工程经济学第九章不确定性

第九章不确定性分析工程经济学主要内容第一节不确定性分析概述第二节盈亏平衡分析第三节敏感性分析第四节概率分析第九章建设项目不确定性分析

一、不确定性分析概念不确定性是指由于对项目未来面临的运营条件、技术发展和各种环境缺乏准确的知识而造成所实施方案的实际运行结果偏离最初的预想的可能性。简言之，不确定是指项目（方案）的预测结果与将来实施后的实际效果的差异。第一节不确定性分析概述

二、不确定性的根源所依据的基本数据不足或者统计偏差预测方法的局限，预测的假设不准确未来经济形势的变化技术进步无法定量的因素的影响其他外部影响因素如政府政策的变化、新的法律、法规的颁布、国际政治经济形势的变化等。根据各种不确定因素对工程项目经济指标的影响程度，通常采用的不确定性分析方法有：（1）盈亏平衡分析；（2）敏感性分析；（3）概率分析。其中盈亏平衡分析只用于财务评价，敏感性分析和概率分析可同时用于财务评价和国民经济评价。三、不确定性问题的分析方法盈亏平衡分析是根据产品产量或销量、成本和利润三者之间的相互依存关系进行综合分析，其目的是找出投资方案的盈亏平衡点，以预测方案安全程度或风险承受能力大小的一种方法。第二节盈亏平衡分析分类非线性盈亏分析：生产成本、销售收入与产量（或销售量）之间呈非线性关系。

线形盈亏分析：生产成本、销售收入与产量（或销售量）之间呈线性关系。一、独立项目盈亏平衡分析基本假定：①产品的产量等于销售量；②单位产品的可变成本不变；③单位产品的销售单价不变；④只生产单一产品或生产的产品可以换算为单一产品计算。⑤项目分析期内，生产工艺、技术装备、生产方法、管理水平等均无变化，项目的生产销售活动不会明显地影响市场供求状况。（一）线性盈亏平衡分析设企业生产某产品，产销量为Q；产品的单位售价为P；建设项目的销售税率为v

；项目设计生产能力为R；用C表示年总成本；CF表示年总固定成本；Cv表示年总可变成本，Cq表示单位产品的可变成本；1.线形盈亏平衡点的确定

销售收入：产品成本：

图9.1线性盈亏平衡分析示意图

根据盈亏平衡的条件，即收入与成本相等，利润为零，则盈亏平衡点产量为：（1）平衡点的产量（2）平衡点的生产能力利用率。则盈亏平衡点的生产能力利用率为：线性盈亏平衡分析（3）盈亏平衡点的销售单价(4）平衡点的单位产品变动成本若按设计能力进行生产和销售，且销售价格已定，则盈亏平衡点的单位产品变动成本为：若按设计能力进行生产和销售，则盈亏平衡点的销售单价为：线性盈亏平衡分析2.利用盈亏平衡分析进行风险评价企业的经营情况可以参考表的数值判断。表9.1经营安全率盈亏平衡点也可评价经营状况，企业经营状况一般以经营安全率来表示3.举例例如，某项目年生产能力120万吨，单位产品售价P＝150元／吨，单位产品可变费用v＝40元／吨，固定费用总额F＝6000万元。试进行盈亏平衡分析。生产能力利用率=54.55/120=45.46%产量经营安全率=（120-54.55）/120=54.54%

解：4、线性盈亏平衡分析法特点优点：简单直观缺点：有一系列假设条件，与实际不完全符合，降低了其分析的可靠性。只能给出项目总体的抗风险能力，而不能反映各风险因素的影响程度。没有考虑资金时间价值。（二）非线性盈亏平衡分析一般情况下，线性关系只是在生产产量较低的情况下成立，当销售量超过一定范围，市场需求趋向饱和，销售收入随产量增加而增加的幅度就越来越小了，两者之间显下凹非线性的关系。同样单位产品的可变成本也是在一定产量范围内才近似于常数，超过这个产量范围，由于生产条件的逐渐恶化，生产成本与产量之间显上凸的非线性关系。

图9.2非线性盈亏平衡分析示意图

销售收入与产量的函数为

非线性盈亏平衡分析中的函数关系

成本与产量的函数为

由

可以求出相应的Q就是非线性盈亏平衡产量。非线性盈亏平衡分析可能存在多个盈亏平衡点，即存在多个盈亏平衡产量。最大利润时的产量

非线性盈亏平衡分析中项目的利润可以简化表示为

由可以求出最大利润时的产量。例题：某项目投产后，年固定成本为66000元，v=28元，p=55元，据预测，每多生产一件产品，单位变动成本就可降低0.001元，每增加一件产品销量，售价就降低0.0035元，试确定经济规模区域及最大利润和对应的销售量。解：收入函数s=(p-0.0035q)×q=55q-0.0035q2成本函数c=66000+（v-0.001q)×q=66000+28q-0.001q2令s=c,可得0.025q2-27q+66000=0得q1=3740,q2=7060对利润求导，得：Qmax=5400件，此时收益=6900

某一不确定性因素同时对多个互斥项目（或方案）的经济效果产生不同程度影响时，可以通过优劣点盈亏平衡分析进行不确定性条件下的方案比选。二、盈亏平衡分析在互斥型方案比选中的应用

［例1］某项目的建设有三种备选方案。

A方案：从国外引进设备，固定成本800万元，单位可变成本10元；

B方案：采用一般的国产自动化装置，固定成本500万元，单位可变成本12元；

C方案：采用自动化程度较低的国产装置，固定成本300万元，单位可变成本15元。试分析不同方案适用的生产规模。二、盈亏平衡分析在多方案必选中的应用解：各方案总成本为产量的函数，分别为CA=800+10Q；CB=500+12Q；CC=300+15Q。各方案的成本曲线如下图所示。图9.3各方案的成本曲线

例题解答

如图所示，I，J两点将最低成本线分为三段，QI，QJ分别为优劣平衡点I，J下的产量。对于I点，有CB=CC，即500+12QI=300+15QI解得QI=66.7（万件）对于J点，有CB=CA，即500+12QJ=800+10QJ解得QJ=150（万件）若市场预测该项目产品的销售量小于66.7万件时，应选择C方案；大于150万件时，应选择A方案；在66.7万件与150万件之间时，应选择B方案。例题解答[例2]某小区开发有三套备选方案A、B、C，各方案的成本C见表9-4。该项目的拟开发房屋面积在5000～17000m2之间。房屋使用寿命按20年计算。年利率为10%，使用盈亏平衡分析法进行方案比选。表9-4备选方案与成本表三、房地产投资盈亏平衡分析的应用解：设该项目的商品房开发面积为xm2，则各方案的费用函数分别是：CA700x（A/P,0.10,20+12×104+4.0×104+1.0×10482.22x+17×104CB680x（A/P,0.10,20+16×104+6.0×104+1.5×10479.87x+23.5×104CC820x（A/P,0.10,20+8×104+1.8×104+0.8×10496.32x+10.6×104令CA

CB，CB

CC，CACC，求得各方案费用函数的交点横坐标（开发面积）分别为：x12.77×104m2；x20.78×104m2；x30.46×104m2。具体如图7-5所示。当该项目商品房的开发面积不足x34600m2，C方案费用总额最小，拟选C方案。当商品房开发面积高于x127700m2时，A方案费用最小，应选A方案。当项目的商品房开发面积在x34600m2至x127700m2之间时，B方案的费用最小，应选择B方案。本项目设该商品房的开发面积在5000～17000m2之间，故应选择B方案。图9-5项目费用与面积关系图有一挖土方工程，有两个挖土方案：一是人工挖土，单价为4元/m3；另一个是机械挖土，单价为2元/m3，但需租赁费1万元，试问该土方工程采用人工挖土还是机械挖土？课堂作业：拟用建筑设备有两套方案备选，方案甲的设备购置费为1400元，使用4年后的残值为200元，每年设备维护费为120元，设备运转每小时的动力费为0.84元；方案乙的设备购置费为550元，使用4年无残值，设备运转每小时的动力费为0.8元，每小时的维护费0.57元。若寿命期均为4年，设基准收益率为10%，试确定甲、乙设备的优劣范围。课堂作业：某单位修建面积为500～1000m2的住宅，初步拟定可采用砖混结构、钢砖结构和砖木结构三种方案，其费用如表所示。基准利率为8%，试确定各方案的优劣范围。课堂作业：三种方案费用表含义:所谓敏感性分析是分析建设项目主要因素发生变化时，项目经济效益发生的相应变化，以判断这些因素对项目经济目标的影响程度。目的：就是要找出项目的敏感因素，并确定其敏感程度，以预测项目承担的风险，考察项目承受风险的能力。种类:单因素敏感性分析、双因素敏感性分析和多因素敏感性分析。方法:相对值法及绝对值法。步骤：见下图。第三节敏感性分析敏感性分析的主要步骤将各不确定因素按照其敏感程度进行排序，判定敏感因素。选择敏感性分析对象选择不确定因素作为敏感性分析变量估计不确定因素的变化范围计算因素变化引起分析对象的变动图9.6敏感性分析的步骤敏感度系数：是指项目经济效果评价指标变化的百分率与不确定因素变化的百分率之比。常用的敏感性分析的指标S绝对值越大，表明此评价指标对于不确定因素越敏感，该因素即为敏感性因素；反之，则为非敏感性因素。临界点：是指不确定因素的极限变化（最大幅度），当变化幅度超过这个界限时，项目将不可行。常用的敏感性分析的指标在一定的基准收益率下，临界点越低，说明该因素对项目经济评价指标影响越大，项目对该因素就越敏感。如果对某一特定项目进行敏感性分析，则需重视敏感性因素对项目的影响。敏感性分析结果如果进行敏感性分析的目的是对不同的投资项目或某一项目的不同方案进行比选，一般应选择敏感程度小、承受风险能力强、可靠性大的项目或方案。单因素分析法既要求出每个因素都变动对经济效益指标的影响程度，确定其敏感程度，还应求出不确定因素变化的临界值。［例］设某项目基本方案的初期投资P0＝1500万元，销售收入S＝650万元，经营成本C＝280万元，项目服务期为8年，估计预测误差不超过±10％，基准收益率＝12％。试进行敏感性分析。一、单因素敏感性分析解：（1）以销售收入、经营成本和投资拟作为不确定因素。（2）选择项目的内部收益率为敏感性分析对象。（3）作出本方案的内部收益率IRR由下式确定：例题解答采用试算内插法可求得：（4）计算销售收入、经营成本和投资变化对内部收益率的影响，结果见表所示。表9.4内部收益率的单因素敏感性分析表例题解答

（5）销售收入、经营成本和投资变化的敏感性曲线参见下图。各因素的敏感程度依次为：销售收入→投资→经营成本。例题解答图9.5单因素敏感性分析图

（一）双因素敏感性分析设方案的其他因素不变，每次仅考虑两个因素同时变化对经济效益指标的影响，则称为双因素敏感性分析。双因素分析先通过单因素分析确定两个敏感性较大的因素，然后通过双因素敏感性分析来考察这两个因素同时变化时对项目经济效益的影响。双因素敏感性分析图为一个敏感曲面。二、多因素敏感性分析

（二）三因素敏感性分析三因素敏感性分析主要是在其他因素不变的条件下，研究三个因素同时变化时对项目经济效益的影响。三因素敏感性分析一般采用降维的方法处理。二、多因素敏感性分析含义：所谓概率分析，是基于概率来研究各种不确定因素发生变化时对方案经济效益影响的一种定量方法。

目的：概率分析分析目的在于确定影响项目经济效益的关键变量及其可能的变动范围，并确定关键变量在此范围内的分布概率，然后进行期望值与离差等参数的计算，进而帮助项目管理者根据项目风险的大小和特点，确定合理的项目收益水平，提出控制风险的方案，有重点地加强对项目风险的防范和控制。第四节概率分析

期望值法的一般步骤如下：

①将影响项目效益的主要不确定因素（如投资、经营成本、销售价格等）作为随机变量，并假设它们是相互独立的。列出这些不确定因素取值可能出现的状态，并分别估算各种状态的概率。

②用概率树组合各不确定因素取值的状态，计算每一可能组合发生的概率及发生时的NPV。

③计算NPV的期望值及NPV≥0的累积概率。

④根据E（NPV）≥0或NPV≥0的累积概率来判断项目的风险大小和盈利的把握程度。一、期望值法

例题

［例］某开发项目的现金流量如9.5表所示，根据预测和经验判断，开发成本、销售收入可能发生的变化率及其概率如表8.6所示，假设开发成本与销售收入二者相互独立。试计算净现值的期望值并求净现值大于或等于零的概率，取基准折现率为12％。表9.5项目的现金流量表(单位：万元)

0.10.50.60.40.30.1销售收入开发成本+20％0－20％变化率因素0.10.50.60.40.30.1销售收入开发成本+20％0－20％变化率因素表9.6开发成本、销售收入可能发生的变化率及其概率

例题解答解:

（1）由于为不确定因素开发成本和租售收入的变化各出现3种状态，因此本项目净现金流量序列的全部可能状态为3×3＝9种，如图9.6所示。

图9.6开发项目的概率树分析图（2）计算每一种可能状态下的净现金流量，计算结果参见表9.7例题解答表9-7每一种可能状态下的净现金流量（单位：万元）

表9.8各状态的概率、净现值和净现值的期望值计算结果

（3）分别计算项目净现金流量序列各状态的概率、净现值和净现值的期望值，结果如表9.8所示。例题解答例题解答

（4）将净现值按照从小到大排序，就可以得到净现值的分布规律，如表9.9所示。然后计算累计概率及净现值大于或等于零的概率。表9.9净现值排序及累计概率计算结果例题解答从上表的累计概率可见，，，项目净现值大于或等于零的概率为：

从计算结果可知，E(NPV)＝3592.80万元＞0，且P(NPV≥0)＝0.8，说明本项目是可行的，效益较好具有较高的可靠性。应按照内插法确定。

标准差反映了一个随机变量实际值与其期望值的偏离程度。这种偏离程度在一定意义上也反映了投资方案风险的大小。——评价指标值的标准差，

二、标准差法

标准差越小，说明实际发生的可能情况与期望值越接近，期望值的稳定性也越高，项目风险越小。

当能够确定各种状态发生的概率时，可用变异系数CV来反映项目评价指标值波动幅度的相对大小。

三、变异系数法

变异系数是一个相对数，反映了单位收益承担的平均风险。一般来说，变异系数越小，项目的风险相对就越小。

某公司要从三个互斥方案中选择一个方案，各个方案的净现值及其概率情况如下表所示，从中选择最优方案。

课堂练习：各方案净现值、自然状态及概率概率法是在现金流量相互独立的情况下，假定项目净现值的概率分布为正态分布的基础上，通过正态分布图像面积计算净现值小于零（或小于某指定净现值）的概率，判断项目风险程度的决策分析方法。概率法的分析步骤如下：

四、概率法

1.计算净现值的期望值首先可计算各年度的净现金流量的期望值，然后将净现金流量的期望值折现，即可得到净现值的期望值。各年度的净现金流量的期望值可按照下式计算：式中：E(Xt)——第t年净现金流量期望值；

Xtj——第t年第j个可能净现金流量的值；

Ptj——Xtj发生的概率，其中0≤Ptj≤1；mt

——第t年净现金流量可能出现的状态种数；

n——项目服务期，或经济寿命。概率法的分析步骤项目在服务期内的净现值的期望值可按照下式计算：式中：E(NPV)——项目净现值的期望值；i——无风险折现率，对于财务评价，i=i0；对于国民经济评价，i=is。概率法的分析步骤2.标准差计算标准差计算分两步进行，首先可计算各年度的净现金流量的标准差，然后计算净现值的标准差。各年的净现金流量标准差可按照以下公式进行计算：净现值的标准差可按照以下公式进行计算：概率法的分析步骤3.计算净现值小于零的概率由于净现值NPV服从正态分布，且期望值为E(NPV)，标准差为，σ(NPV)，则发生净现值NPV＜NPV*的概率可由Z值求得。

——标准正态分布的累计概率函数值，依据Z值可由标准正态分布表查出。若求NPV＜0的概率，则Z值为：概率法的分析步骤

NPV≥0的概率为：［例］现有一个投资项目，预计其服务期为3年，由于受环境的影响，各年度的现金流量及相应的概率如表5.10所示，预计利率为10%，试计算该项目净现值大于或等于零的概率及净现值达到1000元的概率。概率法的分析步骤表5.10各年度的现金流量（单位：元）及相应的概率表

解：（1）计算各年现金流量的期望值E(X0)=－10000×1.00＝－10000元E(X1)=3500×0.20＋4000×0.60＋4500×0.20＝4000元E(X2)=4000×0.25＋5000×0.50＋6000×0.25＝5000元E(X3)=3500×0.30＋4500×0.40＋5500×0.30＝4500元例题解答（2）计算净现值的期望值（3）计算各年净现金流量的标准差例题解答（4）计算净现值的标准差（5）计算净现值小于零的概率

查标准正态分布表，得：

例题解答（6）计算净现值达到1000元的概率查标准正态分布表得正态分布图象法应用的前提是净现值必须呈正态分布或近似正态分布，但对于一般投资项目，很难判断净现值是否呈正态分布，因此这种方法的应用受到一定局限。例题解答

（一）蒙特卡洛模拟法的基本思路

蒙特卡洛模拟法可用数学表达式表示为

四、蒙特卡洛模拟分析法式中，为n个相互独立具有一定的概率分布的随Y是变量Xi的多元函数；

f代表X和Y的函数关系。

若对各变量进行一次抽样，便可以得到一组变量值，将这组变量值代入公式，即可求出一个Y值。若经过n次抽样和运算，可得到变量Y样本分布。当抽样次数足够多时，就可以求得Y的期望值、标准差、风险系数等特征值。

机变量；

（二）蒙特卡洛模拟的流程

一、多项目组合的经济风险分析

采用多项目组合能够起到风险分散的效果，故投资组合的目的是保持期望收益不变的同时使组合的风险最低，其组合风险可以以标准差为基础来度量。

（一）两个风险项目组合的情况

设投资项目A和B，其投资比重分别为WA，WB，WA+WB=1，收益率分别为RA，RB，收益率的概率分布都是正态分布。则组合项目的总收益率Rp为

Rp=WARA+WBRB

第五节多个风险项目的分析与决策组合项目的期望收益率E(Rp)为

E(Rp)=WAE(RA)+WBE(RB)

总收益率也具有正态分布，其标准差为

式中，

，

分别是项目A、B收益率的标准差，

是项目A、B收益率间的相关系数。

①

=＋1时依靠项目投资组合不能减小风险。②

－1≤

＜1时，依靠项目投资组合可以减小风险。两个风险项目组合的情况多个风险项目组合的情况令，解得对应最小的WA为任意n个风险项目投资组合的标准差为

（三）多个风险项目组合的情况

式中，——第i个项目所占的投资比重；——第j个项目所占的投资比重；

、

——第i个和第j个项目投资收益的标准差；

——第i、j个项目投资收益的相关系数。

对概率确定的、独立的多个互斥风险项目的决策，其决策方法是以损益矩阵为基础，利用期望——方差原则从若干个备选方案中选出最优方案。

利用损益表形成损益矩阵及概率向量分别为

二、独立的多个互斥风险项目的决策式中，V——损益矩阵；vij——在自然状态θj时项目Ai发生的损益值。

则损益期望值向量为最优项目取max[Ei/i=1,2,…,m]。

当按期望值标准出现不止一个最优项目时，需要利用方差来比较，并取方差较小的项目为最优项目，方差计算公式为期望——方差原则

［例］

某企业要从三个互斥项目中选择一个，各项目的收益及其发生的概率列于表5.11，试利用期望—方差原则选出最优方案。

表5.11三个互斥项目的损益值表（单位：百万元）例题52－5A341.5－2A2

20－1A10.40.40.2θ3θ2