多重积分变量替换

多重积分变量替换第一页，共三十页，2022年，8月28日2讨论的缘由单积分或一重积分的变量替换(也叫换元)的根据是微积分基本定理,其在计算和证明中的作用是巨大的.在证明了Fubini定理之后,它在重积分的讨论中也获得应用.但这还是不够的！多重积分的一般变量替换是一个十分重要、有趣题目第二页，共三十页，2022年，8月28日3基本思路什么样的Rn到自身的变换是保集合的可测性的?基本例子:正则变换正则变换如何改变可测集的测度?线性变换：讨论特征函数正则变换：讨论特征函数非负可测函数和有积分函数的积分变换公式第三页，共三十页，2022年，8月28日4复习Rn上正则变换定义:设Rn是非空开集,TRn满足下列条件:T在上是单射；T在上有一阶连续导数(即是C1的);DT=T在上处处可逆(即J(T)=det(T)恒不为零)则称T为上的正则变换.结论:T()开集、T-1:T()也是正则变换、且第四页，共三十页，2022年，8月28日5记号复习：导数矩阵导数矩阵(也叫Jacobi矩阵):第五页，共三十页，2022年，8月28日6记号复习：差分的表示设x,B(x,r)(r>0),yB(x,r).TRn

在x点可微,则其中T(y),T(x),y和x都是n维列向量,|y-x|是n维欧氏范数(也叫长度或距离)第六页，共三十页，2022年，8月28日7记号复习：差分矩阵表示上页的式子的矩阵形式：第七页，共三十页，2022年，8月28日8记号复习：线性变换设L:RnRn为线性变换,在取定基(通常取标准基)后,L可等同为一个n阶方阵(也记为L).线性变换是可微变换;如果还是非奇异(也叫非退化的),就是正则变换L(x)=Lx;L(x)=L;J(L)=det(L)线性变换的范数:||L||=max{|Lx|:|x|=1}导数的范数:||T||E=sup{||T(x)||:xE}第八页，共三十页，2022年，8月28日9正则变换是可测变换可测变换:把可测集映射成可测集的变换叫做可测变换正则变换是可测变换:由正则变换把开集映射成开集,再由正则变换是单射,因此在正则变换下,交的像等于像的交.由任一个可测集包含在可数多个开集的交中,并且两者的差的测度为零.因此只要能证明零测集的像还是零测集就行了步骤:(1)在一个闭方块中的零测集的像是零测集;(2)一般的零测集的像是零测集第九页，共三十页，2022年，8月28日10闭方块中零测集的像设Rn中的开集,T为上的C1变换.闭方块Q,EQ为零测集,即|E|=0,则|T(E)|=0.证明:只要证明,|T(E)|<就行了.记=||T||Q,由微分中值不等式任取,由|E|=0,存在可数多开方块Ck,k=1,2,…第十页，共三十页，2022年，8月28日11闭方块中零测集的像(续)不妨设,否则用CKQ替代CK.取为Ck的中心,记Ck的边长为,我们有因此所以第十一页，共三十页，2022年，8月28日12零测集的像是零测集设Rn中的开集,T为上的C1变换.E为零测集,即|E|=0,则|T(E)|=0.证明:可以表示成可数多个闭方块的并以及上面的结论，就可以得到所要的结论.#第十二页，共三十页，2022年，8月28日13可测集的像是可测集设Rn中的开集,T为上的正则变换.E,为可测集,则T(E)也是可测集.证明:由E可测,则存在可数多个开集Gk和零测集Z,有注意T(Gk)是开集且就得到结论.#第十三页，共三十页，2022年，8月28日14问题二如果仅要求T是C1的,T还能把可测集映成可测集吗？其他类型的可测变换.第十四页，共三十页，2022年，8月28日15正则变换如何改变测度基本结果：测度积分如何证明：线性变换:此时J(T)是常数正则变换第十五页，共三十页，2022年，8月28日16线性变换测度公式设L是Rn上的线性变换,ERn可测.则L(E)可测且|L(E)|=|det(L)||E|.证明步骤：只需要讨论L为可逆的情形对方块结论成立(利用线性变换的初等分解)，学生自己写清楚对开集结论成立(由第一步和测度的性质)对有界可测集结论成立对一般可测集结论成立第十六页，共三十页，2022年，8月28日17线性变换测度公式(续)有界可测集：取单调递减的开集列Gk和零测集Z,注意|Gk||E|(k),|L(Gk)||L(E)|(k),以及|L(Gk)|=|det(L)||Gk|就得到结论一般可测集:取单调递增有界可测集列Ek,

类似的步骤给出结论.#第十七页，共三十页，2022年，8月28日18线性变换的两个推论推论1:Lebesgue测度在正交变换下是不变的；推论2:设a>0,L=aI(位似变换,也叫伸缩变换)则|L(E)|=an|E|.第十八页，共三十页，2022年，8月28日19线性变换积分公式设L是Rn的可逆线性变换,ERn可测.是L(E)上的可积函数.则下列公式成立证明:考虑E=Rn的情形就可以了.只要证明对简单函数结论成立就行了,而这正是测度公式所说的,惟一要注意的就是第十九页，共三十页，2022年，8月28日20正则变换的测度不等式E为闭方块Q成立(证明关键)E为开集G任意可测集E闭方块Q情形的证明:记h为Q的边长.证明的想法是对T用其导数(线性变换)“局部”近似.具体方法是等分Q和利用导数的连续性以及线性变换时的结果.第二十页，共三十页，2022年，8月28日21闭方块测度不等式通过把Q的各边m等分将等分Q为N=mn个不重叠的小方块{Qk},记Qk的中心为xk,Lk=T(xk),k=1,…,N.由可微性由微分中值定理,得到不等式,记第二十一页，共三十页，2022年，8月28日22闭方块测度不等式(续1)由T在Q上连续,()0(0).下面估计注意其中记第二十二页，共三十页，2022年，8月28日23闭方块测度不等式(续2)由关系式可知包含在以为心,以为边长的方块中,也就是,在注意到第二十三页，共三十页，2022年，8月28日24闭方块测度不等式(续3)因此，令m就得到第二十四页，共三十页，2022年，8月28日25开集的测度不等式对于开集G,成立测度不等式证明:取可数多个不重叠的闭方块QKG,满足,因此第二十五页，共三十页，2022年，8月28日26有界可测集的测度不等式对于有界可测集E,成立测度不等式证明:由E可测,取单调递减有界开集列Gk和零测集Z满足由此得到由控制收敛定理,k就得到不等式.#第二十六页，共三十页，2022年，8月28日27可测集的测度不等式对于可测集E,成立测度不等式证明:取两两不相交有界可测集列Ek满足则第二十七页，共三十页，2022年，8月28日28非负可测函数的积分不等式设是T()上的非负可测函数,则证明：上述不等式对非负简单函数成立,然后利用Levi单调收敛定理就可以了.#第二十八页，共三十页，2022年，8月28日29非负可测函数的积分公式设是T()上的非负可测函数,则证明:由积分不等式,只要证明相反的不等式成立就行