2面波勘探的基本原理

其次节瑞雷面波法自1887年英国学者瑞雷从理论上证明白瑞雷面波的存在以来，功能。尽管其应用已经如此广泛，但瑞雷面波勘探的理论问题、仪器勘探在技术及理论方面还有大量的工作要做。§2－1均匀半空间瑞雷面波的形成一种的、能量很强且主要集中在地表四周的波动。由于这种波是1887年由瑞雷从数学上证明其存在的，故称为瑞雷面波。关于瑞雷波的推导如下：和，密度为xyz轴垂直向下。设瑞雷波速为VRzox平面内沿xy轴方向的振幅和相位完全一样，及只争论平面二维状况。令其势函数为：f(z)ei(kxt)R f(z)ei(kxt)R 和分别满足以下波动方程：1 22V2P

22

1 V2 t2S将、代入上式，可得：d2fdz2

(k2R

k2)f0Pd2gdz2

(k2R

k2)g0SkP

，kV P

，kV S

。VRk2k2k2R P

fAezCezgBezDezk2kk2k2R S由边界条件：,于是有：

z

0C0D0。RAezei(kxt)R 在自由界面，其边界条件是正应力和切应力为零。即：2 (Dx

Dz)2 Z0zzz

x z Z (Dx

z)0xzz0

z x其中，D 、D是位移重量：x zD x D z z

zx弹性常数、与介质密度及纵、横波的关系分别为：(V2PV2S

S将这些代入边界条件方程,通过简化可得： 2V222V2( ) 0P S

z02 2

0 xz

x2

z0将和代入上两式化简可得：P R S R Rik

R R依据、的定义，最终得到：(2k2R

k2)A2ikS

k2k2B0R S2ik2R

A(2k2kk2k2R P

k2)B0S假设要A、B不为零，则上式的系数行列式应为零，即：(2k2R

k2)2S

4k2 0kk2k2RPk2k2R S上式即为瑞雷方程。令：3k2;

k2 V2

x Rk2S

m P Sk2 V2S Pxxm x10

(2x1)24x16(1m)x38(2m3)x28x10令x1，上式左边＝－1＜0，令x，则上式左边。因此，该方程在(1,之间至少有一个x得实根。也就是：Rx＞1kS或： k2＞k2R S亦即：V ＜V 。由此可见，面波速度V 既小于纵波速度V ,也小R S R P于横波速度V 。S0.25，此时，V23V2，m

1，代入上方程有：

P S 332x356x224x30或：(4x1)(8x212x3)0x1

1/4；x 2

；x 3 33 33 3这3个根中，只有x才满足x＞1的要求，其它两个根应舍去。33 3由x3 3443 3k2 3 3R 4 S或： k 1.087kR SV 0.9194VR S就是面波。瑞雷面波的传播特征1、瑞雷面波的质点振动将式〔〕代入式〔〕并利用式〔〕消去B可得：2 D ikx R

2k2R

S

ez)ei(kRxt) D k

A(

ez

2k2

S

ez

)ei(k

xt)取其实部：

z R kR

2kR

R D Ak

(ez

2

ez)sin(tkx)x R R

k2 RSDAk

(

ez

S

ez)cos(tkx)z R kR

2k RR上式为瑞雷面波的位移表达式。当z时，D 0，D 0，x z即在x和z当介质为泊松体(0.25时，将式〔〕代入〔〕得：D Akx R

(e0.8475kz0.5773e0.3933kz)sin(tkx)R R D Akz R

(0.8475e0.8475kz1.4679e0.3933kz)cos(tkx)R R z0时，即在自由外表上：5D 0.42Dsin(tkx)xz0 RDzz0

0.62Dcos(tkx)RDAk。将上两式平方后相加并整理得：RD D( x )2(

)22(tk

x)cos2(tk

x)10.42D 0.62D R R约为23，且质点的垂直位移比水平位移相位超前。20.25可以计算出水平位移D和xDz

的振幅随深度的变化，如图〔6－1〕所示。从图中可以R看出，当Rz

＜0.193D和Dx z

的振幅的符号一样，两者合成之后R形成的质点运动轨迹为一逆时针方向转动的椭圆；当 ＞0.193时，Rz振幅随单位波长深度的变化规律如图〔6－2〕所示。2、瑞雷面波穿透深度与波长的关系6图〔6－3〕为依据式〔〕计算出的面波质点水平位移和垂直位移的振幅随深度变化的曲线。从图中可以看到，当泊松比从0.1增大到0.5时，水平和垂直位量就越多；对于不同的介质，随着深度的增大，面波的水平和垂直位Rz

＜1的深度范围内。由此认为，面波的穿透深度约为一个波长。从图〔6－3〕还可以看到，当深度z为波长R

的一半时，面波的能量较强，当z与R

相当时，其能量快速衰减。因此，某一波长的面波速度主要与深度小于R

波长。3、瑞雷面波与横波速度和泊松比的关系式〔〕可以写为：7k2 k2 k2(2或：

R)2k2S

4 1 Pk2R

1 S 0k2RV2 V2 V2(2 R)2V2S

4 1 RV2P

1 R 0V2S横波和纵波的速度比为：V2 S V2 2(1)P代入上式整理得：1V

2 V 1( R)68VS

(VR)4S

1

(VR)2S

10据此式可解出在均匀各向同性介质中传播的面波速度V 横波速R度V 与泊松比之间的关系为：SV VR 1 S当泊松比变化时，横波速度与面波速度之间的关系见下表，纵波速度、横波速度随泊松比的变化如图〔6－4〕所示。8从图〔6－4〕中可以看出，随接近0.5，V 与V 趋于同一值。R S一般来说，固结岩石的为0.25，土层的为0.45～0.49之间。因此对于土体而言可认为V 与V 大致相等从这一点动身在进展土体R S勘探时，可依据面波速度得到横波速度，两者的误差约为5％左右。4、瑞雷面波的衰减距离r按1r

1衰减要小得多。r2另外，争论证明，在弹性半空间外表上，通过圆形垫向下加一个2/3的能量会转化为瑞雷波，1/3的能量由体波携带，这是利用面波进展勘探的有利条件。层状介质中的瑞雷面波9zox平面内传播。在这样的条件下，在自由外表上，仍有两个边界条件：垂直应力和水位移连续，垂直应力和水平应力重量也连续，因此有四个边界条件。多于n4n24n2个齐次联立方程。为简洁计，现以一个简洁的两层半空间问题为例。同样，取势函数为：Aezei(kRxt) 可以无视，坐标取法如图〔6－5〕所示。在这样的条件下，由于掩盖

2Dzt2

，切向应力照旧等于零〔由于掩盖层是非弹性物质。这时的边界条件为： 2Dz

2Dzzz z t2zD Dx (xxz

zx

z)010DxDz

x z(2)(2

2)2(2

)2

(

) )2

x222

z2

0

z

z0z2 xz x2 z0将、代入上式并化简得：k2k2k2k2R Pk2k2R P(2k2R

k2)2S

Ai2kR

2k2R

B02ikR

A(2k2kk2k2R P

P

k2)B0S令这一方程组的系数行列式等于零，得：k2k2k2R Pk2k2R S(2k2

k2)(2k2

k2)2

k2k2(2k

2)0R S R S R R P RR R 有频散。所谓速度频散，是指谐波传播的速度随频率的变化而变化。在瑞雷波的位移表达式中，有因子ei(kxt)eikxVt)R R 谐波，而V是谐波同相面的传播速度，称之为相速度，用V表示之。R实际上，地震波是由很多不同频率、不同振幅的谐波叠加而成，各谐群速度，用U表示之。实际上，地震波的群速度就是地震波能量的传播速度。在物理学中，相速度和群速度的关系为：UVdVd相速度和群速度的关系如图〔6－6〕所示。11由 VR可知不同的面波波长对应于不同的频率因此通过R f速度。面波的基阶模态和高阶模态波为例来说明模态的概念。SH型的面波，其质点振动方向与地表平行且垂SH型的应力。设在均匀弹性H。令x、y轴在自由外表上，z轴垂直向下为正。乐甫面波为沿x轴方向传播的平面波，质点的振动沿12yy轴方向的振幅和相位完全一样。乐甫面波的传播应满中的位移为：1 1 D(AezBez)ei(kxt) 0＜z＜1 1 12 D Cezei(kxt) z＞2 2其中， 1

； kk2k2L S1

A、B、C为待定系数。kk2k2L S2D1zD1z1z0D1ZH

D2zHD1zDD1zD2z1 2zH zH将D、D代入此边界条件，化简后消去B得：1 21 1 A(eHeH)CeH1 1 A

(eHeH)C

eH1 1 21 1 2 2A、C不全为零，故其系数行列式必为零。解之得：eHeH th(

H)

1 2 21 eHeH 1 11 1由于对全部的实数，th(x)双曲正切的变量为虚数，将写成：1k2k2k2k2L S11

ikk2S1k2L

〔由于th(ix)ith(x〕

th(

H) 2 21 1 113或：V2L 1V2V2L 1V2S11V2LV2S2V2LV2S11L上式就是乐甫波得频散方程。它确定、k 、V 三者中任何两个L L之间的隐含关系，即说明乐甫面波的速度与频率有关，也就是说，乐段距离之后会散成波列。上述频散方程的解为：V2 V2V2L V2L 1V2S1L

1 (arcth(

1 LV2S1V2 1V2S2

)n) (n,, ) L 1V2S1图〔6－7〕是该解的图解。在图〔〕中，式〔〕的左端用实线表〔〕〔6－7〕中可见，V 的实根限定在V 与V 之间。即：L S1 S2V ＜V ＜VS1 L S2在式〔〕中，每一个k 对应一种乐甫面波，当n0时，称为基阶L模态乐甫面波，对应的波数记为k ，当n＞0时，称为高阶模态乐甫L0面波，对应的波数记为k 。Ln对某一给定的，面波的模态为有限个。图〔6－8〕为基阶模态和紧邻的三个高阶模态的相速度随频率变化示意图。对于瑞雷面波，也同样存在多阶模态的问题。14图〔6－9〕为实测面波地震记录的波数－频率(fk图，并标出某一频率〔17.94赫兹〕所对应的高阶面波和基阶面波的相速度。图〔6－10〕是地面激发，在10～480米范围内接收的具有不同基模波。态的面波以不同的相速度传播，在远距离处有较大的到达时间差。15波的提取难度，并使问题简洁化。他们在处理面波资料时，通常是将的反演中还要提到，高模式面波在反演方面很有用。归纳起来，高模式面波具有以下优点：比基阶模式面波更易得到。有时候，在高频范围内，高模式波比基模式波携带有更多的能量。也就是说，在高频范围内，有时可能无法得到基阶模式波的信息，此时高模式波是唯一的选择；高模式波的穿透深度比基模波更大。在同样的频率条件下，高模波比基模波的穿透深度要大得多；高模波对地层参数变化的敏感性较之基模波要大得多。在不重要的作用；高模波的反演过程很稳定，并可使反演横波速度的精度得到提高；反演过程中，利用高模波联合反演可以使反演更加稳定。面波频散曲线的图示方法1、频率－波数(fk法面波频散数据在fk坐标下的曲线如图〔6－11〕所示，图中纵16坐