传热学课件第5章2

5－3对流换热的边界层微分方程组1.边界层概念

速度发生明显变化的流体薄层。流动边界层厚度:紊流核心（1）流动边界层空气沿平板流动边界层厚度:流场划分:

主流区：y<边界层区:理想流体速度梯度存在、粘性力作用区。

边界层的流态：层流边界层、过渡区、紊流边界层

紊流核心紊流核心缓冲层层流底层

（2）热边界层边界层从层流开始向紊流过渡的距离。其大小取决于流体的物性、固体壁面的粗糙度等几何因素以及来流的稳定度，由实验确定的临界雷诺数Rc给定。临界距离xc：

对于流体外掠平板的流动,一般情况下，取温度变化较大的流体层

热边界层厚度t:边界层的传热特性：

在层流边界层内垂直于壁面方向上的热量传递主要依靠导热。紊流边界层的主要热阻为层流底层的导热热阻。

局部表面传热系数的变化趋势：流动边界层厚度与热边界层厚度t的比较：

两种边界层厚度的相对大小取决于流体运动粘度

（m2/s）与热扩散率

a

（m2/s）的相对大小。令

普朗特数对于层流边界层:Pr1，

；Pr1，

一般液体:Pr=0.6~4000；气体：Pr=0.6~0.8。

对于紊流边界层:

综上所述，边界层具有以下特征：(a)(b)

流场划分为边界层区和主流区。流动边界层内存在较大的速度梯度，是发生动量扩散（即粘性力作用）的主要区域。主流区的流体可近似为理想流体；热边界层内存在较大的温度梯度，是发生热量扩散的主要区域，热边界层之外温度梯度可以忽略；(c)

根据流动状态，边界层分为层流边界层和紊流边界层。紊流边界层分为层流底层、缓冲层与紊流核心三层结构。层流底层内的速度梯度和温度梯度远大于紊流核心；

(d)在层流边界层与层流底层内，垂直于壁面方向上的热量传递主要靠导热。紊流边界层的主要热阻在层流底层。2.对流换热的边界层微分方程组

对于体积力可以忽略的二维稳态强迫对流换热

比较x和y方向的动量微分方程根据边界层的特点，采用数量级分析方法，忽略高阶小量，可以将对流换热微分方程组简化。对流换热微分方程组简化为简化后的方程组只有3个方程，但含有u、v、p、t4个未知量，方程组不封闭。由于忽略了y方向的压力变化，使边界层内压力沿x方向变化与主流区相同，可由主流区理想流体的伯努利方程确定：带入原方程3.

解的函数形式——特征数关联式

特征数是由一些物理量组成的无量纲数，例如毕渥数Bi和付里叶数Fo。对流换热的解也可以表示成特征数函数的形式，称为特征数关联式。通过对流换热微分方程的无量纲化可以导出与对流换热有关的特征数。二维稳态对流换热边界层微分方程组

Nu称为平均努塞尔数，等于壁面法线方向上的平均无量纲温度梯度，大小反映平均对流换热的强弱。

引进下列无量纲变量：

对流换热表面传热系数与温度场之间的关系式令

对于常物性、无内热源、不可压缩牛顿流体平行外掠平板稳态对流换热，du//dx=0，方程组简化为无量纲化式中称为雷诺数。由无量纲方程组可以看出：再由Nu待定特征数

Re,Pr已定特征数

4.

外掠平板层流边界层微分方程精确解可见，流体平行外掠平板强迫对流换热的解可以表示成式特征数关联式的形式，即特征数关联式中变量个数大为减少，更突出地反映相关物理量之间的依赖关系及其对对流换热的综合影响。

对比

对于常物性、无内热源、不可压缩牛顿流体平行外掠等壁温平板稳态层流换热，数学模型为：y=0,u=v=0,

t=tw,y=∞,u=u∞,

t=t∞,1)

速度场(1)流动边界层厚度由数学模型可求出边界层的速度分布(2)摩擦系数由速度分布求出局部粘性切应力为局部摩擦系数。平均摩擦系数：2)

温度场(1)热边界层厚度对于Pr1的流体层流换热，(2)计算对流换热系数的特征数关联式对于0.6Pr15的流体掠过等壁温平板层流换热，Nux是以x为特征长度的局部努塞尔数

平均表面传热系数h

为平均努塞尔数:

注意：上述关系式仅适用于Pr0.6的流体外掠等壁温平板层流换热，定性温度为边界层的算术平均温度

对于Pr0.6的流体掠过等热流平板的层流换热，局部努塞尔数为当Rex、Pr相同时，常热流情况下的局部努塞尔数要比等壁温情况大36%左右。对比

在常热流情况下，，tw是变化的，。平均温差定义为平均努塞尔数:

偏差2.4％

5-4边界层积分方程及比拟理论选取包含微元段边界层的控制体积abcd作为研究对象，上式称为冯卡门边界层动量积分方程（1921）。对于常物性流体外掠平板层流换热（1）边界层动量积分方程1.边界层积分方程根据控制体积的动量守恒,可导出适用于常物性不可压缩牛顿流体的二维稳态边界层动量积分方程？为了对积分方程进行积分，必须给定边界层内的速度分布。假设u=a+by+cy2+dy3，代入边界条件，可求得边界层内的速度分布由速度分布可求得速度边界层厚度：由速度分布及牛顿公式还可求得距前缘x处平板表面的局部切应力和局部摩擦系数精确解：精确解：局部切应力局部摩擦系数（2）边界层能量积分方程(1)从a-b面进入的热量：

对于常物性、无内热源、不可压缩牛顿流体、忽略耗散热的二维稳态对流换热，控制体积的热平衡可表述为：单位时间内进入控制体的热量等于流出控制体的热量。(2)从c-d面出去的热量：(3)从b-c面进入的质量：从b-c面进入的热量：(4)从a-d面因流体导热进入控制体积的热量：将以上4项代入控制体积的热平衡表达式，可得：因热边界层外（t－t）＝0，上式可改为边界层能量积分方程前面已给出边界层内的速度分布，为求解还必须给出边界层内的温度分布。可求得以过余温度=ttw表示的边界层温度分布

边界条件：假设边界层内的温度分布仍为三次幂函数形式，即连同速度分布代入能量积分方程

可求得热边界层与流动边界层同时从平板的前缘开始形成时两者的厚度之比精确解：将温度分布代入式可求得局部表面传热系数

或写成和精确解完全相同。作业：5－3、5－8、5－2、5-42.动量传递与热量传递的比拟（类比）

比较无量纲动量微分方程式和能量微分方程式当Pr=1时，两方程的形式完全相同。对于同一对流换热现象，二者具有相同的几何条件和物理条件，如果边界条件也相同，如：Y=0:U=0、=0；Y:U1、1，则无量纲速度分布和无量纲温度分布完全相同。这种流动边界层与热边界层的类似是由于动量传递与热量传递具有完全相同的机理所至，因此描写这两种现象的物理量之间一定存在必然联系。前面温度场的求解结果引进新的无量纲特征数—斯坦顿(Stanton)数：比较以上两式称为契尔顿－科尔本比拟式，建立了摩擦系数与对流换热表面传热系数之间的关系。如果Pr

=1，则以上两式称为雷诺比拟式

根据动量传递与热量传递之间的类比性，通过理论分析建立起描述这两个传递现象的物理量之间的关系式（称为比拟关系式），再由已知或比较容易获得的动量传递的规律推测出热量传递的规律，这种分析方法称为动量传递与热量传递的比拟法。比拟法曾被广泛用于紊流换热问题的研究。湍流流动和传递特征

为时均值；为瞬时值；为脉动值。湍流附加切应力（雷诺应力）t：

m

称为湍流动量扩散率,也叫湍流粘度。

由流体微团的湍流脉动导致附加动量传递产生的切应力。湍流时的总切应力应为

湍流附加热流（雷诺热流）ql：

由流体微团湍流脉动导致的附加热量传递。湍流的总热流密度

t称为湍流热量扩散率。注意：m

、

t不是物性参数。引入上述两个湍流扩散率以后，湍流边界层的动量和能量微分方程可以分别写作两个方程的形式完全相同，既适用于层流换热也适用于湍流换热。可无量纲化为引入湍流普朗特数Prt=

0.9～1.6。

如果取Prt=1，Pr

=1，以上两式形式完全相同，将具有完全相同的解，即无量纲速度场与无量纲温度场重合。这说明湍流换热的动量传递和热量传递之间同样存在类比关系。理论分析表明，契尔顿－科尔本比拟式同样适用与湍流换热。即

对于流体外掠平板的强迫对流换热，当局部雷诺数，速度边界层由层流过渡到紊流，就可以利用动量传递与热量传递之间的比拟关系式由摩擦系数计算对流换热表面传热系数。当时，紊流边界层的局部摩擦系数为适用条件：tw=常数，

当流体掠过等壁温平板时，先形成层流边界层后再过度到紊流边界层，则整个平板的平均表面传热系数可按层流段和紊流段分别积分平均，即式中的hx,l和hx,t可分别由以下两式求出也可以根据全板长的平均摩擦系数公式

代入比拟关系式如果，可用下式计算平均摩擦系数

对于管内强迫对流紊流换热，也同样可以应用动量传递与热量传递之间的比拟关系式进行计算，比拟关系式的形式为

f称为达西摩擦系数，定义式为常用的摩擦系数

f的计算公式：不同壁面粗糙度时的摩擦系数6.湍流边界层厚度

层流底层与外湍流边界层内的速度分布可以近似地用1/7次方规律描述