期权定价的连续模型

1第六章：期权定价的连续模型第一节连续时间股票模型第二节离散模型第三节连续模型的分析第四节Black-Scholes模型第五节Black-Scholes公式的推导第六节看涨期权与看破跌期权平价第七节二叉树模型和连续时间模型第八节几何布朗运动股价模型应用的注意事项2023/1/302第一节连续时间股票模型

保罗·萨缪尔森在1965年首次提出：（5-1）——股票在时刻的价格——常量——服从布朗运动。

其中：

1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。第二节离散模型2023/1/304若表示T时刻的股价则根据二叉树模型，在一个给定时间间隔2023/1/305第二节离散模型于是令这表明k个小时间段的共同影响等同于相应大时间段的影响。2023/1/306第二节离散模型上式是下列微分方程的解：（5-2）第二节离散模型2023/1/307在式（5-1）中，如果令即可得到上述微分方程，这是一个确定性的公式。然而，股价并不具有公式（5-2）所示的可预测性和确定性。令随机变量定义其中，为常数第二节离散模型2023/1/308于是，可得股价序列即设（5-3）2023/1/309第二节离散模型于是得：（5-4）与式（5-2）相比有什么特点？包含了随机项，因此更接近实际！2023/1/3010第二节离散模型该模型有一个优点，包含了随机变量；但存在一个不足之处，即有两个不确定项。第一个漂移项来自中的，其作用类似于债券第二个漂移项来自于当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面，即和货币基金市场中的利率2023/1/611第二节节离离散模模型为能对对模型型进行行标准准正态态变换换，并并对不不确定定性进进行合合并。。对进行重重新定定义：：为什么么？2023/1/612第二节离离散模模型于是随机变量量Z的一个重重要等式式（5-5）第二个因因素表示示的随机机变量的的漂移率率为零2023/1/613第二节离离散模模型若令：则：因为：进一步2023/1/614第二节离离散模模型式（5-6）的分析析：股票的初初始价格格；漂移因子子（复利利因子））；随机因子子；修正因子子。则（5-6）第二节离离散模模型2023/1/615特别注意：：模型（5-6）尽管也是是一种离散散模型，但比二叉树树模型具有有更丰富的的意义。因为允许取任何正值值为什么？2023/1/616第二节离离散模型当时是否否！第二节离离散模型式（5-6）中将时间间分成小的的增量，，并考虑虑步运行行的影响，，一段固定定的时间可可以分成许许多小时间间段。事实上，针针对同样的的时间，，可以分成成不同的个个区间。。应该注意到到：随着的的增加，，的方差差会会增加。为为了使得的的总方方差独立于于，需要要对常量随随进进行调整。。2023/1/619第二二节节离离散散模模型型可以以在在和和之之间间建建立立一一个个关关系系式式，，使使得得的的方方差差等等于于2023/1/620即令令：：于是是式式（（5-6）其中中2023/1/621第二节离散散模型对数正态模型型（为什么？）（5-7）：表明长期趋趋势；：表明波动率率。这两个参数如如何影响股价价？2023/1/624第三节连续模型的分分析（5-8）式中，由此得到的就就是股价的几几何布朗运动动模型（GBM）。方程（5-1）的解（几何布朗运动动）式（5-8）与具有连续续时间变量T的离散模型（（5-7）相同。方程（5-1）是一个SDE，一般SDE没有简洁的封封闭形式的解解。2023/1/625第三节节连续模模型的的分析析特别注注意：：目的：：对期期权进进行定定价第三节节连续模模型的的分析析2023/1/626几何布布朗运运动参参数估估计：：思路：：用样样本均均值和和方差差来代代替总总体的的均值值和方方差若已知知在一一段较较长时时间[0,T]内的股股价数数据，，这这段时时间由由n个长度相相等的的子区区间所所构成成，如如果已已知第第个个子区间间末的的股价价，，则样样本观观测值值有n+12023/1/627第三节连续模型的的分析计算时间序序列值：由于（5-9）第一步2023/1/628第三节连续模型型的分析析应该注意意到：于是，理理论上2023/1/629第三节连续模型型的分析析样本均值值：样本方差差：根据式（（5-9）的观测值值的均值值为方差为。第二步2023/1/630第三节连续模型的分分析解方程：得第三步2023/1/631第三节连续模型的分分析一般经验法则则是设定度量量波动率的时时期等于将应应用波动率所所对应的时期期。第三节连续模型的分分析习题：以下是包钢股股票2007年3月20日到2007年3月23日半小时价，，请以天为时时间单位计算算。3月20日3月21日3月22日3月23日5.225.275.35.65.185.225.285.685.25.295.315.695.255.265.435.695.245.275.465.675.245.275.465.615.245.275.535.685.245.265.565.682023/1/632假设：证券价格遵遵循几何布布朗运动，，即μ和σ为常数；允许卖空；；没有交易费费用和税收收，所有证证券都是完完全可分的的；在衍生证券券有效期内内标的证券券没有现金金收益支付付；不存在无风风险套利机机会；证券交易是是连续的，，价格变动动也是连续续的；在衍生证券券有效期内内，无风险险利率r为常数。欧式期权，，股票期权权，看涨期期权2023/1/633第四四节节Black-Scholes公式式第四四节节Black-Scholes公式式2023/1/634由Black-Scholes公式式，，欧欧式式看看涨涨期期权权的的价价格格（5-10）式中中股票票现现价价期权权价价格格标准准正正态态分分布布函函数数期权权的的执执行行价价格格距离离到到期期的的时时间间2023/1/635第四节Black-Scholes公式是否注意意到，这这一公式式中没有有出现漂漂移率：：参数是投资者者在短时时间后获获得的预预期收益益率，依依附于某某种股票票的衍生生证券的的价值一一般独立立于。参数是股票价价格波动动率。2023/1/636第四节节Black-Scholes公式Black-Scholes定价系系统在在完全全市场场中得得到期期权价价格与与漂移移率无无关，，被称称为风风险中中性定定价方方法，，无套套利是是这种种定价价的基基本假假设。。Black-Scholes方程的的结果果认为为，由由于在在方程程中消消掉了了漂移移项，，而而漂移移项代代表人人们对对证券券价格格未来来变化化的预预期，，也即即证券券的风风险期期望收收益率率。因因此，，这意意味着着期权权的价价格与与人们们对证证券价价格未未来变变化的的预测测无关关，投投资者者的风风险偏偏好并并不影影响期期权价价格。。从BS微分方方程中中我们们可以以发现现：衍衍生证证券的的价值值决定定公式式中出出现的的变量量为标标的证证券当当前市市价（（S）、时时间（（t）、证证券价价格的的波动动率（（σ）和无无风险险利率率r，它们们全都都是客客观变变量，，独立立于主主观变变量——风险收收益偏偏好。。而受受制于于主观观的风风险收收益偏偏好的的标的的证券券预期期收益益率并并未包包括在在衍生生证券券的价价值决决定公公式中中。由此我我们可可以利利用BS公式得得到的的结论论，作作出一一个可可以大大大简简化我我们的的工作作的风风险中中性假假设：：在对对衍生生证券券定价价时，，所有有投资资者都都是风风险中中性的的。2023/1/637第四节Black-Scholes公式所谓风险中中性，即无无论实际风风险如何，，投资者都都只要求无无风险利率率回报。风险中性假假设的结果果：投资者者进入了一一个风险中中性世界所有证券的的预期收益益率都可以以等于无风风险利率所有现金流流量都可以以通过无风风险利率进进行贴现求求得现值。。尽管风险中中性假定仅仅仅是为了了求解布莱莱克——舒尔斯微分分方程而作作出的人为为假定，但但BS发现，通过过这种假定定所获得的的结论不仅仅适用于投投资者风险险中性情况况，也适用用于投资者者厌恶风险险的所有情情况。也就就是说，我我们在风险险中性世界界中得到的的期权结论论，适合于于现实世界界。2023/1/638第四节Black-Scholes公式2023/1/639第四节Black-Scholes公式应该注意的是是：实际期权交易易中，很多看看涨期权是通通过竞价市场场而非理论公式定价价。第四节Black-Scholes公式习题：若某日某股票票的相关数据据如下，求V2023/1/640第五五节节Black-Scholes公式式的的推推导导一、、修修正正的的模模型型主要要思思路路：：让让模模型型定定价价等等于于市市价价2023/1/641资产产组组合合：：a股价价格格为为S0的股股票票＋＋现现金金b则投投资资额额为为：：（5-11）经过过时时间间后后，，投投资资的的资资金金将将变变为为：：2023/1/642第五五节节Black-Scholes公式式的的推推导导（5-12）用无无风风险险利利率率r贴现现得得于是是2023/1/643第五五节节Black-Scholes公式式的的推推导导对式式（（5-12）两两边边求求期期望望，，则则如如果果下下列列条条件件成成立立则（5-13）（5-14）由此此，，即即使使a值变变化化，，上上式式总总是是成成立立。。2023/1/644第五节节Black-Scholes公式的的推导导采用股股价模模型代替真真正股股价，方差差保持持不变变，且满满足下下式于是对对于任任何用用来复复制的的投资资组合合，存存在下下式现在的的问题题是，，是否否存在在这样样的？？2023/1/645第五节Black-Scholes公式的推导导如果令（5-15）于是2023/1/646第五节Black-Scholes公式的推导导即为什么？因此，修正正的股价模模型为：（5-16）2023/1/647第五节Black-Scholes公式的推推导修正模型型看上去去与GBM模型非常常接近，，但其与与股价模模型是完完全不同同的模型型，因为为该模型型中股价价的增长长率被人人为设低低了。第五节Black-Scholes公式的推推导二、期望望值对欧式看看涨期权权：2023/1/648将式（5-16）代入得得第五节Black-Scholes公式的推推导2023/1/649若则用于是2023/1/650第五节节Black-Scholes公式的的推导导根据期期望的的概念念如何求求积分分？三、两两个积积分2023/1/651第五节节Black-Scholes公式的的推导导由求得2023/1/652第五五节节Black-Scholes公式式的的推推导导将上上述述积积分分展展开开成成两两部部分分第二二部部分分2023/1/653第五五节节Black-Scholes公式式的的推推导导第一一部部分分2023/1/654第五节Black-Scholes公式的推推导变量代换换，则则2023/1/655第五节Black-Scholes公式的推推导所以积分分式的第第二项等等于将上述第第一项和和第二项项的结果果代入，，得2023/1/656第五节节Black-Scholes公式的的推导导其中第五节节Black-Scholes公式的的推导导金融产产品今今天的的价值值，应应该等等于未未来收收入的的贴现现：其中，，由于于风险险中性性定价价，E是风险险中性性世界界中的的期望望值。。所有有的利利率都都使用用无风风险利利率：：包括括期望望值的的贴现现率和和对数数正态态分布布中的的期望望收益益率μ。要求解解这个个方程程，关关键在在于到到期的的股票票价格格ST，我们们知道道它服服从对对数正正态分分布，，且其其中所所有的的利率率应用用无风风险利利率，，因此此，2023/1/657上式的的右边边求值值是一一个积积分过过程，，求得得：N（x）为标标准正正态分分布变变量的的累计计概率率分布布函数数（即即这个个变量量小于于x的概率率）。。这就是是无收收益资资产欧欧式看看涨期期权的的定价价公式式2023/1/658第五节Black-Scholes公式的推导导首先，N(d2)是在风险中中性世界中中ST大于X的概率，或或者说是欧欧式看涨期期权被执行行的概率，，e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性性期望值的的现值。SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性性期望值的的现值。因因此，这个个公式就是是未来收益益期望值的的贴现。2023/1/659第五五节节Black-Scholes公式式的的推推导导第五五节节Black-Scholes公式式的的推推导导其次次，，是是复复制制交交易易策策略略中中股股票票的的数数量量，，SN（d1)就是是股股票票的的市市值值,-e-r(T-t)XN(d2)则是是复复制制交交易易策策略略中中负负债债的的价价值值。。最后后，，从从金金融融工工程程的的角角度度来来看看，，欧欧式式看看涨涨期期权权可可以以分分拆拆成成资资产产或或无无价价值值看看涨涨期期权权（（Asset-or-notingcalloption）多多头头和和现现金金或或无无价价值值看看涨涨期期权权（（cash-or-nothingoption）空空头头，，SN(d1)是资资产产或或无无价价值值看看涨涨期期权权的的价价值值，，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现现金金或或无无价价值值看看涨涨期期权权空空头头的的价价值值。。2023/1/660资产或无价值值看涨期权：：如果标的资资产价格在到到期时低于执执行价格，该该期权没有价价值；如果高高于执行价格格，则该期权权支付一个等等于资产价格格本身的金额额，因此该期期权的价值为为e-r(T-t)STN(d1)=SN(d1)现金或无价值值看涨期权：：如果标的资资产价格在到到期时低于执执行价格，该该期权没有价价值；如果高高于执行价格格，则该期权权支付1元，由于期期权到期时价价格超过执行行价格的概率率为N(d2)，1份现金或无价价值看涨期权权的现值为-e-r(T-t)N(d2)。2023/1/661第五节Black-Scholes公式的推导2023/1/662第六节节看看涨期期权与与看跌跌期权权平价价欧式看看涨期期权的的价格格与欧欧式看看跌期期权的的价格格有关关若卖空空一份份带抛抛补的的看涨涨期权权以S的价格格买入入一股股股票票以C的价格格卖出出一份份看涨涨期权权，执执行价价为X同时又又买了了一份份价格格为P的看跌跌期权权，执执行价价为X（到期时时间和和执行行价与与看涨涨期权权相同同）2023/1/663第六节看看涨期期权与看看跌期权权平价则当期于是2023/1/664第六节看看涨期期权与看看跌期权权平价对于具有有与欧式式看涨期期权定价价相同参参数的欧欧式看跌跌期权定定价平价价公式将欧式看看涨期权权定价的的Black-Scholes公式代入入，得：：即第六节看看涨期期权与看看跌期权权平价t=0t=TST≥3.133.13>ST>2.9ST≤2.9卖武钢认购权证（执行价2.9元）C2.9-ST2.9-ST0买武钢股票-S0STSTST买武钢认沽权证（执行价3.13元）-P03.13-ST3.13-ST借入现金2.9/(1+r)t/365-2.9-2.9-2.9现金流C-P-S0+2.9/(1+r)t/36503.13-ST0.232023/1/6652023/1/666附：期权的的简单特征征2023/1/667命题1:对于[0,T]上具有相同同执行价格格q的欧式和美美式期权，，存在附：期权的的简单特征征2023/1/668命题2:若在[0,T]上，相应的的股票无红红利配发，，则存在：：附：期权的的简单特征征2023/1/669命题3:若在[0,T]上，相应的股股票无红利配配发，则存在在：附：期权的简简单特征2023/1/670命题4:若在[0,T]上，相相应的的股票票无红红利配配发，，则存存在：：附：期期权的的简单单特征征2023/1/671推论1:若在[0,T]上，相相应的的股票票无红红利配配发，，则美美式看看涨期期权不不应提提前执执行。。推论2:若在[0,T]上，相相应的的股票票无红红利配配发，，对于于相同同执行行价格格和相相同到到期日日的美美式和和欧式式看涨涨期权权存在在：附：期期权的的简单单特征征2023/1/672命题题5:在[0,T]上，，相相应应的的股股票票无无红红利利配配发发，，如如果果在在美美式式看看跌跌期期权权有有效效的的有有效效期期内内的的某某个个存存在在则该该美美式式看看跌跌期期权权应应该该在在时时刻刻执执行行。。附：：期期权权的的简简单单特特征征2023/1/673命题题6:若在在[0,T]上，，相相应应的的股股票票无无红红利利配配发发，，则则欧欧式式看看涨涨和和看看跌跌期期权权的的价价格格满满足足：：习题题:若看看涨涨和和看看跌跌期期权权的的行行权权价价不不同同，，则则这这一一关关系系该该如如何何表表达达？？附：期权权的简单单特征2023/1/674命题7:若在[0,T]上，相应的股股票无红利配配发，则美式式看涨和看跌跌期权的价格格满足：附：期权的简简单特征2023/1/675命题8:若在[0,T]上，相应的股股票有红利配配发，记：附：期权的简简单特征2023/1/676附：期权的的简单特征征2023/1/677命题9:若标的股票票在[0,T]上的，相应应的股票有有红利配发发，记：附：期权的的简单特征征2023/1/678附：：期期权权的的简简单单特特征征2023/1/679附：期权的简简单特征2023/1/680附：期期权的的简单单特征征第七节节二二叉树树模型型和连连续时时间模模型一、二二项分分布2023/1/681（5-18）当n足够大时，，可近似用用正态分布布来代替二二项分布第七节二二叉树模型型和连续时时间模型二、多期二二叉树的近近似2023/1/682若股票价格格的漂移率率是波动率是则二叉树的的节点上若股价上涨涨，则为若股价下跌跌，则为对一固定的的时刻t，在时刻t的节点的股股价只与在在n期内上涨涨次数Xn有关。第七节二二叉树树模型和和连续时时间模型型2023/1/683则当n足够大时时2023/1/684第七节二二叉树树模型和和连续时时间模型型因为：2023/1/685第七节二叉叉树模型和连连续时间模型型于是可以令上式近似所得得的股价模型型和几何布朗朗运动一致。。既然有几何布布朗运动模型型为何还要二二叉树算法。。几何布朗运动动算期望非常常困难2023/1/686第七节二叉叉树模型和连连续时间模型型第七节二叉叉树模型和连连续时间模型型三、符合几何何布朗运动的的二叉树构造造2023/1/687对应的的二叉叉树分分支概概率（（））2023/1/688第七七节节二二叉叉树树模模型型和和连连续续时时间间模模型型习题题：：设某某一一股股票票的的年年波波动动率率，，对对应应的的股股票票期期权权将将在在两两个个月月内内到到期期，，因因此此需需要要一一个个40期的的二二叉叉树树来来表表示示这这一一段段时时间间内内的的股股价价波波动动，，设设无无风风险险利利率率。。如如何何构构造造？？第八八节节几几何何布布朗朗运运动动股股价价模模型型应应用用的的注注意意事事项项2023/1/6892023/1/690第八节几几何布布朗运动动股价模模型应用用的注意意事项当很大时，，的概率分分布极不不均匀。。谢谢谢1月-2301:29:0201:2901:291月-231月-2301:2901:2901:29:021月月-231月月-2301:29:032023/1/61:29:039、静夜四无邻邻，荒居旧业业贫。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。01:29:0301:29:0301:291/6/20231:29:03AM11、以我独沈沈久，愧君君相见频。。。1月-2301:29:0301:29Jan-2306-Jan-2312、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。01:29:0301:29:0301:29Friday,January6,202313、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。1月-231月-2301:29:0301:29:03January6,202314、他他乡乡生生白白发发，，旧旧国国见见青青山山。。。。06一一月月20231:29:03上上午午01:29:031月月-2315、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。一月231:29上上午1月-2301:29January6,202316、行动出成果果，工作出财财富。。2023/1/61:29:0301:29:0306January202317、做前前，能能够环环视四四周；；做时时，你你只能能或者者最好好沿着着以脚脚为起起点的的射线线向前前。。。1:29:03上上午1:29上上午午01:29:031月-239、没有失败，，只有暂时停停止成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。01:29:0301:29:0301:291/6/20231:29:03AM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。