2018年人教版八年级数学整式的乘法与因式分解讲义

2018-2019学年八年级(上)数学-专属教案整式的乘法与因式分解知识点平方差公式:(a+b)(a—b)=a2—b2【类型一】判断能否应用平方差公式进行计算下列下列运算中，可用平方差公式计算的是()A．(x＋y)(x＋y)B．(—x＋y)(x—y)C．(—x—y)(y—x)D．(x＋y)(—x—y)解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(-x+y)(x—y)=—(x—y)(x—y),含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(一x—y)(y—x)=(x+y)(x—y),含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D中(x+y)(—x—y)=—(x+y)(x+y),含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C.方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．【类型二】直接应用平方差公式进行计算利用平方差公式计算:(1)(3x—5)(3x＋5)；(2)(—2a—b)(b—2a)；(3)(—7m＋8n)(—8n—7m)；(4)(x—2)(x＋2)(x2＋4)．解析：直接利用平方差公式进行计算即可．解：(1)(3x—5)(3x+5)=(3x)2—52=9x2—25；(2)(—2a—b)(b—2a)=(—2a)2—b2=4a2—b2；(3)(—7m＋8n)(—8n—7m)=(—7m)2—(8n)2=49m2—64n2；(4)(x—2)(x＋2)(x2＋4)=(x2—4)(x2＋4)=x4—16.方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式.【类型三】平方差公式的连续使用求2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)的值.解析：根据平方差公式,可把2看成是(3—1),再根据平方差公式即可算出结果．解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)=(3—1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)=(32—1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)=(34—1)(34＋1)(38＋1)=(38—1)(38＋1)=316—1.方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止．【类型四】应用平方差公式进行简便运算利用平方差公式简算:TOC\o"1-5"\h\z/、1 2/、(1)20-X19-；(2)13.2X12.8.3312 1 1解析：(1)把203X19鼻写成(20+-)X(20—3)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2X12.8写33 3 3成(13+0.2)X(13—0.2),然后利用平方差公式进行计算.12 1 1 1 8解：(1)20zX19-=(20+-)X(20—-)=400—=399-；33 3 3 9 9(2)13.2X12.8=(13＋0.2)X(13—0.2)=169—0.04=168.96.方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．

【类型五】【类型五】化简求值先化简，再求值:(2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x),其中x=1,y=2.先化简，再求值:解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代人进行计算即可得解.解：(2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x)=4x2—y2—(4y2—x2)=4x2—y2—4y2+x2=5x2—5y2.当x=1,y=2时，原式=5X12—5X22=—15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．【类型六】利用平方差公式探究整式的整除性问题定是10的倍数吗?对于任意的正整数n,整式(3n+1)(3n—1)—(3—n)(3+n定是10的倍数吗?解析：利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是10的倍数．解：原式=9n2—1—(9—n2)=10n2—10=10(n+1)(n—1),・・・n为正整数，・・・(n—1)(n+1)为整数，即(3n+1)(3n—1)—(3—n)(3+n)的值是10的倍数.方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．【类型七】平方差公式的实际应用“我把王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说:“我把这块地一边减少4米,另外一边增加4米,继续租给你,你看如何?”李大妈一听,就答应了．你认为李大妈吃亏了吗?为什么?解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．解：李大妈吃亏了.理由：原正方形的面积为a2,改变边长后面积为(a+4)(a—4)=a2—16,：a2>a2—16,・•.李大妈吃亏了.方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab＋b2；【类型一】直接运用完全平方公式进行计算F利用完全平方公式计算:(1)(5—a)2；(2)(—3m—4n)2；(3)(—3a＋b)2.解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．解：(1)(5—a)2=25—10a+a2；(2)(—3m—4n)2=9m2＋24mn＋16n2；(3)(—3a＋b)2=9a2—6ab＋b2.方法总结：完全平方公式：(a土b)2=a2±2ab+b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”.【类型二】构造完全平方式如果36如果36x2+(m+1)xy+25y2是个完全平方式，求m的值.解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值.解：,.•36x2+(m+1)xy+25y2=(6x)2+(m+l)xy+(5y)2,.，.(m+1)xy=±2・6x・5y,.，.m+1=士60,.'.m=59或一61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【类型三】运用完全平方公式进行简便运算利用乘法公式计算:⑴982—101X99；(2)20162—2016X4030+20152.解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果.解：(1)原式=(100—2)2—(100+1)(100—1)=1002—400+4—1002+1=—395；(2)原式=20162—2X2016X2015+20152=(2016—2015)2=1.方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值已知*—丫=6,xy=—8.(1)求x2+y2的值;

(2)求代数式1(x+y+z)2+1(x—y—z)(x—y+z)—z(x+y)的值.乙 乙解析：⑴由(x—y)2=x2+y2—2*丫，可得x?+y2=(x—丫)2+2*丫，将x—y=6,xy=-8代入即可求得x2+y2的值；⑵首先化简1(x+y+z)2+1(x—y—z)(x—y+z)—z(x+y)=x?+y2,由⑴即可求得答案.22解：(1)Vx—y=6,xy=—8,A(x—y)2=x2+y2—2xy,Ax2+y2=(x—y)2+2xy=36—16=20；(2)V1(x+y+z)2+1(x—y—z)(x—y+z)—z(x+y)=1(x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz)+1[(x—y)2—22 2 2z2]—xz—111z2]—xz—11111yz^rx2+-y2+-z2+xy+xz+yz+-x2+-y2—xy—-Z2—xz—yz=x2+y2,222 22 2又\"2+丫2=20,・•・原式=20.方法总结：通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(x-y)2=x2+y2-2xy,x?+y2=(x—y)2+2xy.【类型五】完全平方公式的几何背景我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图甲可以用来解释(a+b)2—(a—b)2=4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是()困甲 四已A．a2—b2=(a＋b)(a—b)B．(a—b)(a＋2b)=a2＋ab—2b2C．(a—b)2=a2—2ab＋b2D．(a＋b)2=a2＋2ab＋b2解析：空白部分的面积为(a—»2,还可以表示为a2—2&匕+匕2,所以，此等式是(a—b)2=a2—2ab+b2.故选C.方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．探究点二：添括号后运用完全平方公式计算：(1)(a—b+c)2；(2)(1—2x＋y)(1＋2x—y)．解析：利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括号的符号法则.解：(1)原式=[(a—b)+c]2=(a—b)2+c2+2(a—b)c=a2—2ab+b2+c2+2ac—2bc=a2+b2+c2—2ab＋2ac—2bc；(2)原式=[1+(—2x+y)][1—(—2x+y)]=12—(—2x+y)2=1—4x2+4xy—y2.方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(a土b)2的形式.注意a,b可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性．因式分解提公因式法(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)；(2)a2—b2=(a+b)(a—b)；(3)a2+2ab+b2=(a+b)2.探究点一：因式分解的概念下列从左到右的变形中是因式分解的有(①x2—y2—1=(x+y)(x—y)—1；②x3+x=x(x2+1)；③(x—y)2=x2-2xy+y2；④x2—9y2=(x+3y)(x—3y)．A.1个B.2个C.3个D.4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几

个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B.方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．探究点二：提公因式法分解因式【类型一】确定公因式多项式6ab2c—3a2bc+12a2b2中各项的公因式是(A．abcB．3a2b2C．3a2b2cD．3ab解析：系数的最大公约数是3,相同字母的最低指数次幂是ab,・•.公因式为3ab.故选D.方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．【类型二】用提公因式法因式分解因式分解:(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)—3(b＋c)；(3)(a＋b)(a—b)—a—b.解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．解：⑴原式=4ab2(2a2+3bc)；⑵原式=(2a—3)(b+c)；(3)原式=(a+b)(a—b—1).方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．(1)39X37—13X91；(2)29X20.16+72X20.16+13X20.16—20.16X14.解析：(1)(1)39X37—13X91；(2)29X20.16+72X20.16+13X20.16—20.16X14.解析：(1)首先提取公因式13,进而求出即可；(2)首先提取公因式20.16,进而求出即可．解：(1)39X37—13X91=3X13X37—13X91=13X(3X37—91)=13X20=260；(2)29X20.16+72X20.16+13X20.16—20.16X14=20.16X(29+72+13—14)=2016.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．【类型四】利用因式分解整体代换求值已知&+匕=7,ab=4,求a2b+ab2的值.解析：原式提取公因式变形后，将a+b与ab的值代入计算即可求出值.解：\*a+b=7,ab=4,.•.原式=&伏&+»=4*7=28.方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．公式法:平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(A．a2+(—b)2B．5m2—20mnC．—x2—y2D．—x2+9解析：A中a2+(-b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2—20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中一X2-y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误;D中一X2+9=-X2+32,两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确.故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】利用平方差公式分解因式分解因式:⑴a4—116b4；⑵X3y2—Xy4.解析：⑴a4-和可以写成(a2)2-(4b2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一

个因式a2—7b2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x3y2—xy4有公因式xy2,应先提公因式再进一步分解因式．解：⑴原式=(a2+1b2)(a2—1b2)=(a2+1b2)(a—1b)(a+1b)；44 422(2)原式=xy2(x2—y2)=xy2(x+y)(x—y).方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】底数为多项式或单项式时，运用平方差公式分解因式分解因式:(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.解析：将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式分解因式．解：(1)原式=(a+b—2a)(a+b+2a)=(b—a)(3a+b)；⑵原式=(3m+3n—m+n)(3m+3n+m—n)=(2m+4n)(4m+2n)=4(m+2n)(2m+n).方法总结：在平方差公式a2—b2=(a+b)(a—b)中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数.【类型四】利用因式分解整体代换求值已知x2已知x2—y2=—1,x+y=2，求x—y的值.解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x+y的值代入计算即可求出x—y的值.解：Vx2—y2=(x+y)(x—y)=—1,x+y=1,Ax—y=—2.2方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．【类型五】利用因式分解解决整除问题248—1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可.解：248—1=(224+1)(224—1)=(224+l)(2l2+1)⑵2—1)=(224+1)⑵2+1)⑵+1)(26—1).V26=64,；.26—1=63,26+1=65,.•.这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型六】利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算:(1)1012—992；小c1 … 1(2)5722X4—4282X4.解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可.解：(1)1012—992=(101+99)(101—99)=400；(2)5722X4—4282x1=(5722—4282)X4=(572+428)(572—428)x4=1000X144X4=36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．【类型七】在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式.(1)x2—5；(2)x3—2x.解析：(1)直接利用平方差公式分解，即可求得答案；(2)首先提取公因式x,然后利用平方差公式进行二次分解，即可求得答案.解：(1)x2—5=(x+\i'5)(x—\'5)；(2)x3—2x=x(x2—2)=x(x+\'2)(x—\'2).方法总结：注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解的结果可以出现无理数．课后练习一、选择题1．下列计算中正确的是( )．A.a2+b3=2a5C.a2・a4=a82.(%—a)(x2+ax+a2)的计算结果是(A.x3＋2ax2－a3C.x3+2a2x—a3B.a4：a=a4D.(—a2)3=—a6).B.x3—a3D.x3+2ax2+2a2—a3.下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有().①3x3・(一2x2)=—6x5；②4a3b：(—2a2b)=—2a[③53)2=a5；④(—a)3：(—a)=—a2.TOC\o"1-5"\h\zA.1个 B.2个 C.3个 D.4个.若2a=3,2b=2，贝Q2a+2b=( ).A.12B.7C.6 D.5A.A.下列各式是完全平方式的是( ).x2—x+ B.1+x2C.4x+xy+1把多项式ax2—ax—2a分解因式，下列结果正确的是().a(x—2)(x+1)B.a(x+2)(x—1)D.x2+2x—1C．a(x－1)2 D．(ax－2)(ax＋1)7.如(%+m)与(x+3)的乘积中不含％的一次项，则m的值为().A．－A．－3 B．3C．0D．18.若3%=15,3y=5,则3%^等于(A.5 B.3C.159．下列分解因式正确的是(A．x3－x=x(x2－1)C．(a+4)(a－4)=a2－16)．D.10)B．m2+m－6=(m+3)(m－2)D．x2+y2=(x+y)(x－y)10.从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪开拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是()A.a2-A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a-b)2=a2-2ab+b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)二、填空题19二、填空题19.计算(一3%2y).(3%y2)=2311.计算：(一不%--y)2=22.10.计算：(—3m+n)(—