山东省淄博市源泉镇中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

山东省淄博市源泉镇中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在一个周期内的图象是

A

B

C

D参考答案：B2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（

）

A．－2

B．2

C．－4

D．4参考答案：D略3.已知点（x,y）满足曲线方程（θ为参数），则的最小值是（

）A.

B.C. D.1参考答案：D消去参数可得曲线的方程为：，其轨迹为圆，目标函数表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，如图所示，数形结合可得：的最小值是1.本题选择D选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．4.若，,则p是q成立的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C．充分必要条件 D.既不充分又不必要条件参考答案：A略5.已知函数，若关于的方程，(且)的实数解的个数有4个，则实数的范围为(

)A.或 B.或C.或或 D.或或参考答案：C6.“a=﹣1”是方程“a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分有不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由题意可得：把方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0化简整理可得：a2（x+）2+（a+2）y2=1﹣a，结合题意可得a2=a+2，并且1﹣a＞0，再根据充要条件的定义即可判断．【解答】解：由题意可得：把方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0化简整理可得：a2（x+）2+（a+2）y2=1﹣a，因为此曲线表示圆，所以a2=a+2，并且1﹣a＞0，所以解得：a=﹣1．故“a=﹣1”是方程“a2x2+（a+2）y2+ax+a=0表示圆”的充要条件，故选：A．【点评】本题主要考查二元二次方程与圆的对应关系，解决此类问题的关键是熟练掌握圆的方程，以及学生要有较强的运算能力．7.已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴a=2b，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1∴双曲线的方程为﹣x2=1．故选C．【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.若复数，则实数的值为(

)A.1

B.－1

C.±2

D.－2

参考答案：B略9.定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b﹣a．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤3时，有(

) A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4参考答案：A考点：进行简单的合情推理．专题：新定义．分析：先化简f（x）=[x]?{x}=[x]?（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．解答： 解：f（x）=[x]?{x}=[x]?（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）?[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈?；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈?；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1．故选：A．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题10.若tanθ=2，则cos2θ=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果．【解答】解：∵tanθ=2，∴cos2θ=cos2θ﹣sin2θ===﹣，故选D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的两条渐近线为x±2y=0，则它的离心率为

．参考答案：或【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的渐近线为y=±x，则当焦点在x轴上时，即=，e====，当焦点在y轴上时，即=，则=2，e====，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c，则c2=a2+b2，e=，∵双曲线的渐近线为y=±x，∴当焦点在x轴上时，即=，由e====，当焦点在y轴上时，即=，则=2，e====，故答案为：或．【点评】本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的渐近线方程的意义以及双曲线离心率的求法，考查分类讨论思想，属于中档题12.已知幂函数的图象经过点(3,)，那么这个幂函数的解析式为

参考答案：13.若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是________.参考答案：[2,+∞)【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由，满足约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过点时直线在轴上的截距最小，由，解得，，有最小值为2．故答案为：，【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

14.已知数列满足：为正整数，，如果，

．参考答案：470915.设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值

．参考答案：﹣8【考点】简单线性规划．【分析】作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8【解答】解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y为

将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值zmin=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣816.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=1，sinA=，则=

．参考答案：3【考点】正弦定理．【专题】方程思想；转化思想；解三角形．【分析】利用正弦定理、比例的性质即可得出．【解答】解：∵a=1，sinA=，∴=3．则==3．故答案为：3．【点评】本题考查了正弦定理、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”.(1)若数列的前n项和(N),证明:是“H数列”;(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“H数列”,求的值；(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得(N)成立.

参考答案：（1）首先，当时，，所以，所19.设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）若关于x的不等式a≥f（x）存在实数解，求实数a的取值范围；（2）若?x∈R，f（x）≥﹣t2﹣恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）化简函数f（x）的解析式，利用单调性求出函数f（x）的最小值等于﹣，由此可得实数a的取值范围．（2）由?x∈R，f（x）≥﹣t2﹣恒成立，可得﹣≥﹣t2﹣，由此解得t的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|=，∴fmin（x）=f（﹣）=﹣．由题意可得a≥﹣，故实数a的取值范围为[﹣，+∞）．（2）∵?x∈R，f（x）≥﹣t2﹣恒成立，∴﹣≥﹣t2﹣，解得t≥，或t≤﹣3．故实数t的取值范围为[，+∞）∪（﹣∞，﹣3]．20.设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的值域．参考答案：【考点】三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得g（x）在区间[0，]上的值域．【解答】解：（1）函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x=cos2xcos﹣sin2xsin+cos2x+1=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，故函数的最小正周期为=π，令2kπ≤2x+≤2kπ+π，求得kπ﹣≤x≤kπ+，求得函数的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（2x﹣+）+1=cos（2x﹣）+1的图象，在区间[0，]上，2x﹣∈[﹣，]，cos（2x﹣）∈[﹣，1]，g（x）∈[，2]．21.数列的通项，其前n项和为．（1）求.

（2）求数列｛｝的前n项和．参考答案：解:(1)由于,故,(2)

两式相减得故

略22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，四边形都为矩形.（I）设D是AB的中点，证明：直线平面;（II）在中，若，证明：直线平面.参考答案：证明：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点O，连接OD．………………2分四边形为矩形，为A1C的中点，D是AB的中点，OD为△ABC1的中位线，OD//BC1,………………4分因为直线OD平面A