因式分解的培优专题

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1） 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2） 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】把下列各式因式分解（1） -a2Xm+2+abxm+1-acxm-aXm+3（2） a（a-b）3+2a2（b-a）2-2ab（b-a）分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“一”号后，多项式的各项都要变号。解：-a2xm+2+abxm+1-acxm-axm+3=-axm（ax2-bx+c+x3）（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，（a-b）2n=（b-a）2n；（a-b）2n-1=-（b-a）2n-1，是在因式分解过程中常用的因式变换。解：a（a-b）3+2a2（b-a）2-2ab（b-a）=a（a一b）3+2a2（a一b）2+2ab（a一b）=a（a一b）[（a一b）2+2a（a一b）+2b]=a（a一b）（3a2—4ab+b2+2b）利用提公因式法简化计算过程例：计算123x987^68+268x9871368例：计算123x987^68+268x9871368+456x9871368+521x987^68……，一……987 ，、—、一…工一…分析：算式中每一项都含有云；，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。1368987 / _解：原式=1368*(123+268+456+521)987——x1368=9871368在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组]?+：3力，求代数式(2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)的值。[5尤-3y=-2分析：不要求解方程组，我们可以把2x+y和5x-3y看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x+y，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x+y和5x—3y的式子，即可求出结果。解：(2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)=(2x+y)(2x-3y+3x)=(2x+y)(5x-3y)把2x+y和5x-3y分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，3〃+2-2〃+2+3n-2n一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。3n+2—2n+2+3n—2n=3n+2+3«—2n+2-2n=3n(32+1)-2n(22+1)=10X3n-5X2n对任意自然数n，10X3n和5X2n都是10的倍数。3n+2-2n+2+3n-2n一定是10的倍数5、中考点拨：例1。因式分解3x(x-2)-(2—x)解：3x(x—2)—(2—x)=3x(x-2)+(x-2)=(x-2)(3x+1)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。例2.分解因式：4q(1-p)3+2(P-I)2解：4q(1-p)3+2(p-1)2=4q(1一p)3+2(1一p)2=2(1-p)2[2q(1-p)+1]=2(1-p)2(2q-2pq+1)说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：例1.计算：2000x20012001-2001x20002000精析与解答：设2000=a，则2001=a+1・•・2000x20012001-2001x20002000=a[10000(a+1)+(a+1)]-(a+1)(10000a+a)=a(a+1)x10001-a(a+1)x10001=a(a+1)x(10001-10001)=0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有2001=2000+1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例2.已知：x2+bx+c(b、c为整数)是x4+6x2+25及3x4+4x2+28x+5的公因式，求b、c的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到x2+bx+c是3(x4+6x2+25)及3x4+4x2+28x+5的因式。因而也是-(3x4+4x2+28x+5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。解： x2+bx+c是3(x4+6x2+25)及3x4+4x2+28x+5的公因式也是多项式3(x4+6x2+25)-(3x4+4x2+28x+5)的二次因式而3(x4+6x2+25)一(3x4+4x2+28x+5)=14(x2-2x+5)b、c为整数得：x2+bx+c=x2—2x+5b=—2，c=5说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14尤2—28x+70，从而简便求得x2+bx+c。例3.设x为整数，试判断10+5x+x(x+2)是质数还是合数，请说明理由。解：10+5x+x(x+2)=5(2+x)+x(x+2)=(x+2)(5+x)•x+2，5+x都是大于1的自然数..(x+2)(5+x)是合数说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。旨世!教|【实战模拟】分解因式：—4m2n3+12m3n2—2mna2xn+2+abxn+1—acxn—adxn-1(n为正整数)a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a)2计算：(-2)11+(-2)10的结果是( )A,2100 B.—210 C.-2 D.-1已知x、y都是正整数，且x(x一y)-y(y-x)=12，求x、y。4.证明：817-279-913能被45整除。求原式的值。5.化简：1+X+X(1+X)+X(1+X)2+,••尤(1+X)1995，且当X=0时，求原式的值。试题答案分析与解答:(1)—4m2n3+12m3n2—2mn=—2mn(2mn2—6m2n+1)(2)a2xn+2+abxn+1—acxn—adxn—1=axn—1(ax3+bx2—cx—d)(3)原式=a(a—b)3+2a2(a—b)2—2ab(a—b)2=a(a—b)2[(a—b)+2a—2b]=a(a—b)2(3a—3b)=3a(a—b)2注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。Bx(x—y)—y(y—x)=12...(x—y)(x+y)=12x、y是正整数..•12分解成1x12，2x6，3x4又x—y与x+y奇偶性相同，且x—y<x+y.Jx—y=2.•]x+y=6说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。4.证明：817—279—913=328—327—326=326(9—3—1)=326x5=324x32x5=324x45