有限元法与程序-板的弯曲

第6章板的弯曲6.1概述本章介绍弹性板弯曲的有限单元法，对于薄板小挠度问题，它的变形由挠度所确定，因此可取挠度和它的若干阶导数作为结点参数建立平板单元。薄板弯曲单元类型众多，本章介绍一个矩形单元和一个三角形单元。此外，本章还介绍一种适合厚板问题的四边形通用单元，它考虑横向剪切变形的影响，可以适用于中厚板和薄板，具有较好的性能。平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄板板小挠度问题，它的变形完全由横向变形确定；对于薄板大挠度问题，则属于几何非线性问题。对于厚板，应考虑横向剪切变形的影响。与平面应力问题不同，薄板弯曲问题是具有图示几何特征的结构在横向荷载作用下的分析。xyzuvw中面弹性薄板基本概念所谓薄板是指板厚δ比板最小尺寸b在如下范围的平板

平分厚度的平面称中面。1、薄板理论克希霍夫(G.kirchhoff)基本假设（1）薄板中面法线变形后仍保持为直线。由此，板中面内剪应变为零，即。（2）忽略板中面的法向应力分量，且不计其引起的应变。（3）薄板中面内的各点没有平行于中面的位移，即中面不变形，当。利用上述假设将平板弯曲问题转化为二维问题，且全部应力和应变可以用板中面挠度w表示。基本方程（1）位移：由假设（1）、（3），有1、薄板理论(2)应变由假设（1）、（2），薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。根据几何方程，应变可表示为形变分量：中面x和y方向的曲率与x，y方向的扭率。chi应力板应力分布图内力：板单位宽度上弯矩Mx、My和Mxy，为应力分量在板截面上的合力矩：弹性矩阵薄板弯曲问题中的弹性矩阵[Df]内力矩表示薄板应力的公式思考题：写出正交各向异性板的弹性矩阵§6.2矩形薄板单元结点位移1、结点位移与结点力结点力xyzw3y3x3F1My1Mx11243正负号按如下规定：对于挠度w和与它对应的结点力Fz以沿z轴的正向为正；对于转角θx,θy和与它们对应的结点力矩Mx,My则按右手定则标出的矢量沿坐标轴正方向为正。xyzw3y3x3F1My1Mx1124m单元结点位移列阵及结点力列阵

2、位移模式

矩形薄板单元有4个结点，12个结点位移分量，1个挠度独立变量，根据选取位移函数的原则，取：1-3项刚体位移4-6项常应变

四次项的选取为了保证坐标的对称性，且曲率与扭率同阶次。

利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数，显然十分麻烦。试凑形函数N1

利用所有点N1的导数为零条件，经推导,可得考虑到挠度是非完全四次式，为使自动满足其它点为零N1(j)=0，j=2,3,4。可设由形函数性质，对N1有:N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4N1对x，y的偏导数在各结点处均为零。xyzw3y3x3Q1My1Mx11243练习：试凑形函数Nx1？由形函数性质，对Nx1有:Nx1(i)=0，i=1,2,3,4Nx1对x，y（本点除外）的偏导数在各结点均为零。最后利用本点1，确定a2=b/8，代回得整理得位移函数式中形函数i=1,2,3,41）相邻单元公共边挠度：位移的非完全协调性证明：结点位移协调：代入可以验证位移满足协调条件：2）相邻单元公共边切向转角：3）相邻单元公共边法向转角：该转角的确定包含了单元全部结点位移参数，由于非公共边上结点位移的协调关系不能保证，因此一般综上所述，本节构造的位移场不能完全满足收敛的协调性准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调，法向转角跨单元不协调，因此该单元不是完全协调元。3、单元应变3、单元应力4、内力矩

[B]去掉z

得形变矩阵[B’][S’]分块矩阵形式

5、单元刚度矩阵基本公式子矩阵为

式中其中D为薄板刚度

6、等效结点力板单元受横向均布载荷p作用，则等效结点力为例6-1受中心集中力的四边支承板的计算结果

(边长为1，厚度为0.01，弹模为1，波松比为0.3)单元数（1/4板）四边固定板中心挠度wD/PL2边中点弯矩M/P2×20.00614-0.11784×40.00580-0.12336×60.00571-0.1245理论解0.00560-0.12576.3薄板三角形单元1、位移模式三角形单元能较好地适应斜边界，实际中广泛应用。单元的结点位移仍然为结点处的挠度wi和绕x，y轴的转角θxi、θyi，独立变量为wi。三角形单元位移模式应包含9个参数。若考虑完全三次多项式，则有10个参数:若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。无法保证对称。经过许多研究，问题最后在面积坐标下得以解决。对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以下项：

LiLjLm及其一阶导数在三个结点为零，对于确定待定参数无用；考虑到用结点位移表示待定参数时计算方便，不考虑二次和三次的前三项。因此，只能在剩下的6个三次项中选择三个或利用某种线性组合。考虑对称性，假设位移模式为：采用“＋”组合不行将三个结点的位移和面积坐标代入上式，可得：a1=wi，a2=wj，

a3=wm。代入上式对Li，Lj求导，注意Lm=1-Li-Lj，可得将结点的面积坐标代入上述两式，可得6个关于a4~a9的方程，求解后可得a4~a9：最后，待定常数a1~a9代入位移模式，整理后得：将w,Lii和w,Lji变换成θxi、θyi，从而得到相应于θxi、θyi的形函数Nxi、Nyi利用：利用求得位移函数，可以得到应变列阵和相应的应变矩阵[B]，进一步可得到形变列阵{Χ}和相应的形变矩阵[B’]。四边将简支板的中心挠度系数单元数（1/4板）板中心挠度wD/qL42×20.0042494×40.0041538×80.004098解析解0.004042有限元大于解析解，原因是单元为非完全协调单元。6.4考虑横向剪切影响的平板弯曲单元在薄板单元中，构造协调单元的困难在于单元间要求斜率的连续性。如果放弃薄板理论的直法线假设，考虑横向剪切的影响，有可能绕过这一困难。假设：中面法线变形后仍为直线，但绕x、y轴转动了θx、θy.。上述假定基于汉盖理论。根据该假定，则板内任意一点的位移分量具有如下形式：增加自由：扭率或曲率增加边中结点或限制。代入几何方程，应变矩阵：应力矩阵弹性矩阵平板的变形由中面挠度w和法线绕x、y轴的转角θx、θy.确定。每个结点取它们作为自由度，采用8结点平板单元。可以参照8结点等参单元。中面上任意点的挠度和转角可以表示为：由此可得位移模式应变分量应力分量内力计算单元刚度矩阵等效结点荷载：设单元表面作用有均布荷载q(x,y)，等效结点荷载为例：承受均布荷载q的方板和板中心处受集中荷载P的方板，四边固定和