北师大版九年级下册数学单元测试题全套及答案

北师大版九年级下册数学单元测试题全套及答案（含期中期末试题）第一章检测题(BSD)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，∠ACD的正弦值是eq\f(2,3)，则eq\f(AC,AB)的值是(B)A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(2,3) C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(\r(5),2)2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，AC＝6cm，则BC的长度为(C)A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm3．在△ABC中，sinB＝cos(90°－∠C)＝eq\f(1,2)，那么△ABC是(A)A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan∠OAB＝(B)A.eq\f(2,5) B.eq\f(2,3) C.eq\f(5,2) D.eq\f(3,2)5．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B间距离的有(C)A．1组 B．2组 C．3组 D．4组6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为线段AB上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于(C)A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(2\r(3),3) C.eq\f(5\r(3),3) D．5eq\r(3)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，则tanA＝eq\f(5,12).8．(2019·赤峰)如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__8.1__m__．(参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78)9．(2019·咸宁)如图，某校九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB(这段河流的两岸平行)，他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为__69__m．(结果保留整数，eq\r(3)≈1.73)10．(2019·柳州)在△ABC中，sinB＝eq\f(1,3)，tanC＝eq\f(\r(2),2)，AB＝3，则AC的长为eq\r(3)．11．如图，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB∶BC＝4∶5，则sin∠DCF的值为eq\f(3,5).12．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝2.三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．计算：sin30°－(cos45°－1)0＋eq\f(3,2)tan230°.解：原式＝eq\f(1,2)－1＋eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)－1＋eq\f(1,2)＝0.14．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个直角三角形．解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.由tanB＝eq\f(b,a)，得b＝atanB＝4tan60°＝4eq\r(3).由cosB＝eq\f(a,c)，得c＝eq\f(a,cosB)＝eq\f(4,cos60°)＝8.所以∠A＝30°，b＝4eq\r(3)，c＝8.15.已知α为锐角，且tanα是方程x2＋2x－3＝0的一个根，求2sin2α＋cos2α－eq\r(3)tan(α＋15°)的值．解：解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3.∵tanα>0，∴tanα＝1，∴α＝45°，∴2sin2α＋cos2α－eq\r(3)tan(α＋15°)＝2sin245°＋cos245°－eq\r(3)tan60°＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－eq\r(3)×eq\r(3)＝1＋eq\f(1,2)－3＝－eq\f(3,2).16．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小路同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合后拼放在一起，点B，C，E在同一直线上．若BC＝2，求AF的长．(请你运用所学的数学知识解决这个问题)解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝eq\f(BC,tanA)＝eq\f(2,tan30°)＝2eq\r(3).由题意，得EF＝AC＝2eq\r(3).在Rt△EFC中，∠E＝45°，∴CF＝EF·sin45°＝2eq\r(3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(6)，∴AF＝AC－CF＝2eq\r(3)－eq\r(6).17．(2019·通辽)两栋居民楼之间的距离CD＝30m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3m．上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子会遮挡到AC的第几层？(参考数据：eq\r(3)≈1.7，eq\r(2)≈1.4)解：设太阳光线GB交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，AC＝BD＝3×10＝30m，FH＝CD＝30m，∠BFH＝∠α＝30°，在RtBFH中，tan∠BFH＝eq\f(BH,FH)＝eq\f(BH,30)＝eq\f(\r(3),3)，∴BH＝30×eq\f(\r(3),3)＝10eq\r(3)≈10×1.7＝17，∴FC＝HD＝BD－BH≈30－17＝13，∵eq\f(13,3)≈4.3，所以在四层的上面，即第五层．答：此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的5层．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(2019·深圳)如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，测得仰角为53°，求隧道BC的长．(sin53°≈eq\f(4,5)，cos53°≈eq\f(3,5)，tan53°≈eq\f(4,3))解：在RtABD中，AB＝AD＝600(米)，作EM⊥AC于M，则AM＝DE＝500(米)，∴BM＝100米，在Rt△CEM中，tan53°＝eq\f(CM,EM)＝eq\f(CM,600)＝eq\f(4,3)，∴CM＝800(米)，∴BC＝CM－BM＝800－100＝700(米)．答：隧道BC长为700米．19．(2019·广元)如图，某海监船以60海里/小时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡查此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/小时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60°方向．(以下结果保留根号)(1)求B，C两处之间的距离；(2)求海监船追到可疑船只所用的时间．解：(1)过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝30°，∴BE＝BC×sin∠BCE＝eq\f(1,2)BC，CE＝BC×cos∠BCE＝eq\f(\r(3),2)BC，在Rt△ACE中，∵∠A＝45°.∴AE＝CE＝eq\f(\r(3),2)BC，∵AB＝60×1.5＝90，∴AE－BE＝eq\f(\r(3),2)BC－eq\f(1,2)BC＝90，解得BC＝90(eq\r(3)＋1)．故B，C相距(90eq\r(3)＋90)海里．(2)过点D作DF⊥AB于F，由(1)，得DF＝CE＝eq\f(\r(3),2)BC，∴DF＝135＋45eq\r(3)，在Rt△BDF中，∠DBF＝30°，∴BD＝2DF＝270＋90eq\r(3)，∴海监船追到可疑船只所用的时间为(270＋90eq\r(3))÷90＝(3＋eq\r(3))h.20.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DE⊥BC于E，连接BD.若tanC＝2，BE＝3，CE＝2，求点B到CD的距离．解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，则∠BFC＝90°.∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，在Rt△DEC中，∵tanC＝2，EC＝2，∴DE＝4.在Rt△BFC中，∵tanC＝2，∴BF＝2FC，设BF＝x，则FC＝eq\f(1,2)x，∵BF2＋FC2＝BC2，∴x2＋(eq\f(1,2)x)2＝(3＋2)2，解得x＝2eq\r(5)，即BF＝2eq\r(5).答：点B到CD的距离是2eq\r(5).五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．(1)求证：△ABF∽△DFE；(2)若sin∠DFE＝eq\f(1,3)，求tan∠EBC的值．(1)证明：∵∠A＝∠D＝90°，∠ABF与∠DFE都与∠AFB互余，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE；(2)解：∵sin∠DFE＝eq\f(DE,EF)＝eq\f(1,3)，∴设DE＝k.则EF＝CE＝3k，AB＝CD＝4k，∴DF＝eq\r(EF2－DE2)＝2eq\r(2)k，由△ABF∽△DFE，得eq\f(AF,DE)＝eq\f(AB,DF)，即eq\f(AF,k)＝eq\f(4k,2\r(2)k)，∴AF＝eq\r(2)k，∴BC＝AD＝eq\r(2)k＋2eq\r(2)k＝3eq\r(2)k，∴tan∠EBC＝eq\f(CE,BC)＝eq\f(3k,3\r(2)k)＝eq\f(\r(2),2).22．小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长eq\f(3\r(3),2)米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．解：如图，延长OA交直线BC于点D，∵AO的倾斜角是60°，∴∠ODB＝60°.∵∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°.在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝eq\f(3\r(3),2)·eq\f(\r(3),3)＝eq\f(3,2)(米)．∴CD＝2AD＝3(米)．又∵∠O＝60°，∴△BOD为等边三角形．∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋eq\f(3,2)＝4.5(米)．∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5米．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．六、(本大题共12分)23．在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．表盘是△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为(20eq\r(3)－20)cm.(1)求AB的长；(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2030秒，交点又在什么位置？请说明理由．解：(1)如图①，过A点作AD⊥BC，垂足为D.∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝30°.令AB＝2tcm.在Rt△ABD中，AD＝eq\f(1,2)AB＝t，BD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)t.在RtAMD中，∵∠AMD＝∠ABC＋∠BAM＝45°，∴MD＝AD＝t.∵BM＝BD－MD.即eq\r(3)t－t＝20eq\r(3)－20.解得t＝20.∴AB＝2×20＝40cm.答：AB的长为40cm.(2)如图②，当光线旋转6秒，设AP交BC于点N，此时∠BAN＝15°×6＝90°.在Rt△ABN中，BN＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(40,\f(\r(3),2))＝eq\f(80\r(3),3)cm.∴光线AP旋转6秒，与BC的交点N距点Beq\f(80\r(3),3)cm处．如图③，设光线AP旋转2030秒后光线与BC的交点为Q.由题意可知，光线从边AB开始到第一次回到AB处需8×2＝16秒，而2030＝126×16＋14，即AP旋转2030秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点Q.旋转14s的过程是B→C：8s，C→Q：6s，因此CQ＝BN＝eq\f(80\r(3),3)cm，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴BC＝2ABcos30°＝2×40×eq\f(\r(3),2)＝40eq\r(3)cm，∴BQ＝BC－CQ＝40eq\r(3)－eq\f(80\r(3),3)＝eq\f(40\r(3),3)cm.答：光线AP旋转2030秒后，与BC的交点Q在距点B的eq\f(40\r(3),3)cm处．第二章检测题(BSD)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．已知抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴的交点坐标为(－1，0)和(－3，0)，则方程x2＋ax＋b＝0的解是(B)A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝－3C．x＝－3 D．x＝32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，动点P从点C开始沿CA以1cm/s的速度向A点运动，同时动点Q从点C开始沿CB以2cm/s的速度向B点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的△CPQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是(C)3．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是(D)A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过原点和第一、二、三象限，则(A)A．a>0，b>0，c＝0B．a>0，b<0，c＝0C．a<0，b>0，c＝0D．a<0，b<0，c＝05．(2019·烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的y与x的部分对应值如下表，下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2;③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，则x1<x2，其中正确的个数是(B)x－10234y50－4－30A.2 B．3 C．4 D．56．(2019·巴中)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论①b2>4ac，②abc<0，③2a＋b－c>0，④a＋b＋c<0.其中正确的是(A)A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知一条抛物线的开口大小与y＝x2相同但方向相反，且顶点坐标是(2，3)，则该抛物线的表达式是y＝－x2＋4x－1.8．飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数表达式是y＝60t－eq\f(3,2)t2，在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是24m.9．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)的值为－4.10．如图，已知△OBC是等腰直角三角形，∠OCB＝90°，若点B的坐标为(4，0)，点C在第一象限，则经过O，B，C三点的抛物线的表达式是y＝－eq\f(1,2)x2＋2x.11．已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(a≠0)(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值是__1__．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a>0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是－2.三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．已知当x＝2时，抛物线y＝a(x－h)2有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的表达式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．解：当x＝2时，有最大值，所以h＝2.此抛物线过(1，－3)，所以－3＝a(1－2)2，解得a＝－3.此抛物线的表达式为y＝－3(x－2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小．14．已知抛物线y＝－3x2经过平移经过点(0，0)和(1，9)，求出平移后抛物线的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．解：设平移后抛物线的表达式为y＝－3x2＋bx＋c，将点(0，0)和(1，9)的坐标代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝0，,－3＋b＋c＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝12，,c＝0.))∴平移后抛物线的表达式为y＝－3x2＋12x.∵y＝－3x2＋12x＝－3(x－2)2＋12，∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，12)．

15.已知抛物线y＝－a(x－2)2＋3经过点(1，2)．(1)求a的值；(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＞n＞2)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．解：(1)把(1，2)代入y＝－a(x－2)2＋3，得2＝－a(1－2)2＋3，解得a＝1；(2)由(1)知原抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋3，其开口向下，对称轴为直线x＝2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小．∵m＞n＞2，∴y1＜y2.16．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－eq\f(2,3)x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．(1)求该二次函数的表达式；(2)结合函数的图象探索，当y＞0时，x的取值范围．解：(1)由题意可得B(2，2)，C(0，2)，将B，C坐标代入y＝－eq\f(2,3)x2＋bx＋c，解得c＝2，b＝eq\f(4,3)，所以二次函数的表达式是y＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(4,3)x＋2.(2)令y＝0，解－eq\f(2,3)x2＋eq\f(4,3)x＋2＝0，得x1＝3，x2＝－1，由图象可知：y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜3.17．如图，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求该抛物线的表达式；(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标．解：(1)∵抛物线经过A，B两点，∴把A(－5，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－5，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25a－5b－5＝0，,9a＋3b－5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(2,3)，))∴该抛物线的表达式为y＝eq\f(1,3)x2＋eq\f(2,3)x－5.(2)∵y＝eq\f(1,3)x2＋eq\f(2,3)x－5，∴令x＝0，则y＝－5.∴C点的坐标为(0，－5)，∵S△ABE＝S△ABC，∴点E的纵坐标与点C的纵坐标相等，即点E的纵坐标为－5，令eq\f(1,3)x2＋eq\f(2,3)x－5＝－5，解得x1＝－2，x2＝0(舍去)，∴点E的坐标为(－2，－5)．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．已知二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2－m.(1)求证：此二次函数图象与x轴必有两个不同的交点；(2)若此二次函数图象与直线y＝x－3m＋4的一个交点在y轴上，求m的值．(1)证明：令y＝0，有x2－(2m－1)x＋m2－m＝0，Δ＝b2－4ac＝(2m－1)2－4(m2－m)＝1＞0，∴结论成立；(2)解：令x＝0，代入y＝x2－(2m－1)x＋m2－m与y＝x－3m＋4，得m2－m＝－3m＋4，∴m＝－1＋eq\r(5)或－1－eq\r(5).19．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看作一点)的路线是抛物线y＝－eq\f(3,5)x2＋3x＋1的一部分，如图．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4m，在一次表演中人梯到起点A的水平距离为4m，问这次表演是否成功？请说明理由．解：(1)∵y＝－eq\f(3,5)x2＋3x＋1＝－eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(19,4)，∴该演员弹跳高度的最大值为eq\f(19,4)m；(2)当x＝4时，y＝－eq\f(3,5)×42＋3×4＋1＝3.4，∴这次表演是成功的．20．如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A(0，－6)和B(3，－9)．(1)求出抛物线的表达式；(2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)点P(m，m)(其中m＞0)与点Q均在抛物线上，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标．解：(1)依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a×02－4×0＋c＝－6，,a×32－4×3＋c＝－9，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝－6，,9a－12＋c＝－3，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝－6.))∴抛物线的表达式为y＝x2－4x－6.(2)把y＝x2－4x－6配方得y＝(x－2)2－10，∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标(2，－10)．(3)由点P(m，m)在抛物线上，有m＝m2－4m－6，即m2－5m－6＝0.∴m1＝6或m2＝－1(舍去)，∴m＝6，∴P点的坐标为(6，6)．∵点P，Q均在抛物线上，且关于对称轴x＝2对称，∴Q点的坐标为(－2，6)．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．把抛物线y＝eq\f(1,2)x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝eq\f(1,2)x2交于点Q.(1)求顶点P的坐标；(2)写出平移过程；(3)求图中阴影部分的面积．解：(1)设抛物线m的表达式为y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c，把点A(－6，0)，原点O(0，0)代入，得b＝3，c＝0，∴抛物线m的表达式为y＝eq\f(1,2)x2＋3x＝eq\f(1,2)(x＋3)2－eq\f(9,2)，所以顶点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(9,2))).(2)把抛物线y＝eq\f(1,2)x2先向左平移3个单位长度，再向下平移eq\f(9,2)个单位长度即可得到抛物线y＝eq\f(1,2)(x＋3)2－eq\f(9,2).(3)Q点横坐标为－3，代入y＝eq\f(1,2)x2，可得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(9,2)))，图中阴影部分的面积＝S△OPQ＝eq\f(1,2)×3×9＝eq\f(27,2).22．(2019·南充)在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元？(2)经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？解：(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x，y元，根据题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝38，,4x＋5y＝70，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝6.))答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；(2)设钢笔的单价为a元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本的总金额为w元，①当30≤b≤50时，a＝10－0.1(b－30)＝－0.1b＋13，w＝b(－0.1b＋13)＋6(100－b)＝－0.1b2＋7b＋600＝－0.1(b－35)2＋722.5，∵当b＝30时，w＝720，当b＝50时，w＝700，∴当30≤b≤50时，700≤w≤722.5；②当50<b≤60时，a＝8，w＝8b＋6(100－b)＝2b＋600，700<w≤720，∴当30≤b≤60时，w的最小值为700元．答：这次奖励一等奖学生50人时，购买的奖品总金额最少，最少为700元．六、(本大题共12分)23．(2019·新疆)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，4)三点．(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)将(1)中的抛物线向下平移eq\f(15,4)个单位长度，再向左平移h(h>0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；(3)点P为线段BC上一动点(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．题图答图解：(1)函数表达式为y＝a(x＋1)(x－4)＝a(x2－3x－4)，即－4a＝4，解得a＝－1，故抛物线的表达式为y＝－x2＋3x＋4，顶点D(eq\f(3,2)，eq\f(25,4))；(2)抛物线向下平移eq\f(15,4)个单位长度，再向左平移h(h>0)个单位长度，得到新抛物线的顶点D'(eq\f(3,2)－h，eq\f(5,2))，将点A，C的坐标代入一次函数表达式并解得直线AC的表达式为y＝4x＋4，将点D'坐标代入直线AC的表达式得：eq\f(5,2)＝4(eq\f(3,2)－h)＋4，解得h＝eq\f(15,8)，故0<h<eq\f(15,8)；(3)过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q，H，∵OB＝OC＝4，∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠QPC，直线BC的表达式为y＝－x＋4，则AB＝5，BC＝4eq\r(2)，AC＝eq\r(17)，SABC＝eq\f(1,2)×5×4＝10，设点Q(m，－m2＋3m＋4)，点P(m，－m＋4)，CP＝eq\r(2)m，PQ＝－m2＋3m＋4＋m－4＝－m2＋4m，①当△CPQ∽△CBA，eq\f(PC,BC)＝eq\f(PQ,AB)，即eq\f(\r(2)m,4\r(2))＝eq\f(－m2＋4m,5)，解得m＝eq\f(11,4)，相似比为eq\f(PC,BC)＝eq\f(11,16)，②当△CPQ∽△ACB，同理可得相似比为eq\f(PC,AB)＝eq\f(12\r(2),25)，利用面积比等于相似比的平方可得SPQC＝10×(eq\f(11,16))2＝eq\f(605,128)或SPQC＝10×(eq\f(12\r(2),25))2＝eq\f(576,125).第三章检测题(BSD)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．已知⊙P的半径为4，圆心P的坐标为(1，2)，点Q的坐标为(0，5)，则点Q与⊙P位置关系是(C)A．点Q在⊙P外 B．点Q在⊙P上C．点Q在⊙P内 D．不能确定2．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD等于(D)A．20° B．40°C．50° D.80°3．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则eq\o(BD,\s\up8(︵))的长为(C)A．π B.eq\f(3,2)π C．2π D．3π4．同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长之比为(B)A．3∶4 B.eq\r(3)∶2 C．2∶eq\r(3) D．1∶25．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是(D)A．3cm B.eq\r(6)cm C．2.5cm D.eq\r(5)cm6．如图，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝eq\r(3)，则四边形AB1ED的内切圆半径为(B)A.eq\f(\r(3)＋1,2) B.eq\f(3－\r(3),2) C.eq\f(\r(3)＋1,3) D.eq\f(3－\r(3),3)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于69°.8．如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为eq\f(5,3)eq\r(3)cm.9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在eq\o(BC,\s\up8(︵))上(不与点B，C重合)，连接BE，CE.若∠D＝40°，则∠BEC＝115度．10．(2019·内江)如图，在平行四边形ABCD中，AB<AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为eq\f(2π,3)＋eq\r(3)．11．如图，P是反比例函数y＝eq\f(4,x)(x＞0)的图象上一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝3相切时，点P的坐标为(1，4)或(2，2)．12．(2019·包头)如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为__2eq\r(6)__．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD是直径，BD＝2，连接CD，求BC的长．解：在⊙O中，∵∠A＝45°，∴∠D＝45°.∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴BC＝BD·sin45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2).14．如图，已知CD平分∠ACB，DE∥AC.求证：DE＝BC.证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))，∵DE∥AC，∴∠ACD＝∠CDE，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵))，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵))，∴eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴DE＝BC.15．如图，两个同心圆中，大圆的弦AB，AC分别切小圆于点D，E，△ABC的周长为12cm，求△ADE的周长．解：连接OD，OE.∵AB，AC分别切小圆于点D，E，∴OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝DB，AE＝EC，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝eq\f(1,2)BC，∴C△ADE＝eq\f(1,2)C△ABC＝eq\f(1,2)×12＝6cm.16．如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC的长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(62－22)＝4eq\r(2).又∵CD平分∠ACB，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴AD＝BD.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝BD＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×6＝3eq\r(2).∴S四边形ADBC＝S△ABC＋S△ABD＝4eq\r(2)＋9，∴四边形ADBC的面积为4eq\r(2)＋9.17．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.求证：IE2＝AE·DE.证明：连接BE，BI.∵I为△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵∠6＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠4＋∠5，∠5＝∠2＝∠1，∴∠IBE＝∠6，∴IE＝BE.∵∠5＝∠1，∠E＝∠E，∴△BED∽△AEB，∴eq\f(BE,DE)＝eq\f(AE,BE)，∴BE2＝AE·DE，∴IE2＝AE·DE.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为(－2，0)，⊙O′与x轴相交于原点O和点A，B，C两点的坐标分别为(0，b)，(1，0)．(1)当b＝3时，求经过B，C两点的直线的表达式；(2)当B点在y轴上运动时，直线BC与⊙O′有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时b的取值范围．解：(1)直线BC表达式为y＝－3x＋3.(2)当BC切⊙O′于第二象限时，记切点为点D.易得DC＝eq\r(5).∵BO＝BD＝b，∴BC＝eq\r(5)－b.12＋b2＝(eq\r(5)－b)2，得b＝eq\f(2,5)eq\r(5).同理当BC切⊙O′于第三象限D1点时，可求得b＝－eq\f(2,5)eq\r(5).故当b＞eq\f(2,5)eq\r(5)或b＜－eq\f(2,5)eq\r(5)时，直线BC与⊙O′相离；当b＝eq\f(2,5)eq\r(5)或－eq\f(2,5)eq\r(5)时，直线BC与⊙O′相切；当－eq\f(2,5)eq\r(5)＜b＜eq\f(2,5)eq\r(5)时，直线BC与⊙O′相交．19．(2018·南充)如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4.(1)求证：PC是⊙O的切线．(2)求tan∠CAB的值．(1)证明：连接OC，BC，∵⊙O的半径为3，PB＝2，∴OC＝OB＝3，OP＝OB＋PB＝5.∵PC＝4，∴OC2＋PC2＝OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．(2)解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∵OC⊥PC，∴∠BCP＋∠OCB＝90°，∴∠BCP＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠BCP，在△PBC和△PCA中，∠BCP＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(PB,PC)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∴tan∠CAB＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,2).20．(齐齐哈尔中考)如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.又∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，∴∠DBC＋∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°∴BC是⊙O的切线．(2)解：∵BF＝BC＝2且∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠FBD，又∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBD＝∠DBE＝∠OBE＝eq\f(1,3)∠ABC＝eq\f(1,3)×90°＝30°，∴∠C＝60°，∴AB＝eq\r(3)BC＝2eq\r(3)，∴⊙O的半径为eq\r(3)，连接OD，∴阴影部分面积为S扇形OBD－S△OBD＝eq\f(1,6)π×3－eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(π,2)－eq\f(3\r(3),4).五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．(2019·安顺)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)求证：点H为CE的中点；(3)若BC＝10，cosC＝eq\f(\r(5),5)，求AE的长．(1)解：DH与⊙O相切．理由：连接OD，AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH为⊙O的切线．(2)证明：连接DE，∵A，B，D，E四点共圆，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴CD＝ED，∵DH⊥CE，∴点H为CE的中点．(3)解：CD＝eq\f(1,2)BC＝5，∵cosC＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(\r(5),5)，∴AC＝5eq\r(5)，∵cosC＝eq\f(CH,CD)＝eq\f(\r(5),5)，∴CH＝eq\r(5)，∴CE＝2CH＝2eq\r(5)，∴AE＝AC－CE＝3eq\r(5).22．如图，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，点O为AB的中点．(1)求证：∠B＝∠ACD；(2)已知点E在AB上，且BC2＝AB·BE.①若tan∠ACD＝eq\f(3,4)，BC＝10，求CE的长；②试判断CD与以A为圆心，AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．(1)证明：∵∠ACB＝∠DCO＝90°，∴∠ACB－∠ACO＝∠DCO－∠ACO，即∠ACD＝∠OCB；又∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠ACD.(2)解：①∵BC2＝AB·BE，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(BE,BC).∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB＝∠CEB＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴tan∠ACD＝tanB＝eq\f(3,4)，设BE＝4x，则CE＝3x.由勾股定理，可知BE2＋CE2＝BC2，∴(4x)2＋(3x)2＝100，∴解得x＝2，∴CE＝6.②CD与⊙A相切．理由如下：过点A作AF⊥CD于点F.∵∠CEB＝90°，∴∠B＋∠ECB＝90°.∵∠ACE＋∠ECB＝90°，∴∠B＝∠ACE.∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACE，∴CA平分∠DCE.∵AF⊥CD，AE⊥CE，∴AF＝AE，∴直线CD与⊙A相切．六、(本大题共12分)23．(2019·荆州)如图AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点(不与O，B重合)，过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，eq\o(BC,\s\up8(︵))于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD.(1)求证：FC是⊙O的切线；(2)当点E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点时，①若∠BAC＝60°，判断O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若tan∠ABC＝eq\f(3,4)，且AB＝20，求DE的长．(1)证明：连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵PF⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC＋∠BDP＝90°，∵FC＝FD,∴∠FCD＝∠FDC，∵∠FDC＝∠BDP，∴∠FCD＝∠BDP，∴∠OCB＋∠FCD＝90°，∴OC⊥FC，FC是⊙O的切线．(2)解：连接OC，OE，BE，CE，OE与BC交于H.①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC，∴△BOE，△COE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC，∴四边形BOCE是菱形．②∵eq\f(AC,BC)＝tan∠ABC＝eq\f(3,4)，设AC＝3k，BC＝4k，k>0.由AC2＋BC2＝AB2，即(3k)2＋(4k)2＝202，解得k＝4，∴AC＝12，BC＝16，∵点E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中心，∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，∵S△BOE＝eq\f(1,2)OE·BH＝eq\f(1,2)OB·PE，即eq\f(1,2)×10×8＝eq\f(1,2)×10×PE，∴PE＝8，又OP＝eq\r(OE2－PE2)＝6，∴BP＝OB－OP＝4，∵eq\f(DP,BP)＝tan∠ABC＝eq\f(3,4)，∴DP＝eq\f(3,4)BP＝3，∴DE＝PE－DP＝8－3＝5.期中检测题(BSD)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是(D)A．开口向下 B．对称轴是x＝mC．最大值为0 D．与y轴不相交2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，tanB＝eq\f(\r(3),3)，则Rt△ABC的面积为(B)A．9eq\r(3) B.eq\f(9,2)eq\r(3) C．9 D．183．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为(D)A．40海里 B．60海里 C．20eq\r(3)海里 D．40eq\r(3)海里4．若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点(B)A．(－3，－6) B．(－3，0) C．(－3，－5) D．(－3，－1)5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为(A)A.eq\f(\r(3),3) B.eq\r(3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则|a－b＋c|＋|2a＋b|等于(D)A．a＋b B．a－2b C．a－b D．3a二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．某种型号的迫击炮发射炮弹时的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)的关系满足h＝－eq\f(1,3)t2＋10t，则经过30s，发射的炮弹落地爆炸．8．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosB－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝0，则∠C＝90°.9．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋eq\f(1,2)m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为0，2或－2.10．(2019·盐城)在△ABC中，BC＝eq\r(6)＋eq\r(2)，∠C＝45°，AB＝eq\r(2)AC，则AC的长为__2__．11．(2019·宿迁)若∠MAN＝60°，△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是eq\r(3)<BC<2eq\r(3)__．12．已知抛物线y＝eq\f(2,3)x2＋eq\f(4,3)x－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.点P在对称轴上，当△PBC的周长最小时，点P的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,3))).三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．计算：cos60°－sin45°＋eq\f(1,4)tan230°＋cos30°－sin30°.解：原式＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,12).14．由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝4eq\r(3)，求AB的长”．这时小明去翻看了标准答案，显示AB＝10.你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？解：过点C作CH⊥AB于点H，在Rt△ACH中，CH＝AC·sinA＝4eq\r(3)×sin30°＝2eq\r(3)，AH＝AC·cosA＝4eq\r(3)×cos30°＝6，∴BH＝AB－AH＝4，∴tanB＝eq\f(CH,BH)＝eq\f(\r(3),2)，∴污渍部分的内容是eq\f(\r(3),2).15．(2019·凉山州)已知二次函数y＝x2＋x＋a的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且eq\f(1,xeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,xeq\o\al(2,2))＝1，求a的值．解：函数y＝x2＋x＋a的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，∴x1＋x2＝－1，x1·x2＝a，∵eq\f(1,xeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,xeq\o\al(2,2))＝eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2))＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,（x1x2）2)＝eq\f(1－2a,a2)＝1，∴a＝－1＋eq\r(2)或a＝－1－eq\r(2).16．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x－4与二次函数y＝－x2＋2x＋c图象交于点A(－1，m)．(1)求m，c的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．解：(1)∵A点在一次函数的图象上，∴m＝－1－4＝－5.∴点A的坐标为(－1，－5)，∵A点在二次函数图象上，∴－5＝－1－2＋c，解得c＝－2.(2)由①可知二次函数表达式为y＝－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1，∴二次函数的图象的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)．17．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？(结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，eq\r(2)≈1.4)解：作AH⊥CN于点H.在Rt△ABH中，∵∠BAH＝45°，BH＝10.5－2.5＝8(m)，∴AH＝BH＝8(m)，在Rt△AHC中，tan65°＝eq\f(CH,AH)，∴CH＝8×2.1≈17(m)，∴BC＝CH－BH＝17－8＝9(m)．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，若抛物线y＝ax2＋bx＋c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线对应的函数表达式．解：∵直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(－2，0)，B(0，2)，∴△ABO为等腰直角三角形．又∵AB⊥BC，∴△BCO也为等腰直角三角形，∴OC＝OB＝OA.∴C(2，0)，设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－2)2，将点B(0，2)的坐标代入得2＝a(0－2)2，解得a＝eq\f(1,2)，∴此抛物线对应的函数表达式为y＝eq\f(1,2)(x－2)2，即y＝eq\f(1,2)x2－2x＋2.19．如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.(1)求sinB的值；(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．解：(1)∵BD＝DC＝9，AD＝6，∴AB＝eq\r(92＋62)＝3eq\r(13).∴sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(6,3\r(13))＝eq\f(2\r(13),13).(2)∵EF∥AD，BE＝2AE，∴△BEF∽△BAD.∴eq\f(EF,AD)＝eq\f(BF,BD)＝eq\f(BE,BA)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(EF,6)＝eq\f(BF,9)＝eq\f(2,3)，∴EF＝4，BF＝6，∴DF＝3，∴在Rt△DEF中，DE＝eq\r(42＋32)＝5米.20．为美化校园，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(只围AB，BC两边)，设AB＝xm.(1)若花园的面积为192m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．解：(1)∵AB＝xm，则BC＝(28－x)m，∴x(28－x)＝192，解得x1＝12，x2＝16，∴当花园的面积为192m2时，x的值为12m或16m.(2)由题意可得S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，28－15＝13，∴6≤x≤13，∴当x＝13时，S最大＝－(13－14)2＋196＝195，∴花园面积S的最大值为195m2.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的表达式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h＝－eq\f(1,128)(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？解：(1)抛物线的表达式为y＝－eq\f(3,64)x2＋11(－8≤x≤8)．(2)令－eq\f(1,128)(t－19)2＋8＝11－5.解得t1＝35，t2＝3.∴当3≤t≤35时，水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为35－3＝32小时．答：禁止船只通行时间为32小时．22．(2019·岳阳)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D，B，F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD；(用含a的式子表示)(2)若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB.解：(1)四边形CDBG，HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在RtAHE中，tan∠AEH＝eq\f(AH,HE)，则AH＝HE·tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH－GH＝1.9a－0.2，在RtACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a－0.2，∴BD＝1.9a－0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD为(1.9a－0.2)米；(2)1.9a－0.2＋a＝52，解得，a＝18，则AG＝1.9a－0.2＝34.∴AB＝AG＋GB＝35.7.答：慈氏塔的高度AB为35.7米．六、(本大题共12分)23．(2019·通辽)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为M(1，9)，经过抛物线上的两点A(－3，－7)和B(3，m)的直线交抛物线的对称轴于点C.(1)求抛物线的表达式和直线AB的表达式．(2)在抛物线上A，M两点之间的部分(不包含A，M两点)，是否存在点D，使得SDAC＝2SDCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．题图答图解：(1)二次函数表达式为y＝a(x－1)2＋9，将点A的坐标代入上式并解得a＝－1，故抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋8…①，则点B(3，5)，将点A，B的坐标代入一次函数表达式并解得直线AB的表达式为y＝2x－1.(2)存在，理由：二次函数对称轴为：x＝1，则点C(1，1)，过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D(x，－x2＋2x＋8)，点H(x，2x－1)，∵SDAC＝2S△DCM，则S△DAC＝eq\f(1,2)DH(xC－xA)＝eq\f(1,2)(－x2＋2x＋8－2x＋1)(1＋3)＝eq\f(1,2)(9－1)(1－x)×2，解得x＝－1或5(舍去5)，故点D(－1，5)．(3)设点Q(m，0)，点P(s，t)，t＝－s2＋2s＋8，①当AM是平行四边形的一条边时，点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，同理，点Q(m，0)向左平移4个单位向下平移16个单位为(m－4，－16)，即为点P，即：m－4＝s，－16＝t，而t＝－s2＋2s＋8，解得：s＝6或－4，故点P(6，－16)或(－4，－16)；②当AM是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m＋s＝－2，t＝2，而t＝－s2＋2s＋8，解得：s＝1±eq\r(7)，故点P(1＋eq\r(7)，2)或(1－eq\r(7)，2)；综上，点P(6，－16)或(－4，－16)或(1＋eq\r(7)，2)或(1－eq\r(7)，2)．期末检测题(BSD)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．化简eq\r(1＋tan230°－2tan30°)的结果为(A)A．1－eq\f(\r(3),3) B．1－eq\r(3) C.eq\f(\r(3),3)－1 D．12．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为(C)A．2eq\r(5)cm B．4eq\r(5)cmC．2eq\r(5)cm或4eq\r(5)cm D．2eq\r(3)cm或4eq\r(3)cm3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，AC＝6cm，则BC的长度为(C)A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm4．已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.有下列说法：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小．其中正确的有(A)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．(泰安中考)在同一坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是(C)(2019·烟台)如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E，连接AC，BC，若AD＝eq\r(3)，CE＝3，则eq\o(AC,\s\up8(︵))的长为(D)A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)πC.eq\f(\r(3),2)π D.eq\f(2\r(3),3)π二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知(tanA－eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanB－\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，则△ABC的形状是直角三角形．8．将二次函数y＝x2＋bx＋c向左平移3个单位，向下平移1个单位，正好得到抛物线y＝x2，则b＋c＝4.9．(2019·台州)如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．10．(2019·黄石)一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为15eq\r(3)海里．11．如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果CD＝eq\f(4\r(3),3)，那么AD＝__4__．12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，下列结论中：①abc<0；②9a－3b＋c<0；③b2－4ac>0；④a>b.正确的结论是②③④(只填序号)．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．计算：(1)sin260°－cos60°＋tan45°； (2)eq\f(sin30°＋cos245°,cos60°＋sin45°).解：原式＝eq\f(5,4). 解：原式＝2(eq\r(2)－1)．14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长(结果保留根号)．解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tanA＝tan30°＝eq\f(BC,AB)，即eq\f(BC,BC＋4)＝eq\f(\r(3),3)，解得BC＝2(eq\r(3)＋1)．15．如图，AB与DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC∥DE.求证：(1)eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵))；(2)BE＝EC.证明：(1)连接OC，∵AC∥DE，∴∠AOD＝∠OAC，∠COE＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠AOD＝∠COE，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵)).(2)∵∠AOD＝∠BOE，∠AOD＝∠COE，∴∠BOE＝∠COE，∴BE＝CE.16．下表给出了代数式－x2＋bx＋c与x的一些对应值：x…－2－10123…－x2＋bx＋c…5nc2－3－10…(1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值；(2)设y＝－x2＋bx＋c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．解：(1)根据表格数据可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4－2b＋c＝5，,－1＋b＋c＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝5.))∴－x2＋bx＋c＝－x2－2x＋5.当x＝－1时，－x2－2x＋5＝6，即n＝6.(2)根据表中数据得，当0≤x≤2时，在x＝0处y的值最大，y的最大值是5.17．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点F，若eq\o(CF,\s\up8(︵))的长为eq\f(2π,3).(1)求圆心角∠CBF的度数；(2)求图中阴影部分的面积．(结果保留根号及π的形式)解：(1)由弧长公式得eq\f(nπ·2,180)＝eq\f(2π,3)，解得n＝60，即∠CBF＝60°.(2)∠ABF＝90°－∠CBF＝90°－60°＝30°，∴AF＝eq\f(1,2)BF＝1，∴DF＝1，AB＝eq\r(3)，S阴影＝S梯形BCDF－S扇形BCF＝eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\r(3)－eq\f(60π·22,360)＝eq\f(3\r(3),2)－eq\f(2π,3).四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．已知抛物线y＝x2＋bx－3(b是常数)经过点A(－1，0)．(1)求该抛物线的表达式和顶点坐标；(2)P(m，t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′.当点P′落在该抛物线上时，求m的值．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx－3经过点A(－1，0)，∴0＝1－b－3，解得b＝－2，∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标为(1，－4)．(2)由点P(m，t)在抛物线y＝x2－2x－3上，得t＝m2－2m－3.又点P′和点P关于原点对称，∴P′(－m，－t)，∵点P′落在抛物线y＝x2－2x－3上，∴－t＝(－m)2－2(－m)－3，即t＝－m2－2m＋3.∴m2－2m－3＝－m2－2m＋3.解得m1＝eq\r(3)，m2＝－eq\r(3).19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．(1)证明：连接AE.∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.(2)解：连接DE.∵四边形ACED为⊙O的内接四边形，∴∠BED＝∠BAC.∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴eq\f(BE,BA)＝eq\f(BD,BC).∵BE＝CE＝3，∴BC＝6.∵BD＝2，∴AB＝9.∴AC＝9.20．(2019·襄阳)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△AB