上海市静安区2023届高三上学期一模数学试题4

试卷第=page44页，共=sectionpages44页试卷第=page33页，共=sectionpages44页上海市静安区2023届高三上学期一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数的定义域是____________．2．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是____________．3．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________．4．16-17岁未成年人的体重的主要百分位数表（单位：kg）．P1P5P10P25P50P75P90P95P99男40.145.147.951.556.763.772.480.495.5女38.341.243.146.550.555.361.165.475.6表中数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：GB/T26158-2010）小王同学今年17岁，她的体重50kg，她所在城市女性同龄人约有4.2万人．估计小王同学所在的城市有________万女性同龄人的体重一定高于她的体重．（单位：万人，结果保留一位小数）5．已知函数，则函数的导数____________．6．现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________．7．有一种空心钢球，质量为140.2g，测得球的外直径等于5.0cm，若球壁厚度均匀，则它的内直径为__________cm．（钢的密度是7.9g/cm3，结果保留一位小数）．8．、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________．（填写所有成立的等式序号）①②③④9．2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）10．已知全集为实数集R，集合，N=，则=____________．11．已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________.二、双空题12．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第_______卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是____________．三、单选题13．已知数列是等差数列，，，则（

）A．120 B．96 C．72 D．4814．若实数x,y满足，则（

）成立．A． B．C． D．.15．在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（

）A．若，则二项展开式中系数最大的项是．B．已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．C．若，则二项展开式中的常数项是．D．若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．16．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（

）平方尺.A． B． C． D．四、解答题17．已知数列满足：，，，对一切正整数成立．(1)证明：数列{}是等比数列；(2)求数列的前项之和．18．平面向量，函数.(1)求函数y=的最小正周期；(2)若，求y=的值域；(3)在△中，内角的对边分别为，已知，，求△的面积.19．如图所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将向上折起，使D点折到P点，且．(1)求证：面ABCE；(2)求AC与面PAB所成角的正弦值．20．已知椭圆：（）的离心率为，它的上顶点为，左、右焦点分别为，（常数），直线，分别交椭圆于点，．为坐标原点．(1)求证：直线平分线段；(2)如图，设椭圆外一点在直线上，点的横坐标为常数（），过的动直线与椭圆交于两个不同点、，在线段上取点，满足，试证明点在直线上．21．已知函数f(x)＝－2alnx－，g(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，其中a∈R.(1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；(2)当a>0时，求函数g(x)的单调区间；(3)若存在x[，e2]（e为自然对数的底），使得不等式f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围．答案第=page1212页，共=sectionpages1212页答案第=page1111页，共=sectionpages1212页参考答案：1．【分析】由可得答案.【详解】，则，.故答案为：2．【分析】先由复数的除法运算计算出，再由复数的几何意义得出相应点的坐标，列方程组求解即可.【详解】，∴复数在复平面内对应的点为，由已知，在第二象限，∴，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.3．##【分析】由两直线平行，可求得的值，再利用平行线间距离公式求解.【详解】由直线与直线平行，可知，即，故直线为，直线变形得，故，故答案为：.4．【分析】根据题意，由图表可知，该城市女性同龄人高于小王的百分位数，由百分位数的定义计算可得答案.【详解】根据题意，小王同学今年17岁，她的体重50kg，由图表可知，小王体重的百分位数是，所以体重一定高于她的体重的人数有(万)故答案为：5．【分析】根据求导公式和四则运算法则计算即可.【详解】.故答案为：.6．0.3##【分析】根据古典概型，先求出样本空间，再求出条件空间即可.【详解】从5根木棍中任取3个共有种，符合条件有3种，能搭成一个三角形的概率；故答案为：.7．4.5【分析】设空心钢球的内直径为，表示空心钢球的体积，由条件列方程求即可.【详解】设空心钢球的内直径为，则空心钢球的体积为，因为空心钢球的质量为140.2g，钢的密度是7.9g/cm3，所以，所以，解得，所以，故答案为：.8．②③【分析】根据事件的独立性定义判断即可.【详解】①，故①不一定成立；②③由事件的独立性定义可得与，与相互独立，所以，，故②③正确；④，故④不一定成立.故答案为：②③.9．240【分析】先将5名志愿者分成四组，然后再分配到四个地方即可.【详解】将5名志愿者分成四组，且每组至少1名志愿者有种情况，所以不同的分配方法有.故答案为：240.10．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性解不等式得到，，，然后求交集即可.【详解】不等式可整理为，所以，解得，所以，或，不等式可整理为，所以，即，解得或，所以或，.故答案为：.11．【分析】对分类讨论：，和，分别求出对应情况下的实根情况列不等式，即可求解.【详解】函数的导函数为.当时，令，解得：，所以函数有两个零点，不符合题意.当时，要使函数只有一个零点，只需的极大值小于0或的极小值大于0.令，解得：或.列表：0+0-0+单增极大值单减极小值单增所以极大值不符合题意.所以极小值，解得：；当时，要使函数只有一个零点，只需极大值小于0或的极小值大于0..令，解得：或.列表：0-0+0-单减极小值单增极大值单减所以极大值不符合题意.所以极小值，解得：.综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.12．

五

【分析】根据坐标平面对称先求出的坐标，根据卦限在空间中的位置可以得出结果；利用空间坐标直接求出夹角的余弦值即可得出答案.【详解】点关于坐标平面的对称点为，根据卦限在空间中的位置，所以点在第五卦限.由已知可得，，所以故答案为：五；13．A【分析】根据等差数列的下标性质计算可得结果.【详解】因为是等差数列，，所以，即，所以.故选：A14．B【分析】运用基本不等式，对条件代数式变形，逐项求解.【详解】由和基本不等式（当时等号成立），，当时，有，当时，，A错误；由（当同号时等号成立）得：，，B正确；，（当时等号成立），，C，D错误；故选：B.15．D【分析】A选项：根据系数最大列不等式，解不等式即可；B选项：根据题意列不等式，然后分和两种情况解不等式即可；C选项：令，解方程即可；D选项：令，解不等式即可.【详解】A选项：令，解得，所以，所以A正确；B选项：，整理可得，当时，不等式恒成立；当时，解得，所以，故B正确；C选项：令，解得，所以常数项为，故C正确；D选项：令，解得，所以可取，共11项，故D错.故选：D.16．C【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球表面积即可.【详解】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为，外接球的表面积.故选：C.17．(1)证明见解析(2)【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式求解出数列的通项公式，再利用分组求和即可得到结果.【详解】（1）证明：∵，∴，∵，对一切正整数成立，∴，即．∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．（2）由(1)知，，∴,当n=1时，满足上式，综上所述，.设数列的前项之和为，则=．18．(1)(2)(3)【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后求最小正周期即可；（2）利用换元法和三角函数单调性求值域即可；（3）利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求面积即可.【详解】（1），所以，最小正周期为.（2）设，，，在上严格增，在上严格减，，，，所以=的值域为．（3），即，因为为三角形内角，所以．，即，解得.所以△的面积为.19．(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）取的中点，连，，证明，，得到面，从而证明，然后可得面；（2）作交于，则，然后以点为原点建立空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.【详解】（1）由题意，可得，，则，取BC的中点F，连OF，，可得，所以，因为，，且，所以平面，又因为平面，所以．又由BC与AE为相交直线，所以平面．（2）作交于，则如图建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，所以可取，所以与面所成角的正弦值.20．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由离心率，将，均用表示，求出直线的方程，与椭圆方程联立求得点坐标，即可得到直线的方程，根据椭圆的对称性，求出点的坐标，再证出中点在直线上即可；（2）设，和，用线段定比分点坐标公式将，坐标表示出来，并代入，结合的横坐标为和，在椭圆上，进行运算证明即可.【详解】（1）由题意，，则，，∴，∴椭圆方程为，即，∴直线的斜率，直线的方程为，联立消去，化简得，解得，，即点的横坐标为，代入直线的方程，得，∴直线的斜率，直线的方程为，∵，∴由椭圆的对称性知，又∵，∴线段AC的中点坐标为，∵，∴线段AC的中点在直线：上，即直线平分线段.（2）设过点的直线与椭圆交于两个不同点的坐标为，，∵，在椭圆上，∴，∵，∴设，易知，且，则由已知，有，，∴由线段定比分点坐标公式，有，，∵点的横坐标为常数（），∴，又∵点在直线：上，∴，∴，将代入，得，即点在直线上.【点睛】本题的两问证明，实质上都是证明点在直线上，第（1）问证明中点在直线上，即可证明直线平分线段，第（2）问设，由线段定比分点坐标公式求得的坐标，即可结合，，的坐标，证明点在直线上.21．(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）根据是函数的驻点得到，然后列方程求即可；（2）求导，分、和三种情况讨论单调性即可；（3）将存在，使得不等式成立转化为，然后利用单调性求最值即可.【详解】（1）若是函数的驻