重难点05 涉及二次函数的图形变化类问题与二次函数有关的创新类问题（2种命题预测+77种题型汇-总+专题训练+3种解题方法）（解析版）

第三章函数重难点05涉及二次函数的图形变化类问题，与二次函数有关的创新类问题（2种命题预测+7种题型汇总+专题训练+3种解题方法）【题型汇总】类型一涉及二次函数的图形变化类问题题型01平移变换平移方式（n＞0)一般式顶点式平移口诀向左平移n个单位，顶点坐标(h-n，k)左加向右平移n个单位，顶点坐标(h+n，k)右减向上平移n个单位，顶点坐标(h，k+n)上加向下平移n个单位，顶点坐标(h，k-n)下减1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3图象的对称轴是直线x=-1，图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为1,0，直线y=x+n经过点B，且与y(1)填空：a=____；b=____；n=_____．(2)将该二次函数图象向右平移m个单位，使抛物线顶点M落在直线BC上，试求m的值．(3)在（2）的条件下，设Pt,0是x轴上的一动点，若△MBP外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求t【答案】(1)-1；-2；-1(2)m=6(3)10-【分析】（1）将点B坐标代入直线y=x+n中求出n，根据二次函数的对称轴和经过点1,0得到方程组，解方程即可求出a、b；（2）将抛物线化为顶点式，平移后得到平移后的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线求解y=x+n；（3）先求出平移后的解析式，设抛物线对称轴与x轴交于点N，根据题意易得到△MBP外接圆的圆心必在边BM的中垂线上，设该中垂线交抛物线于点E，F，进而求出点E，F的坐标，过点E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为K，Q，得到这两点的横坐标，进而求出P1和P2的横坐标，即可求出【详解】（1）解：∵点B坐标为1,0，直线y=x+n经过点B，∴0=1+n，∴n=1．∵二次函数y=ax2+bx+3图象的对称轴是直线x=-1，B1,0∴-b2a=-1联立组成方程组为b=2aa+b+3=0解得a=-1b=-2故答案为：-1；-2；-1．（2）解：由题意知：抛物线解析式为y=-x2-2x+3将y=-(x+1)2+4的图象向右平移m个其顶点坐标为M(m-1,4)．∵顶点M恰好落在直线y=x-1上，∴4=m-1-1，∴m=6．（3）解：由题意知：平移后的抛物线解析式为y=-(x-5)2+4设抛物线对称轴与x轴交于点N．∵BN=NM=4，∴△BNM为等腰直角三角形．∵P点在x轴上，则△MBP外接圆的圆心必在边BM的中垂线上．设该中垂线交抛物线于点E，F．由M(5,4),B(1,0)可知线段MB的中点坐标为(3,2)，N(5,0)，故可求得该中垂线解析式为yEN∴解方程组y=-解得：x1.2即E，F两点的横坐标分别为11-17过点E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为K，Q，则K，Q两点的横坐标分别为11-17∴KB=11-∴P从而P1点的横坐标为10-同理QB=11+∴P从而P2点的横坐标为10+∴t的取值范围是10-17【点晴】本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，二次函数平移规律，二次函数与一次函数的交点，理解相关知识是解答关键．2．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移mm>0个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S【答案】(1)y=-0.1x(2)10(3)2或4；【分析】（1）根据题意得到C(0,1)，A(2,0.6)，B(-2,0.6)，设抛物线的解析式为y=a(x-h)（2）分别求出AO，BO所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案；（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到S1，表示出新抛物线找到交点得到S【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=a(x-h)C(0,1)，A(2,0.6)，B(-2,0.6)，∴h=0，k=1，把点A坐标代入所设解析式中得：4a+1=0.6，解得：a=-0.1，∴y=-0.1x（2）解：设AO的解析式为：y=k1x，BO分别将A(2,0.6)，B(-2,0.6)代入y=k2k1=0.6解得：k1=0.3，∴AO的解析式为：y=0.3x，BO的解析式为：y=-0.3x，联立直线解析式与抛物线得：0.3x=-0.1x解得x1同理，解-0.3x=-0.1x2+1∴F(-5,-1.5)，E(5,-1.5)，∴E，F两点之间的距离为：5-(-5)=10；（3）解：当y=0时，-0.1x解得：x=±10∴S1∵抛物线向右平移mm>0个∴y=-0.1(x-m)当x=0时，y=-0.1m当y=0时，-0.1(x-m)2+1=0∴S2∵S2∴35解得：m1=2，m2=-2（不符合题意舍去），综上所述：m等于2或4；【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减．3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线C1:y=ax2+43x-4的图象经过点(1)求抛物线C1(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P【答案】(1)y=(2)C2:y=53x-(3)存在，点P的坐标为：2,2或-1,3【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键．（1）将点D的坐标代入抛物线表达式y=ax2+（2）由题意得：C2:y=53x-12+43（3）分∠BAP为直角、∠DBP为直角、∠HPD为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标．【详解】（1）解：将点D的坐标代入抛物线表达式y=ax2+43则抛物线的表达式为：y=5（2）解：由题意得：C2当x=1时，y=5故点D在抛物线C2（3）解：存在，理由如下：①当∠BAP为直角时，如图1，过点D作DE⊥BD且DE=BE，则△BDE为等腰直角三角形，∵∠BDG+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∴∠BDG=∠DEH，∵∠DGB=∠EHD=90°，∴△DGB≌△EHDAAS∴DH=BG=1，EH=GD=1+2=3，∴点E2,2当x=2时，y=53x-35∴点P即为点E2,2②当∠DBP为直角时，如图2，同理可得：△BGE≌△DHBAAS∴DH=3=BG，BH=1=GE，∴点E-1,3当x=-1∴点E在抛物线C2∴点P即为点E-1,3③当∠HPD为直角时，如图3，设点Ex,y同理可得：△EHB≌△DGEAAS∴EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=1-x，解得：x=0且y=1，∴点E0,1当x=0时，y=5即点E不在抛物线C2综上，点P的坐标为：2,2或-1,3．4．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A

(1)请求出抛物线Q1(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得【答案】(1)y=-(2)E-2,3；(3)点P的坐标为(1,0)或(-2,3)【分析】（1）把A-3，0，C（2）假设存在这样的正方形，过点E作ER⊥x于点R，过点F作FI⊥y轴于点I，证明△EAR≅△AOD,△FID≅△DOA，可得ER=3,AR=1,FI=1,IO=2,故可得E-2,3，（3）先求得抛物线Q2的解析式为y=-(x+1-2)2+4=-(x-1)2+4，得出K(1,4)，H(3,0)，运用待定系数法可得直线BC的解析式为y=-x+3，过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，设KP交直线BC于M或N，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P【详解】（1）∵抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A∴把A-3，0-9-3b+c=0解得，b=-2∴解析式为：y=-x（2）假设存在这样的正方形DAEF，如图，过点E作ER⊥x于点R，过点F作FI⊥y轴于点I，

∴∠AER+∠EAR=90°,∵四边形DAEF是正方形，∴AE=AD,∠EAD=90°,∴∠EAR+∠DAR=90°,∴∠AER=∠DAO,又∠ERA=∠AOD=90°,∴△AER≅△DAO∴AR=DO,ER=AO,∵A∴OA=3,OD=1,∴AR=1,ER=3,∴OR=OA-AR=3-1=2,∴E-2,3同理可证明：△FID≅△DOA∴FI=DO=1,DI=AO=3,∴IO=DI-DO=3-1=2,∴F1,2（3）解：抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK=∠CHK∵y=-x∴抛物线Q1的顶点坐标为(-1,4)∵将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q∴抛物线Q2的解析式为y=-∵抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H∴K(1,4)，H(3,0)，设直线BC的解析式为y=kx+n，把C(0,3)，H(3,0)代入得n=33k+n=0解得：k=-1n=3∴直线BC的解析式为y=-x+3，过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，设KP交直线BC于M或N，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK则T(0,4)，M(m,-m+3)，N(t,-t+3)，

∴KT=TC=1，∠KTC=90°，∴△CKT是等腰直角三角形，∴∠KCT=45°，CK=2∵OH=OC=3，∠COH=90°，∴△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO=45°，CH=2∴∠KCH=180°-∠KCT-∠HCO=90°，∴tan∵∠CPK=∠CHK，∴tan∵tan∴∠BCO=∠CHK，∵BK∥∴∠CBK=∠BCO，∴∠CBK=∠CHK，即点P与点B重合时，∠CPK=∠CHK，∴P∵SK=1，PS=3，∴tan∴∠CPK=∠CHK，∵点P与点C关于直线x=∴P(-2,3)；综上所述，抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK=∠CHK，点P的坐标为(1,0)或(-2,3)【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．题型02旋转变换5．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(-1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(x-1)2+4(2)①m=4，②存在符合条件的点Q，其坐标为(-4,-21)或(2,3)或(12,-117)【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为y=a(x-1)2+4（2）①过点A(1,4)作AE⊥x轴于点E，根据∠BAD=∠BEA=90°，又因为∠ABE=∠DBA，证明出△BAE∽△BDA，从而得出AB2=BE⋅BD，将BD=2(m+1)，BE=2，AE=4②根据上问可以得到C7,-4，点M的横坐标为4，B-1,0，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以BC为边时，存在平行四边形为BCMQ；2）当以BC为边时，存在平行四边形为BCQM；3）当以BC为对角线时，存在平行四边形为【详解】（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为A(1,4)，∴设二次函数的表达式为y=a(x-1)又∵B(-1,0)，∴0=a(-1-1)解得：a=-1，∴y=-(x-1)2+4（2）①∵点P在x轴正半轴上，∴m>0，∴BP=m+1，由旋转可得：BD=2BP，∴BD=2(m+1)，过点A(1,4)作AE⊥x轴于点E，∴BE=2，AE=4，在Rt△ABE中，A当四边形ABCD为矩形时，AD⊥AB，∴∠BAD=∠BEA=90°，又∠ABE=∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB∴4(m+1)=20，解得m=4；②由题可得点A1,4与点C关于点P∴C7,-4∵点M在直线x=4上，∴点M的横坐标为4，存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，1）、当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，∴Q-4,y1解得：y1∴Q(-4,-21)，2）、当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，∴Q12,y2解得：y2∴Q(12,-117)，3）、当以BC为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，∴Q2,y3得：y3∴Q(2,3)，综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为(-4,-21)或(2,3)或(12,-117)．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．6．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC=OA，AB=4，对称轴为直线l1:x=-1，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2(1)分别求抛物线y1和y(2)如图1，点F的坐标为-6,0，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN．求(3)如图2，点H的坐标为0,-2，动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH=2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P【答案】(1)y1=-(2)2+3(3)存在，P3,0或【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线y1的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线y2的二次项系数a为原来的相反数，顶点坐标与抛物线（2）将点F向右平移2个单位至F'，则FF'=2，F'-4,0，过点D作直线l2的对称点为D'，连接F'N,（3）当点P在直线l2右侧抛物线上时，可得∠1=∠2，作H关于直线l2的对称点H'，则点H'在直线PE上，可求直线PE的表达式为y=2x-6，联立y=2x-6y2=x2-2x-3，解得：x=3或x=1（舍），故P3,0；当点P在直线l2左侧抛物线上时，延长EP交y轴于点N，作HN的垂直平分线交HE于点Q，交y轴于点M，过点E作EK⊥y轴于点K，则QM∥EK，可得QH=QN，可证明出NQ=NE，由QM∥EK，得△HMQ∽△HKE，设HM=2m,MQ=m，则MN=HM=2m，NK=2-4m，在Rt△QMN和Rt△ENK中，由勾股定理得m2+2m2=【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G，由题意得AG=BG=2，∵对称轴为直线x=-1，∴B1,0∴OC=OA=3，∴C0,3将A、B、C分别代入y1得：a+b+c=09a-3b+c=0解得：a=-1b=-2∴y1∴y1=-∵抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y∴抛物线y2的a=1，顶点为1,-4∴y2的表达式为：y2（2）解：将点F向右平移2个单位至F'，则FF'=2，F'-4,0，过点D作直线∴ND=ND∵y2∴直线l2为直线x=1∵MN∥x轴，∴MN=1--1对于抛物线y2=x2-2x-3∴D0,-3∵点D与点D'关于直线x=1∴点D'∵MN∥x轴，FF∴四边形FF∴MF=NF∴FM+MN+DN=NF当点F'而F'∴FM+MN+DN的最小值为2+35（3）解：当点P在直线l2∵抛物线y2∴E∵l2∴∠DHE=∠1，∵∠PEH=2∠DHE，∴∠PEH=2∠1=∠1+∠2，∴∠1=∠2，作H关于直线l2的对称点H'，则点H'∵点H的坐标为0,-2，直线l2：x=1∴H'设直线PE的表达式为：y=kx+bk≠0代入H'2,-2，得：2k+b=-2k+b=-4解得：k=2b=-6∴直线PE的表达式为y=2x-6，联立y=2x-6y2=解得：x=3或x=1（舍），∴P3,0②当点P在直线l2左侧抛物线上时，延长EP交y轴于点N，作HN的垂直平分线交HE于点Q，交y轴于点M，过点E作EK⊥y轴于点K，则QM∥EK，如图：∵QM垂直平分HN，∴QH=QN，∴∠QHN=∠QNH，∴∠NQE=2∠NHE，∵∠PEH=2∠DHE∴∠NQE=∠PEH，∴NQ=NE，由点H得：EK=1,KH=2，∵QM∥EK，∴△HMQ∽△HKE，∴HMHK∴HM2设HM=2m,MQ=m，∴MN=HM=2m，NK=2-4m，在Rt△QMN和Rt△ENK中，由勾股定理得∴m2解得：m=511或∴NK=2-20∴ON=4-2∴N0,-设直线PE表达式为：y=a代入点N，E，得：a1解得：a∴直线PE表达式为：y=-2联立y=-2得：-2整理得：11解得：x=911或∴P9综上所述，P3,0或P【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．7．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知抛物线C1经过原点，且与直线l交于A-2,(1)求抛物线C1的解析式和tan(2)若D是抛物线C1上的一个动点（在点A和点B之间），作DE⊥l于点E，DF∥y轴交l于点F，在点D运动的过程中，是否存在某一位置，使得△DEF的面积最大？若存在，请求出此时点D的坐标及△DEF(3)将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再平移使其顶点在直线l上，且经过点A，得到抛物线C2，试问在抛物线C2上是否存在点P，使△ABP是以AB【答案】(1)y=x2(2)存在，D-1(3)P1,-3或【分析】本题考查了二次函数的综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是学会分类讨论，注意不要漏解，与方程相结合，利用相似三角形解决最值问题；（1）由待定系数法分别求出抛物线C1的抛物线和直线l的解析式，可求点N坐标，即可求∠BAO（2）由题意可以证明△AON∽△DEF，可得S△DEFS△AON=DFAN2（3）由题意先求出C2解析式y=-x+12+1或【详解】（1）解：设抛物线C1的解析式为：y=a∵抛物线C1经过原点，且与直线l交于A-2,0，∴c=0解得：a=1b=2∴抛物线C1的解析式为：y=设直线l解析式为：y=mx+n，∴3=m+n解得：m=1n=2∴直线l解析式为：y=x+2，如图，设直线与y轴的交点为N，当x=0时，y=2，∴点N的坐标0,2，且点A-2,0∴ON=OA=2，∴∠BAO的正切值=ON（2）∵ON=OA=2，∴AN=22∴S△ANO∵DF∥y轴，∴DF∥ON，∴∠ANO=∠EFD，且∠AON=∠FED=90°，∴△AON∽△DEF，∴S∴S∴当DF最大时，△DEF的面积最大，设点Da,a2∴DF=a+2-a∴当a=-12时，DF的最大值为∴点D-△DEF的面积的最大值为：2（3）∵抛物线C1的解析式为：y=∴设抛物线C2解析式为：y=-∴顶点坐标t,h，∵抛物线C2顶点在直线l上，且经过点A∴h=t+2解得：t=-1h=1或t=-2∴抛物线C2的解析式为：y=-x+12当抛物线C2解析式为y=-∵△ABP是以AB为直角边的直角三角形，∴AP⊥AB或BP⊥AB，∵直线AB解析式为：y=x+2，∴直线AP解析式为：y=-x-2，直线BP解析式为：y=-x+4，若点P在抛物线C2上，点P在直线AP∴y=-x-2∴解得：x=-2y=0（不合题意，舍去）x=1∴点P1,-3若点P在抛物线C2上，点P在直线BP∴y=-x+4∴x∵Δ∴方程无解，当抛物线C2解析式为：y=-∵△ABP是以AB为直角边的直角三角形，∴AP⊥AB或BP⊥AB，∵直线AB解析式为：y=x+2，∴直线AP解析式为：y=-x-2，直线BP解析式为：y=-x+4，若点P在抛物线C2上，点P在直线AP∴y=-x-2解得：x=-2y=0（不合题意，舍去）x=-1∴点P坐标-1,-1，若点P在抛物线C2上，点P在直线BP∴y=-x+4∴x∵Δ∴方程无解，综上所述：点P1,-3或8．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M2,-2，与x轴的交点为A和B（其中点A与原点重合），将抛物线y=ax2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M(1)求抛物线y=ax(2)求证：点A，M，A1(3)若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段AM的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)见解析(3)存在，P12+6,1或P【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，旋转变换，平行四边形等知识：（1）设抛物线的解析式为y=ax-22-2，把A（2）根据旋转的性质求出A14,-4，求出直线AM的解析式，代入A1的横坐标，求出y=-4（3）根据中点坐标公式求出E1，-1，把原抛物线的对称轴直线x=2绕B4,0逆时针方向旋转90°得直线【详解】（1）解：由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M把A0,0代入得：4a-2=0解得a=1∴y=1∴抛物线的解析式为y=1（2）解：∵M2,-2∴抛物线的对称轴为直线x=2,∵A0,0∴B4,0∴AB=4,由旋转得，BA1=AB=4,B∴A1设直线AM的解析式为y=kx，把M2,-2代入得，∴k=-1,∴直线AM的解析式为y=-x，当x=4时，y=-4，∴点A1在直线y=-x∴A,M,A（3）解：存在，理由如下：∵A0,0，M∴E0+22,原抛物线的对称轴为直线x=2，绕B4,0逆时针方向旋转90°得直线y=-2设Pm,12m2①若PQ,BE为对角线时，则PQ,BE的中点重合，∴解得，m=2+∴点P的坐标为2+6②若PB,QE为对角线时，∴m+4=n+1此方程组无解；③若PE,QB为对角线时，∴m+1=4+n解得，m=2+∴点P的坐标为2+2,-1，综上，点P的坐标为P12+6,1或P题型03翻折变换二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值.9．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,-4)．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若DFHG=25【答案】(1)y=(2)1或3(3)4,8【详解】（1）设抛物线的解析式为y=ax∵C(0,-4)，∴c=-4，y=ax把A(-4,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx+c解得：a=1∴抛物线的解析式为y=（2）∵直线表达式y=kx+6，∴直线经过定点0,6，∴将过点0,6的直线旋转观察和新图象的公共点情况∵把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的解析式为y=1∴新图象表达式为：-4<x<2时，y=-12x2-x+4；x≤-4如下图当直线y=kx+6与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，

联立y=-12x整理得：xΔ=041+k41+k1+k=±2，k=±2-1，k1k2=-2-1=-3时，如下图所示，经过点

不符合题意，故舍去，如下图，当直线y=kx+6经过点A时，和新图象有三个公共点，

把A(-4,0)代入y=kx+6，得：-4k+6=0，解得：k=3综上所述，当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，k的值为1或3（3）∵F在抛物线上，∴设F坐标为a,1∵OB=2，OC=4，FG⊥CH，∴tantan∠FHG=2HG:FG=1:2，1∴HG:FG:FH=1:2:5∴DF=a，DO=1DC=DO+OC=1DH=1FH=DH-DF=1HG=5∵DF∴a21a2aa-4a1a2=4，代入∴点F的坐标为4,8【点睛】本题考查了二次函数综合、翻折、交点个数问题，结合一元二次方程、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点，数形结合是解题的关键．10．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1:y=x2-2x-3的顶点为P．直线l过点M0,mm≥-3，且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到

(1)当m=1时，求点D的坐标；(2)连接BC、CD、DB，若(3)在（2）的条件下，若△BCD的面积为3,E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF=CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接【答案】(1)D(2)y=-x2(3)10-【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标P1,-4（2）由题意得，L1的顶点P1,-4与L2的顶点D关于直线y=m对称，D1,2m+4，则抛物线L2:y=-x-12+2m+4=-x2+2x+2m+3．进而得出可得C0,2m+3，①当∠BCD=90°时，如图1，过D作DN⊥y轴，垂足为N．求得Bm+3,m，代入解析式得出m=0，求得L2:y=-x2+2x+3．②当∠BDC=90°时，如图2（3）由（2）知，当∠BDC=90°时，m=-3，此时△BCD的面积为1，不合题意舍去．当∠BCD=90°时，m=0，此时△BCD的面积为3，符合题意．由题意可求得EF=FG=CD=2．取EF的中点Q，在Rt△CEF中可求得CQ=12EF=22．在Rt△FGQ中可求得【详解】（1）∵y=x∴抛物线L1的顶点坐标P∵m=1，点P和点D关于直线y=1对称．∴D1,6（2）由题意得，L1的顶点P1,-4与L2的顶点D∴D1,2m+4，抛物线L∴当x=0时，可得C0,2m+3①当∠BCD=90°时，如图1，过D作DN⊥y轴，垂足为N．∵D1,2m+4∴N0,2m+4∵C∴DN=NC=1．∴∠DCN=45°．∵∠BCD=90°，∴∠BCM=45°．∵直线l∥∴∠BMC=90°．∴∠CBM=∠BCM=45°,BM=CM．∵m≥-3，∴BM=CM=2m+3∴Bm+3,m又∵点B在y=∴m=m+3解得m=0或m=-3．∵当m=-3时，可得B0,-3,C0,-3，此时B将m=0代入L2得L2

②当∠BDC=90°时，如图2，过B作BT⊥ND，交ND的延长线于点同理可得BT=DT．∵D1,2m+4∴DT=BT=2m+4∵DN=1，∴NT=DN+DT=1+m+4∴Bm+5,m又∵点B在y=∴m=m+52-2m+5-3∵m≥-3，∴m=-3．此时B2,-3将m=-3代入L2:y=-x③当∠DBC=90°时，此情况不存在．综上，L2所对应的函数表达式为y=-x2（3）如图3，由（2）知，当∠BDC=90°时，此时B则BC=2，CD=BD=2，则△BCD的面积为1当∠BCD=90°时，m=0，则B3,0∴BC=32+32∴CD=2依题意，四边形EFGH是正方形，∴EF=FG=CD=2取EF的中点Q，在Rt△CEF中可求得CQ=在Rt△FGQ中可求得GQ=∴当Q,C,G三点共线时，CG取最小值，最小值为10-【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键．11．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx-3经过点B6,0和点D4,-3与x轴另一个交点A．抛物线与y(1)①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为C1，点C的对应点C'，点G的对应点G'，将曲线C1，沿y轴向下平移n个单位长度（0<n<6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q【答案】(1)①y=14x(2)（2，-4）或（0，-3）(3)（1+17，-5+172【分析】（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；（2）过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，设点Em,14m2-m-3，则点Gm,-12m-1（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为y=-14x-22+4，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为y=-14x-22+4-n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y=14x-22-4-n，分别求出直线BC和直线C'G'的解析式为，可得BC∥C′G′，再根据平行四边形的性质可得点Qs+2,12s-2，然后分三种情况讨论：当点P，Q均在向上翻折部分平移后的【详解】（1）解：①把点B6,0和点D36a+6b-3=016a+4b-3=-3，解得：a=∴抛物线解析式为y=1②令y=0，则14解得：x1∴点A（-2，0），设直线AD的解析式为y=kx+b∴把点D4,-3和点A（-2，04k+b1=-3∴直线AD的解析式为y=-1（2）解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，当x=6时，y=-1∴点H（6，-4），即BH=4，设点Em,14m∴EG=-∵△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，且∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x轴，∴△EFG∽△BFH，∴EGBH∴-14m2+∴点E的坐标为（2，-4）或（0，-3）；（3）解：y=1∴点G的坐标为（2，-4），当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），∴点C'∴向上翻折部分的图象解析式为y=-1∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y=-14x-2设直线BC的解析式为y=k把点B（6，0），C（0，-3）代入得：6k2+∴直线BC的解析式为y=1同理直线C'G'∴BC∥C′G′，设点P的坐标为s,1∵点C'∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形C'∴点Qs+2,当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，-14s-2当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，-14s-22+4-n=当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，14s-22-4-n=12综上所述，点P的坐标为综上所述，点P的坐标为（1+17，-5+172）或（1﹣13，【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．12．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点【答案】(1)y=-(2)b=2或b=3(3)存在，1,0或1+172【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；（2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；（3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．【详解】（1）解：由翻折可知：C0,2令x2-x-2=0，解得：x1∴A-1,0，B设图象W的解析式为y=ax+1x-2，代入C0,2∴对应函数关系式为y=-x+1x-2=-x（2）解：联立方程组y=-x+by=-整理，得：x2由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，由图象可知，当b=2或b=3时，直线y=-x+b与图象W有三个交点；（3）解：存在．如图1，当CN∥OB时，△OBC∽△NMC，此时，N与C关于直线x=1∴点N的横坐标为1，∴P1,0如图2，当CN∥OB时，△OBC∽△NMC，此时，N点纵坐标为由x2-x-2=2，解得x1∴N的横坐标为1+17所以P1+如图3，当∠NCM=90°时，△OBC∽△CMN，此时，直线CN的解析式为y=x+2，联立方程组：y=x+2y=x2-x-2，解得∴N的横坐标为1+5所以P1+因此，综上所述：P点坐标为1,0或1+172,0【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．13．（2024·广东惠州·模拟预测）综合运用如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=-x2+4x+5交x轴于A，B两点(点A在点B的左边(1)直接写出A，B，C三点的坐标．(2)作直线x=t0<t<5，分别交x轴、线段BC、抛物线C1于D，E，F三点，连接CF．若△BDE与△CEF相似，求(3)如图2，过点C作CG∥x轴，交抛物线C1于点G，将抛物线C1在点G右下方的图象沿直线CG向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y=x+n与新的图象只有2个公共点时，请求出【答案】(1)A(-1(2)t的值为4或3(3)n的值为1或29【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据二次函数的解析式，以及与x，（2）先表示F(t，-t2+4t+5)（3）进行分类讨论且作图，运用数形结合思想，则①发现当直线y=x+n经过点G或当直线y=x+n与抛物线C1只有一个公共点时，建立x【详解】（1）解：∵抛物线C1：y=-x2+4x+5交x轴于A，B两点(点A在点B的左边∴令x=0，∴CC结合图象，得出A(-1（2）解：如图：∵点F是直线x=t与抛物线C1∴F(t当△BE则∠BCF∴C∵C(0，∴-解得t=0(舍去)或t=4当△BE2D过点F2作F2∵B(5∴OB=OC=5又∠BOC=90°，∴∠OCB=45°∴∠TC∴△CF∴F∵F∴-解得t=0(舍去)或t=3综上所述，t的值为4或3（3）解：由点C的坐标为(0，∵C∴对称轴x=∵过点C作CG∥x轴，交抛物线C1于点∴点G的坐标为(4如图：画出直线y=x，通过平移直线y=x，得到直线y=x+n①发现当直线y=x+n经过点G时，直线y=x+n与新图象只有2个公共点．将点G(4，5)代入得5=4+n解得n=1；②当直线y=x+n与抛物线C1直线y=x+n与新图象只有2个公共点．令-化简得x∴Δ解得n=综上所述，n的值为1或29题型04对称变换变换方式变换后口诀关于x轴对称x不变，y变-y关于y轴对称y不变，x变-x关于原点对称x变-x，y变-y关于对称x变2x1-x，y变2y1-y14．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线L:y=ax2+bx+6与x轴相交于A(-3,0)和B(-2,0)两点，与y轴相交于点C(1)求抛物线L的函数表达式．(2)若抛物线L'与抛物线L关于原点O对称，F是抛物线L'位于第四象限的点，过点F作FE⊥y轴于点E，连接FO．若△AOC与△EOF相似，求点【答案】(1)y=(2)(1,-2)或(6,-12)或(4,-2)或3【分析】本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质在，相似三角形的性质：（1）运用待定系数法求解即可；（2）先求出抛物线L'的解析式，tan∠ACO=OAOC=36=12【详解】（1）解：将A(-3,0),B(-2,0)两点代入y=ax得9a-3b+6=0,解得a=1,∴抛物线L的函数表达式为y=x（2）解：对于y=x2+5x+6，当x=0∴C在Rt△AOC中，tan∠ACO=

又y=∴抛物线L的对称轴为直线x=-52，顶点坐标为∵抛物线L'与抛物线L关于原点O∴抛物线L'的对称轴为直线x=52∴抛物线L'的解析式为y=-设点F的坐标是m,-m当△AOC与△EOF相似，则∠EOF=∠ACO或∠CAO，即tan∠EOF=12则m--m解得m1=1,∴点F的坐标为(1,-2)或(6,-12)或(4,-2)或315．（2024·江西吉安·三模）已知抛物线L:y=x2-4mxm≠0，直线x=m将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线x=m的对称图形，得到的整个图形L'称为抛物线L关于直线x=m的“（1）感知特例如图所示、当m=1时，抛物线L:y=x2-4mx上的点B，C，A，D，E分别关于直线x=m对称的点为B'，C'，A…BCADE……

…①补全表格；②在图中描出表中对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到图象记为L'③若双抛图形L'与直线y=t恰好有三个交点，则t的值为④若双抛图形L'的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为探究问题（2）①若双抛图形L'与直线y=t恰好有三个交点，则t的值为；（用含m②若双拋图形L'的函数值随着x的增大而增大，直接写出x的取值范围；（用含m【答案】（1）①见解析；②见解析；③-3；④0<x<1或x>2；（2）①t=-3m2；②当m>0时，0≤x≤m或x≥2m；当m<0时，2m≤x≤m【分析】（1）①利用轴对称的特点即可求出对称点的坐标；②在平面直角坐标系中描出各点，用平滑的曲线依次连接各点即可；③根据双抛图形L'与直线y=t有且只有三个交点，可得直线y=t④利用配方法求出抛物线L的顶点与对称轴，利用对称性求出抛物线L关于直线x=m对称的抛物线的顶点与对称轴，利用二次函数的性质即可得出结论；（2）①根据双抛图形L'与直线y=t有且只有三个交点，可得直线y=t必经过这两条抛物线的交点，根据交点的横坐标为m②利用配方法求出抛物线L的顶点C的横坐标，和点C关于直线x=m的对称点为C'的横坐标，根据二次函数图象【详解】解：（1）①∵点B'和点B1,-3，点C'和点C2,-4，点A'和点A3,-3，点D'和点D4,0∴点B'的坐标为1,-3，点C'的坐标为0,-4，点A'的坐标为：-1,-3，点D'的坐标为-2,0，点…BCADE……BCADE…②在坐标系内描出各点，用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'③当m=1时，抛物线L的解析式为：L:y=x将x=1代入y=x解得y=即抛物线L及抛物线L关于直线x=1对称的抛物线的交点坐标为1,-3，∵直线y=t是纵坐标为t且与x轴平行的直线，双抛图形L'与直线y=t∴直线y=t必经过L'上的点1,-3∴t=-3；故答案为：t=-3．④当m=1时，抛物线L的解析式为：L:y=x∴抛物线L的顶点坐标为2,-4，对称轴为直线x=2，抛物线L关于直线x=1对称的抛物线的顶点坐标为0,-4，对称轴为直线x=0，∵1>0，∴抛物线L开口向上，当x>2时，函数值y随着x的增大而增大，∵双抛图形L'关于直线x=1∴抛物线L关于直线x=1对称的抛物线的开口向上，当0<x<1时，函数值y随着x的增大而增大；故答案为：0<x<1或x>2．（2）①∵双抛图形L'关于直线x=m将x=m代入y=x解得y=-3m即双抛图形L'过点m,-3∵直线y=t是纵坐标为t且与x轴平行的直线，双抛图形L'与直线y=t∴直线y=t必经过点m,-3m∴t=-3m故答案为：t=-3m②∵抛物线L:y=x∴抛物线L的对称轴为直线x=2m，∴抛物线L关于直线x=m对称的抛物线的对称轴为直线x=0，∴抛物线L开口向上，当x≥2m时，函数值y随着x的增大而增大，∴抛物线L关于直线x=m对称的抛物线开口向上，当0≤x≤m时，函数值y随着x的增大而增大，∴当m>0时，若双拋图形L'的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为0≤x≤m或x≥2m当m<0时，若双拋图形L'的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为2m≤x≤m或x≥0综上：当m>0时，0≤x≤m或x≥2m；当m<0时，2m≤x≤m或x≥0．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，关于中心对称的点的特征，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．16．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y=-x2+bx+c经过点A-3,-1，与(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求CDOD的最大值及此时点C(3)作抛物线F关于直线y=-1上一点的对称图象F'，抛物线F与F'只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F'对称轴上一点，若以B，E，G，H【答案】(1)y=-x(2)最大值为98，C的坐标为-(3)点G的坐标为-2,0，2,4，4,6．【分析】（1）本题考查了待定系数法解抛物线分析式，根据题意将点A、（2）根据题意证明△CDM∽△ODB，再设AB的解析式为y=mx+n，求出AB的解析式，再设Ct,-t2（3）根据题意求出E1,-1，再分情况讨论当BE为对角线时，当BE【详解】（1）解：A-3,-1，B0,2代入得：-9-3b+c=-1c=2，解得：b=-2∴抛物线的函数表达式为y=-x（2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交AB于点M．∴CM∥y轴，∴△CDM∽∴CDOD设AB的解析式为y=mx+n，把A-3,-1，B0,2代入解析式得解得：m=1n=2∴y=x+2．设Ct,-t2∴CM=-t∵-3<t<0，-1<0，∴当t=-32时，CM最大，最大值为∴CDOD的最大值为98，此时点C的坐标为（3）解：由中心对称可知，抛物线F与F'的公共点E为直线y=-1与抛物线F∴-x∴x1=-3（舍），∴E1,-1∵抛物线F：y=-x2-2x+2∴抛物线F'的顶点坐标为3,-5∴抛物线F'的对称轴为直线x=3如图2，当BE为对角线时，由题知xE∴xG∴G-2,0如图3，当BE为边时，由题知xH∴xG∴G2,4如图4，由题知xG∴xG∴G4,6综上：点G的坐标为-2,0，2,4，4,6．17．（2024·陕西西安·二模）如图，抛物线L：y=ax2+bx+3经过A-1,0，B5,3(1)求该抛物线L的表达式；(2)抛物线L'与抛物线L关于直线BC对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y轴的平行线交抛物线L'于点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M、N．试探究是否存在一点P，使得四边形PQNM为长宽之比是1:2的矩形？若存在，求出点【答案】(1)y=-(2)存在；9-412【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）求出直线BC为y=3，再求出抛物线L'与抛物线L关于直线BC对称的解析式y=12x2-52x+3，设P【详解】（1）解：∵抛物线L：y=ax2+bx+3经过点A-1,0∴a-b+3=025a+5b+3=3解得a=-1∴抛物线L的表达式为y=-1（2）解：存在一点P，使得四边形PQNM为长宽之比是1:2的矩形，理由如下：∵B0,3，C∴直线BC为y=3，∵点A∴点A关于直线BC的对称点为-1,6，∵抛物线L'与抛物线L关于直线BC∴点-1,6、C5,3在抛物线L'的设抛物线L'的解析式为y=把点-1,6代入得，12解得b=-5∴抛物线L'与抛物线L关于直线BC对称的解析式y=设Pm,-12∵点P、Q关于抛物线L的对称轴对称点分别为M、N．∴M5-m,-12∵四边形PQNM为长宽之比是1:2的矩形，∴5-m-m=2-12整理得2m2-12m+5=0解得m1=6+262，m∵P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，∴-1<m<5∴m=9-412即点P的横坐标为9-412或【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特性、轴对称的性质、正方形的性质，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．类型二与二次函数有关的创新类问题题型01与二次函数有关的新定义问题【命题预测】新定义问题是数学考试中必考的题型,无论在哪个阶段,都会出现此类问题,但究其本质都是“新瓶装旧酒”“新瓶”就是新的定义,“旧酒”就是学过的知识,然后设计出具有针对性的考题来考查学生的知识迁移应用能力.18．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点Px1,y1，当点Qx2,y2满足2x①点Q13,8，Q2-2,-2都是点P1②若直线y=x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为2,4③抛物线y=x2-2x-3上存在两个点是点④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证Q1,Q2即可；②点Aa,a+2，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点Dt,t2-2t-3是点P1的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点Bm,n，根据“倍增点”【详解】解：①∵P11,0，∴2x∴2x1+x2=y1+∵P11,0，∴2x∴2x1+x2=y1+故①正确，符合题意；②设点Aa,a+2∵点A是点P1的“倍增点”∴2×1+a解得：a=0，∴A0,2故②不正确，不符合题意；③设抛物线上点Dt,t2-2t-3是点P1∴21+t=t∵Δ=∴方程有两个不相等实根，即抛物线y=x2-2x-3上存在两个点是点故③正确，符合题意；④设点Bm,n∵点B是点P1的“倍增点”∴2m+1∵Bm,n，P∴P==5=5m+∵5>0，∴P1B2∴P1B的最小值是故④正确，符合题意；综上：正确的有①③④，共3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．19．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如y=ax2+bx+ca≠0,b2-4ac>0的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥我A．当x=1时，函数的最大值是4B．函数值y随x的增大而增大，则x≥C．关于x的方程x2+bx+cD．当直线y=x+m与该图象恰有三个公共点时，则m=1【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1+32=1，根据函数的性质可知当x<-1或1<x<3时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1或x≥3时，y随x的增大而增大，进而可排除A、B选项，对于C选项可看作直线y=3与【详解】解：由图象可知该函数没有最大值；故A选项错误；由图象可知当y=x2+bx+c时，其对称轴为直线x=-1+32=1，则有当x<-1或1<x<3时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1或x≥3时，如图，由图可知：x1与x4，x2与x3分别关于对称轴对称，根据对称性可知：x1+x4=2，x如图，明显当直线y=x+m与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故D选项错误；故选C．20．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点0,1是函数y=x+1图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；①y=-x+3；②y=2x；③（2）若一次函数y=mx-3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为．【答案】③-12【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．（1）①y=-x+3中，取x=y=1.5，不存在“近轴点”；②y=2x，由对称性，取x=y=±2，不存在“③y=-x2+2x-1=-x-12，取x=1时，y=0，得到1,0是y=-（2）y=mx-3m=mx-3图象恒过点3,0，当直线过1,-1时，m=12，得到0<m≤12；当直线过1,1【详解】（1）①y=-x+3中，x=1.5时，y=1.5，不存在“近轴点”；②y=2由对称性，当x=y时，x=y=±2不存在“近轴点”；③y=-xx=1时，y=0，∴1,0是y=-x2+2x-1的“∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③故答案为：③；（2）y=mx-3m=mx-3x=3时，y=0，∴图象恒过点3,0，当直线过1,-1时，-1=m1-3∴m=1∴0<m≤1当直线过1,1时，1=m1-3∴m=-1∴-1∴m的取值范围为-12≤m<0故答案为：-12≤m<021．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】如图，记二次函数y=ax-b2+c和y=-ax-p2+qa≠0定义：若抛物线C1的顶点Qp,q在抛物线C上，则称C1性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点Pb,c【理解与运用】（1）若二次函数y=-12x-22+m和y=-12x-n2+1【思考与探究】（2）设函数y=x2-2kx+4k+5的图象①若函数y=-x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点x1,0，x2,0

【答案】（1）2；±1；（2）①d=4,e=5；②2<x1【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键．（1）根据题意确定点2,m,n,1（2）①根据题意确定顶点坐标为：(k,-k2+4k+5)②根据题意得出顶点坐标(k,-k2+4k+5)【详解】解：（1）二次函数y=-12x-22+m和y=-∴点2,m,n,1代入得：m=12×解得：m=2，n=±1，故答案为：2；±1；（2）①y=x∴顶点坐标为：(k,-k∵函数y=-x2+dx+e的图象为抛物线C0，且∴-k整理得：4k+5=dk+e，∴d=4,e=5；②∵C2与x轴有两个不同的交点x1,0由①得：函数y=-x2+4x+5的图象为抛物线C0，且∴顶点坐标(k,-k2+4k+5)顶点为(2,9当-x解得：x=-1或x=5，抛物线与x轴交(-1,0当顶点在(-1,0)下方时，抛物线有两个交点，∵若C2是C0的伴随抛物线，则C0也是C2的伴随抛物线，即C的顶点∴(2,9)在当顶点在(5,0)下方时，综上可得：2<x1<522．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y=3x+1，其“倍值点”为-1，-2．下列说法不正确的序号为①函数y=2x+4是“倍值函数”；②函数y=8x的图象上的“倍值点”是2，③若关于x的函数y=m-1x2+mx+14m的图象上有两个“④若关于x的函数y=x2+m-k+2x+n4-k2的图象上存在唯一的“倍值点”，且当【答案】①③④【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值问题．根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可．【详解】解：①函数y=2x+4中，令y=2x，则2x=2x+4，无解，故函数y=2x+4不是“倍值函数”，故①说法错误；②函数y=8x中，令y=2x，则解得x=2或x=-2，经检验x=2或x=-2都是原方程的解，故函数y=8x的图象上的“倍值点”是2，4和③在y=m-1令y=2x，则2x=m-1整理得m-1x∵关于x的函数y=m-1x2+mx+14m∴△=m-22-4解得m<43且m≠1，故③④在y=x令y=2x，则2x=x整理得x2∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”，∴△=m-k整理得n=m-k∴对称轴为m=k，此时n的最小值为2k，根据题意分类讨论，-1≤k≤3nmin=2k=kk>3nk<-1nmin=-1-k2综上，k的值为0或-3-52，故④故答案为：①③④．23．（2023·江苏南通·中考真题）定义：平面直角坐标系xOy中，点Pa,b，点Qc,d，若c=ka，d=-kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点-4,6是点2,3的“-2级变换点(1)函数y=-4x的图象上是否存在点1,2的“k级变换点”?若存在，求出(2)点At,12t-2与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点(3)关于x的二次函数y=nx2-4nx-5nx≥0的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线【答案】(1)存在，k=±(2)见解析(3)n的取值范围为0<n≤1且n≠【分析】（1）根据“k级变换点”定义求解即可；（2）求出点B的坐标为kt,-12kt+2k，得到直线l1，l2的解析式分别为y=（3）由题意得，二次函数y=nx2-4nx-5nx≥0的图象上的点的“1级变换点”都在函数y=-nx2+4nx+5nx≥0的图象上，得到函数y=-nx2+4nx+5n【详解】（1）解：函数y=-4x的图象上存在点1,2的“k根据“k级变换点”定义，点1,2的“k级变换点”为k,-2k，把点k,-2k代入y=-4得k⋅-2k=-4，解得（2）证明：∵点B为点At,12t-2的“∴点B的坐标为kt,-1∴直线l1，l2的解析式分别为y=1当x=m2时，∵k≤-2，∴-2k-2≥2．∵m2∴m2∴y1（3）解：由题意得，二次函数y=nx2-4nx-5n“1级变换点”都在函数y=-nx2+4nx+5n由-nx2+4nx+5n=-x+5∵△=-∴函数y=-nx2+4nx+5n的图象由y=-nx2+4nx+5n=-n①当n>0时，由6n-12≠0得又5n≤5得n≤1，∴0<n≤1且n≠1②当n<0，x≥0时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．综上，n的取值范围为0<n≤1且n≠1【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键．24．（2022·湖南湘西·中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝13x2+23x﹣1，G（0，﹣(2)3(3)存在，（7﹣2，0）或（﹣7﹣2，0）【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式．（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，13t2+23t-1），N（t（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分来两种情况讨论：①当EG＝EF时，22=(x+2)2+1，可得F（7﹣2，0）或（﹣7﹣2，0）；②当EG＝FG时，22【详解】（1）解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴9a-6a+c=0c=-1解得a=1∴y＝13x2+23x﹣在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴G（0，﹣3）．（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，13t2+23t-1∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM=1∴MNDM＝-(（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），∴EG＝22，∴22＝(x+2)2解得x＝7﹣2或x＝﹣7﹣2，∴F（7﹣2，0）或（﹣7﹣2，0）；②当EG＝FG时，22＝9+x此时x无解；综上所述：F点坐标为（7﹣2，0）或（﹣7﹣2，0）．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．25．（2022·贵州遵义·中考真题）新定义：我们把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y=bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y=3(1)写出C2的解析式（用含a(2)若a>0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，①当MN=6a时，求点P的坐标；②当a-4≤x≤a-2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a【答案】(1)y=ax2(2)①P-1,0或2,0；②a=2-2或【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；（2）①设Pp,0，则Mp,4ap②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线C1:y=4ax2+ax+4a-3a≠0的根据题意可得，C2的解析式∵y=a顶点为-2（2）解：①设Pp,0，则Mp,4a∴MN==∵MN=6a∴∵a≠0∴p当p2解得p1=-1当p2∴P-1,0或②∵C2的解析式∵y=a顶点为-2，-3∵a>0，∴a-2>-2当-2-a-4⩾a-2-函数的最大值为aa-4+22∵C2的最大值与最小值的差为∴a∵a≠0∴a-2=±解得a1=2-2∴a=2-当-2-a-4<a-2--2时，且函数的最大值为aa-2+22∵C2的最大值与最小值的差为∴∵a≠0∴a=±解得a1=2∴a=当a-4⩾-2时，即a⩾2时，抛物线开向上，对称轴右侧y随x的增大而增大，函数的最大值为aa-2+22-3∵C2的最大值与最小值的差为∴a即a∵a≠0即a解得a=32（综上所述，a=2-2或a=【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．26．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数y=12x+12的图象（1）分别判断函数y=x+2,y=x2-x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“（2）设函数y=3x(x>0),y=-x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3（3）若函数y=x2-2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2．当W1,W2两部分组成的图象【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”；函数y=x2-x的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）b=43或-23；（3【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；（2）根据定义分别求A(3，3)，B(b2，b2（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，∴函数y=x+2没有“等值点”；∵函数y=x2-x，令y=x，则x解得：x1∴函数y=x2-x的“等值点”为(0，0)，(2（2）∵函数y=3x，令y=x，则解得：x=3(负值已舍)∴函数y=3x的“等值点”为A(3，3∵函数y=-x+b，令y=x，则x=-x+b，解得：x=b∴函数y=-x+b的“等值点”为B(b2，b2△ABC的面积为12即b2解得：b=43或-2（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于x=m对称，∴函数W的解析式为y=x令y=x，则x2-2=x，即解得：x1∴函数y=x2-2的“等值点”为(-1，-1)，(2令y=x，则(2m-x)2-2=x，即当m≥2时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；当-1<m<2时，观察图象，恰有2个“等值点”；当m<-1时，∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，∴函数W2没有“等值点”，∴△=-整理得：8m+9<0，解得：m<-9综上，m的取值范围为m<-98或【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．27．（2020·四川遂宁·中考真题）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）1；（3）见解析【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．【详解】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，∴{m-1=-n解得：{m∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，∴点C的坐标为（0，﹣6）．当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝