《金新学案》高三数学一轮复习 32 等差数列 （文） 全国.重庆专

第二节等差数列1．等差数列的相关问题(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的差都等于

，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的

．同一个常数公差2(2)等差中项在一个等差数列中，从第2项起每一项(有穷数列最后一项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，即2an＝

(n∈N且n≥2)．an－1＋an＋1三数成等差数列时，一般设为a－d，a，a＋d；四数成等差数列呢？【提示】设为a－d，a，a＋d，a＋2d或a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.(3)等差数列的单调性当d＞0时，{an}是

数列．当d＝0时，{an}是

．当d＜0时，{an}是

数列．递增常数列递减2．等差数列的通项公式及其前n项和Sn(1)等差数列的前n项和Sn是用

求得的．注意这种思想方法在数列求和中的应用．(2)等差数列的通项公式an＝

及前n项和公式Sn＝

＝

，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其三就能求另二．倒序相加法a1＋(n－1)d等差数列的常用性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n、m∈N)．(2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(3)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于()A．1 C．2 D．3【解析】设{an}首项为a1，公差为d，则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝6，a3＝a1＋2d＝4，∴a1＝0，d＝2.【答案】C【解析】

根据题意得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，∴a1＝1.又∵a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－.【答案】

B【答案】B4．设等差数列{am}的前n项和为Sm，若a5＝5a3，则＝______.【解析】

设等差数列的公差为d，首项为a1，【答案】

95．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.【答案】

2n

在等差数列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；【思考点拨】在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d. (1)证明等差数列的方法有定义法、通项公式法、等差中项法、前n项和法(前n项和公式的形式是不含常数项的二次函数)，但最规范的方法为定义法．我们在证明等差数列时，一般就用定义法．(2)用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义． 1．已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q为常数)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．【解析】

(1)an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0.故当p＝0时，数列{an}是等差数列．(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数．∴{an＋1－an}是等差数列．

在等差数列{an}中，(1)若a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn最大，并求出它的最大值；(2)若a1＜0，S9＝S12，则该数列前多少项的和最小？【解析】

(1)由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－.∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0.∵公差d＜0，a1＞0，∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数．∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130. 等差数列前n项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论： 2．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式；(2)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．【解析】

(1)由S14＝98得2a1＋13d＝14，又a11＝a1＋10d＝0，故解得d＝－2，a1＝20.因此，{an}的通项公式是an＝22－2n，又d∈Z，故d＝－1.④将④代入①②得10＜a1≤12.又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an＝12－n和an＝13－n.本节主要以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查等差数列的性质，在计算中，常有一些方程思想，题型各种形式都有出现，其难度为中、低档题．1．(2009年安徽卷)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A．21 B．20C．19 D．18【解析】

∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d.∴d＝－2.又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.＝－(n－20)2＋400. ∴当n＝20时，Sn有最大值．【答案】B2．(2009年全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝______.【解析】

设