学生的交流和思考，渗透解决问题的策略和数学思想。案例一“山西省国培”送培活动垂线段最短

“测量与发现”、“操作与验证”是“垂线段最短”的两个不同的发现渠道，但目的都是从数学内部提出问题，通过观察、操作、比较，感知“垂线段最短”的性质．如果教学时间不允许，可选择利用几何画板软件进行验证，通过几何画板的“度量”功能验证“垂线段最短”的性质。帮助学生感知“垂线段最短”的性质．案例二“山西省国培”送培活动1、【同圆】圆心相同，半径也相等如果把这幅图看作由多个等圆叠合而成，那么这些圆······OABCDEFG既然它们是重合的，因此我们也时常认为同圆是“同一个圆”.换句话说仅当作一个圆看待同时我们还知道了在等圆中考虑问题，和在同圆中考虑问题，往往效果是一样的.从侧面并拉开一点看看^_^原本是叠合的案例三“山西省国培”送培活动O2.（圆）弧：圆上任意两点间的部分ABBAB从圆中取下一部分这部分叫做圆弧(简称弧)余下部分呢？“山西省国培”送培活动O2.（圆）弧：圆上任意两点间的部分ABABOABBA半个圆叫做半圆可见半圆是弧“山西省国培”送培活动“山西省国培”送培活动全等同圆或等圆中能够完全重合的弧是等弧ABCDABCD同圆中等圆中3.等弧：同圆或等圆中能够完全重合的弧是等弧DCAB“山西省国培”送培活动结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中“等弧”要区别于“长度相等的弧”DCAB同圆或等圆中能够完全重合的弧是等弧“山西省国培”送培活动【问题】车轮为什么要做成圆形的？“山西省国培”送培活动“山西省国培”送培活动

函数的增减性函数的增减性通过信息技术手段处理教材，把抽象的东西直观化。“山西省国培”送培活动

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

“山西省国培”送培活动信息技术的运用可以使得几何问题直观化“山西省国培”送培活动1、传统教学难以呈现的内容2、

黑板画图不易操作的内容3、概念抽象理解困难的内容4、难点重思维密度大的内容“山西省国培”送培活动《添加辅助线构造全等三角形》案例一“山西省国培”送培活动最短路径案例二对信息技术的合理利用还能够让教学过程中重难点更为突出，能够让很多核心内容得以清晰呈现，这将能够很好地帮助课堂教学效率的提升。同时，对于课堂教学中的一些难点，运用信息技术也能够很好地将其化解，能够增进学生们对于这些内容的理解与认知。“山西省国培”送培活动CASIOfx-82ESPLUS计算器简易使用方法(一)忻州十一中中数学组2011.11用到字体：宋体隶书楷体GB2312TimesNewRomanArial注意：fx-82es与fx-82esplus

略有不同。本演示文稿仅针对后者。请使用并完善本演示文稿。案例三“山西省国培”送培活动信息技术的引用适度减缓了学生探索数学问题的坡度，使数学学习进程相对学生的思维水平和经验背景更为合理和科学。

“始于欢乐，终于智慧”，通过画板或其他技术的演示，类似于经历了实验，使学生在学到知识和技能的同时，体验科学探究方法。“山西省国培”送培活动“山西省国培”送培活动“山西省国培”送培活动课堂观察哲学视角1科学视角2技术视角4什么样的课是好课？