2023届高考数学专项练习导数解密36专题ak专题37 讨论函数零点或方程根的个数问题含答案

届高考数学专项练习导数解密36专题37讨论函数零点或方程根的个数问题【方法总结】判断、证明或讨论函数零点个数的方法利用零点存在性定理求解函数热点问题的前提条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0．①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0．【例题选讲】[例1]已知f(x)＝e－x(ax2＋x＋1)．当a>0时，试讨论方程f(x)＝1的解的个数．[破题思路]讨论方程f(x)＝1的解的个数，想到f(x)－1的零点个数，给出f(x)的解析式，用f(x)＝1构造函数，转化为零点问题求解(或分离参数，结合图象求解)．[规范解答]法一：分类讨论法方程f(x)＝1的解的个数即为函数h(x)＝ex－ax2－x－1(a>0)的零点个数．而h′(x)＝ex－2ax－1，设H(x)＝ex－2ax－1，则H′(x)＝ex－2a．令H′(x)>0，解得x>ln2a；令H′(x)<0，解得x<ln2a，所以h′(x)在(－∞，ln2a)上单调递减，在(ln2a，＋∞)上单调递增．所以h′(x)min＝h′(ln2a)＝2a－2aln2a－1．设m＝2a，g(m)＝m－mlnm－1(m>0)，则g′(m)＝1－(1＋lnm)＝－lnm，令g′(m)<0，得m>1；令g′(m)>0，得0<m<1，所以g(m)在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以g(m)max＝g(1)＝0，即h′(x)min≤0(当m＝1即a＝eq\f(1,2)时取等号)．①当a＝eq\f(1,2)时，h′(x)min＝0，则h′(x)≥0恒成立．所以h(x)在R上单调递增，故此时h(x)只有一个零点．②当a>eq\f(1,2)时，ln2a>0，h′(x)min＝h′(ln2a)<0，又h′(x)在(－∞，ln2a)上单调递减，在(ln2a，＋∞)上单调递增，又h′(0)＝0，则存在x1>0使得h′(x1)＝0，这时h(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增．所以h(x1)<h(0)＝0，又h(0)＝0，所以此时h(x)有两个零点．③当0<a<eq\f(1,2)时，ln2a<0，h′(x)min＝h′(ln2a)<0，又h′(x)在(－∞，ln2a)上单调递减，在(ln2a，＋∞)上单调递增，又h′(0)＝0，则存在x2<0使得h′(x2)＝0．这时h(x)在(－∞，x2)上单调递增，在(x2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以h(x2)>h(0)＝0，h(0)＝0，所以此时f(x)有两个零点．综上，当a＝eq\f(1,2)时，方程f(x)＝1只有一个解；当a≠eq\f(1,2)且a>0时，方程f(x)＝1有两个解．法二：分离参数法方程f(x)＝1的解的个数即方程ex－ax2－x－1＝0(a>0)的解的个数，方程可化为ax2＝ex－x－1．当x＝0时，方程为0＝e0－0－1，显然成立，所以x＝0为方程的解．当x≠0时，分离参数可得a＝eq\f(ex－x－1,x2)(x≠0)．设函数p(x)＝eq\f(ex－x－1,x2)(x≠0)，则p′(x)＝eq\f((ex－x－1)′·x2－(x2)′·(ex－x－1),(x2)2)＝eq\f(ex(x－2)＋x＋2,x3)．记q(x)＝ex(x－2)＋x＋2，则q′(x)＝ex(x－1)＋1．记t(x)＝q′(x)＝ex(x－1)＋1，则t′(x)＝xex．显然当x<0时，t′(x)<0，函数t(x)单调递减；当x>0时，t′(x)>0，函数t(x)单调递增．所以t(x)>t(0)＝e0(0－1)＋1＝0，即q′(x)>0，所以函数q(x)单调递增．而q(0)＝e0(0－2)＋0＋2＝0，所以当x<0时，q(x)<0，即p′(x)>0，函数p(x)单调递增；当x>0时，q(x)>0，即p′(x)>0，函数p(x)单调递增．而当x→0时，p(x)→eq\f((ex－x－1)′,(x2)′)x→0＝eq\f(ex－1,2x)x→0＝eq\f((ex－1)′,(2x)′)x→0＝eq\f(ex,2)x→0＝eq\f(1,2)(洛必达法则)，当x→－∞时，p(x)→eq\f((ex－x－1)′,(x2)′)x→－∞＝eq\f(ex－1,2x)x→－∞＝0，故函数p(x)的图象如图所示．作出直线y＝a．显然，当a＝eq\f(1,2)时，直线y＝a与函数p(x)的图象无交点，即方程ex－ax2－x－1＝0只有一个解x＝0；当a≠eq\f(1,2)且a>0时，直线y＝a与函数p(x)的图象有一个交点(x0，a)，即方程ex－ax2－x－1＝0有两个解x＝0或x＝x0．综上，当a＝eq\f(1,2)时，方程f(x)＝1只有一个解；当a≠eq\f(1,2)且a>0时，方程f(x)＝1有两个解．[注]部分题型利用分离法处理时，会出现“eq\f(0,0)”型的代数式，这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题有效的方法就是洛必达法则．法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lieq\o(m,\s\do4(x→a))f(x)＝0及lieq\o(m,\s\do4(x→a))g(x)＝0；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(f′(x),g′(x))＝l．那么lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(f(x),g(x))＝lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(f′(x),g′(x))＝l．法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lieq\o(m,\s\do4(x→a))f(x)＝∞及lieq\o(m,\s\do4(x→a))g(x)＝∞；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(f′(x),g′(x))＝l．那么lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(f(x),g(x))＝lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(f′(x),g′(x))＝l．[题后悟通]对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法有两个．(1)分离参数：得到参数与超越函数式相等的式子，借助导数分析函数的单调区间和极值，结合图形，由参数函数与超越函数的交点个数，易得交点个数的分类情况；(2)构造新函数：求导，用单调性判定函数的取值情况，再根据零点存在定理证明零点的存在性．[例2]设函数f(x)＝eq\f(x2,2)－klnx，k>0．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，eq\r(e)]上仅有一个零点．[规范解答](1)函数的定义域为(0，＋∞)．由f(x)＝eq\f(x2,2)－klnx(k>0)，得f′(x)＝x－eq\f(k,x)＝eq\f(x2－k,x)．由f′(x)＝0，解得x＝eq\r(k)(负值舍去)．f′(x)与f(x)在区间(0，＋∞)上随x的变化情况如下表：x(0，eq\r(k))eq\r(k)(eq\r(k)，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘eq\f(k1－lnk,2)↗所以，f(x)的单调递减区间是(0，eq\r(k))，单调递增区间是(eq\r(k)，＋∞)．f(x)在x＝eq\r(k)处取得极小值f(eq\r(k))＝eq\f(k1－lnk,2)，无极大值．(2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(eq\r(k))＝eq\f(k1－lnk,2)．因为f(x)存在零点，所以eq\f(k1－lnk,2)≤0，从而k≥e，当k＝e时，f(x)在区间(1，eq\r(e)]上单调递减且f(eq\r(e))＝0，所以x＝eq\r(e)是f(x)在区间(1，eq\r(e)]上的唯一零点；当k>e时，f(x)在区间(1，eq\r(e)]上单调递减且f(1)＝eq\f(1,2)>0，f(eq\r(e))＝eq\f(e－k,2)<0，所以f(x)在区间(1，eq\r(e)]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，eq\r(e)]上仅有一个零点．[例3]已知函数f(x)＝eq\f(alnx＋b,x)(a，b∈R，a≠0)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论方程f(x)＝1根的个数．[规范解答](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(a－b－alnx,x2)，由f′(1)＝a－b＝－a，得b＝2a，所以f(x)＝eq\f(a(lnx＋2),x)，f′(x)＝－eq\f(a(lnx＋1),x2).当a>0时，由f′(x)>0，得0<x<eq\f(1,e)；由f′(x)<0，得x>eq\f(1,e).当a<0时，由f′(x)>0，得x>eq\f(1,e)；由f′(x)<0，得0<x<eq\f(1,e).综上，当a>0时，f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))；当a<0时，f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))).(2)f(x)＝1，即方程eq\f(alnx＋2a,x)＝1，即方程eq\f(1,a)＝eq\f(lnx＋2,x)，构造函数h(x)＝eq\f(lnx＋2,x)，则h′(x)＝－eq\f(1＋lnx,x2)，令h′(x)＝0，得x＝eq\f(1,e)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上h′(x)>0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上h′(x)<0，即h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上单调递减，所以h(x)max＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝e.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上，h(x)单调递减且h(x)＝eq\f(lnx＋2,x)>0，当x无限增大时，h(x)无限接近0；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上，h(x)单调递增且当x无限接近0时，lnx＋2负无限大，故h(x)负无限大．故当0<eq\f(1,a)<e，即a>eq\f(1,e)时，方程f(x)＝1有两个不等实根，当a＝eq\f(1,e)时，方程f(x)＝1只有一个实根，当a<0时，方程f(x)＝1只有一个实根．综上可知，当a>eq\f(1,e)时，方程f(x)＝1有两个实根；当a<0或a＝eq\f(1,e)时，方程f(x)＝1有一个实根；当0<a<eq\f(1,e)时，方程f(x)＝1无实根．[例4]已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)若直线y＝kx与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；(2)若m<0，讨论函数g(x)＝f(x)＋mx2零点的个数．[规范解答](1)f(x)的反函数为y＝lnx，x>0，则y′＝eq\f(1,x)．设切点为(x0，lnx0)，则切线斜率为k＝eq\f(1,x0)＝eq\f(lnx0,x0)，故x0＝e，k＝eq\f(1,e).(2)函数g(x)＝f(x)＋mx2的零点的个数即是方程f(x)＋mx2＝0的实根的个数(当x＝0时，方程无解)，等价于函数h(x)＝eq\f(ex,x2)(x≠0)与函数y＝－m图象交点的个数．h′(x)＝eq\f(ex(x－2),x3).当x∈(－∞，0)时，h′(x)>0，h(x)在(－∞，0)上单调递增；当x∈(0,2)时，h′(x)<0，h(x)在(0,2)上单调递减；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)上单调递增．∴h(x)的大致图象如图：∴h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(2)＝eq\f(e2,4).∴当－m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(e2,4)))，即m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(e2,4)，0))时，函数h(x)＝eq\f(ex,x2)与函数y＝－m图象交点的个数为1；当－m＝eq\f(e2,4)，即m＝－eq\f(e2,4)时，函数h(x)＝eq\f(ex,x2)与函数y＝－m图象交点的个数为2；当－m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞))，即m∈－∞，－eq\f(e2,4)时，函数h(x)＝eq\f(ex,x2)与函数y＝－m图象交点的个数为3.综上所述，当m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(e2,4)))时，函数g(x)有三个零点；当m＝－eq\f(e2,4)时，函数g(x)有两个零点；当m∈－eq\f(e2,4)，0时，函数g(x)有一个零点．[例5]已知函数f(x)＝－x3＋ax－eq\f(1,4)，g(x)＝ex－e(e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线与曲线y＝g(x)在(0，g(0))处的切线互相垂直，求实数a的值；(2)设函数h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(x)，f(x)≥g(x)，,g(x)，f(x)<g(x)，))试讨论函数h(x)零点的个数．[规范解答](1)f′(x)＝－3x2＋a，g′(x)＝ex，所以f′(0)＝a，g′(0)＝1，由题意，知a＝－1．(2)易知函数g(x)＝ex－e在R上单调递增，仅在x＝1处有一个零点，且x<1时，g(x)<0，又f′(x)＝－3x2＋a，①当a≤0时，f′(x)≤0，f(x)在R上单调递减，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)))，f(－1)＝eq\f(3,4)－a>0，即f(x)在x≤0时必有一个零点，此时y＝h(x)有两个零点；②当a>0时，令f′(x)＝－3x2＋a＝0，得两根为x1＝－eq\r(\f(a,3))<0，x2＝eq\r(\f(a,3))>0，则－eq\r(\f(a,3))是函数f(x)的一个极小值点，eq\r(\f(a,3))是函数f(x)的一个极大值点，而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(a,3))))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(a,3))))3＋aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(a,3))))－eq\f(1,4)＝－eq\f(2a,3)eq\r(\f(a,3))－eq\f(1,4)<0．现在讨论极大值的情况：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,3))))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,3))))3＋aeq\r(\f(a,3))－eq\f(1,4)＝eq\f(2a,3)eq\r(\f(a,3))－eq\f(1,4)，当feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,3))))<0，即a<eq\f(3,4)时，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上恒小于零，此时y＝h(x)有两个零点；当feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,3))))＝0，即a＝eq\f(3,4)时，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有一个零点x0＝eq\r(\f(a,3))＝eq\f(1,2)，此时y＝h(x)有三个零点；当feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a),3)))>0，即a>eq\f(3,4)时，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于eq\r(\f(a,3))，一个零点大于eq\r(\f(a,3))，若f(1)＝a－eq\f(5,4)<0，即a<eq\f(5,4)时，y＝h(x)有四个零点；若f(1)＝a－eq\f(5,4)＝0，即a＝eq\f(5,4)时，y＝h(x)有三个零点；若f(1)＝a－eq\f(5,4)>0，即a>eq\f(5,4)时，y＝h(x)有两个零点．综上所述：当a<eq\f(3,4)或a>eq\f(5,4)时，y＝h(x)有两个零点；当a＝eq\f(3,4)或a＝eq\f(5,4)时，y＝h(x)有三个零点；当eq\f(3,4)<a<eq\f(5,4)时，y＝h(x)有四个零点．[例6]已知函数f(x)＝eq\f(1,2)ax2－(a＋2)x＋2lnx(a∈R)．(1)若a＝0，求证：f(x)<0；(2)讨论函数f(x)零点的个数．[破题思路](1)当a＝0时，f(x)＝－2x＋2lnx(x>0)，f′(x)＝－2＋eq\f(2,x)＝eq\f(21－x,x)，设g(x)＝1－x，根据g(x)的正负可画出f(x)的图象如图(1)所示．(2)f′(x)＝eq\f(x－1ax－2,x)(x>0)，令g(x)＝(x－1)(ax－2)，当a＝0时，由(1)知f(x)没有零点；当a>0时，画g(x)的正负图象时，需分eq\f(2,a)＝1，eq\f(2,a)>1，eq\f(2,a)<1三种情形进行讨论，再根据极值、端点走势可画出f(x)的图象，如图(2)(3)(4)所示；当a<0时，同理可得图(5)．综上，易得f(x)的零点个数．[规范解答](1)当a＝0时，f′(x)＝－2＋eq\f(2,x)＝eq\f(21－x,x)，由f′(x)＝0得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)在(0,1)上单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减．所以f(x)≤f(x)max＝f(1)＝－2，即f(x)<0.(2)由题意知f′(x)＝ax－(a＋2)＋eq\f(2,x)＝eq\f(ax2－a＋2x＋2,x)＝eq\f(x－1ax－2,x)(x>0)，当a＝0时，由第(1)问可得函数f(x)没有零点．当a>0时，①当eq\f(2,a)＝1，即a＝2时，f′(x)≥0恒成立，仅当x＝1时取等号，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－eq\f(1,2)a－2＝－eq\f(1,2)×2－2<0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上有一个零点．②当eq\f(2,a)>1，即0<a<2时，若0<x<1或x>eq\f(2,a)，则f′(x)>0，f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))上单调递增；若1<x<eq\f(2,a)，则f′(x)<0，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,a)))上单调递减．又f(1)＝eq\f(1,2)a－(a＋2)＋2ln1＝－eq\f(1,2)a－2<0，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))<f(1)<0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以函数f(x)仅有一个零点在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))上；③当0<eq\f(2,a)<1，即a>2时，若0<x<eq\f(2,a)或x>1，则f′(x)>0，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))和(1，＋∞)上单调递增；若eq\f(2,a)<x<1，则f′(x)<0，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，1))上单调递减．因为a>2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝－eq\f(2,a)－2＋2lneq\f(2,a)<－eq\f(2,a)－2＋2ln1<0，又x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以函数f(x)仅有一个零点在区间(1，＋∞)上．当eq\f(2,a)<0，即a<0时，若0<x<1，f′(x)>0，f(x)在(0,1)上单调递增；若x>1，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减．当x→0时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞，又f(1)＝eq\f(1,2)a－(a＋2)＋2ln1＝－eq\f(1,2)a－2＝eq\f(－a－4,2).当f(1)＝eq\f(－a－4,2)>0，即a<－4时，函数f(x)有两个零点；当f(1)＝eq\f(－a－4,2)＝0，即a＝－4时，函数f(x)有一个零点；当f(1)＝eq\f(－a－4,2)<0，即－4<a<0时，函数f(x)没有零点．综上，当a<－4时，函数f(x)有两个零点；当a＝－4时，函数f(x)有一个零点；当－4<a≤0时，函数f(x)没有零点；当a>0时，函数f(x)有一个零点．[题后悟通]解决本题运用了分类、分层的思想方法，表面看起来非常繁杂．但若能用好“双图法”处理问题，可回避不等式f′(x)>0与f′(x)<0的求解，特别是含有参数的不等式求解，而从f′(x)抽象出与其正负有关的函数g(x)，画图更方便，观察图形即可直观快速地得到f(x)的单调性，大大提高解题的效率．[对点训练]1．(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．1．解析(1)当a＝3时，f(x)＝eq\f(1,3)x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3．令f′(x)＝0解得x＝3－2eq\r(3)或x＝3＋2eq\r(3).当x∈(－∞，3－2eq\r(3))∪(3＋2eq\r(3)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－2eq\r(3)，3＋2eq\r(3))时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，3－2eq\r(3))，(3＋2eq\r(3)，＋∞)单调递增，在(3－2eq\r(3)，3＋2eq\r(3))单调递减．(2)由于x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等价于eq\f(x3,x2＋x＋1)－3a＝0.设g(x)＝eq\f(x3,x2＋x＋1)－3a，则g′(x)＝eq\f(x2（x2＋2x＋3）,（x2＋x＋1）2)≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－eq\f(1,3)＝－6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,6)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,6)<0，f(3a＋1)＝eq\f(1,3)>0，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．2．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝eq\r(x)＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…．(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．2．解析(1)由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－eq\r(x)－x，所以h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－3－eq\r(2)＞0，所以h(1)h(2)＜0，所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点．(2)由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－eq\r(x)－x．由g(x)＝eq\r(x)＋x知x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点．又h(x)在(1，2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．h′(x)＝ex－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)－1，记φ(x)＝ex－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)－1，则φ′(x)＝ex＋eq\f(1,4)x－eq\f(3,2)．当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内只有一个零点，则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2．3．设函数f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，m∈R．(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)零点的个数．3．解析(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋eq\f(e,x)，则f′(x)＝eq\f(x－e,x2)，∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋eq\f(e,e)＝2，∴f(x)的极小值为2．(2)由题设g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)＝eq\f(1,x)－eq\f(m,x2)－eq\f(x,3)(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－eq\f(1,3)x3＋x(x>0)．设φ(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x(x>0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝eq\f(2,3)．又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知，①当m>eq\f(2,3)时，函数g(x)无零点；②当m＝eq\f(2,3)时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0<m<eq\f(2,3)时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m>eq\f(2,3)时，函数g(x)无零点；当m＝eq\f(2,3)或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<eq\f(2,3)时，函数g(x)有两个零点．4．已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,ax)－eq\f(1,a)，a∈R且a≠0.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))时，试判断函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点个数．4．解析(1)f′(x)＝eq\f(ax－1,ax2)(x>0)，当a<0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，由f′(x)>0，得x>eq\f(1,a)；由f′(x)<0，得0<x<eq\f(1,a)，∴函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上单调递减．综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上单调递减．(2)∵当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))时，函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点，即当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))时，方程(lnx－1)ex＋x＝m的根．令h(x)＝(lnx－1)ex＋x，则h′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋lnx－1))ex＋1.由(1)知当a＝1时，f(x)＝lnx＋eq\f(1,x)－1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))上单调递减，在(1，e)上单调递增，∴当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))时，f(x)≥f(1)＝0．∴eq\f(1,x)＋lnx－1≥0在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上恒成立．∴h′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋lnx－1))ex＋1≥0＋1>0，∴h(x)＝(lnx－1)ex＋x在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上单调递增．∴h(x)min＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－2e＋eq\f(1,e)，h(x)max＝e.∴当m<－2e＋eq\f(1,e)或m>e时，函数g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上没有零点；当－2e＋eq\f(1,e)≤m≤e时，函数g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有且只有一个零点．5．设函数f(x)＝ex－2a－ln(x＋a)，a∈R，e为自然对数的底数．(1)若a>0，且函数f(x)在区间[0，＋∞)内单调递增，求实数a的取值范围；(2)若0<a<eq\f(2,3)，试判断函数f(x)的零点个数．5．解析(1)∵函数f(x)在[0，＋∞)内单调递增，∴f′(x)＝ex－eq\f(1,x＋a)≥0在[0，＋∞)内恒成立．即a≥e－x－x在[0，＋∞)内恒成立．记g(x)＝e－x－x，则g′(x)＝－e－x－1<0恒成立，∴g(x)在区间[0，＋∞)内单调递减，∴g(x)≤g(0)＝1，∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋∞)．(2)∵0<a<eq\f(2,3)，f′(x)＝ex－eq\f(1,x＋a)(x>－a)，记h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝ex＋eq\f(1,(x＋a)2)>0，知f′(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，＋∞))内单调递增．又∵f′(0)＝1－eq\f(1,a)<0，f′(1)＝e－eq\f(1,a＋1)>0，∴f′(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，＋∞))内存在唯一的零点x0，即f′(x0)＝－eq\f(1,x0＋a)＝0，于是＝eq\f(1,x0＋a)，x0＝－lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋a))．当－a<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)min＝f(x0)＝－2a－lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋a))＝eq\f(1,x0＋a)－2a＋x0＝x0＋a＋eq\f(1,x0＋a)－3a≥2－3a，当且仅当x0＋a＝1时，取等号．由0<a<eq\f(2,3)，得2－3a>0，∴f(x)min＝f(x0)>0，即函数f(x)没有零点．6．已知函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2(a∈R)．(1)若f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)讨论函数f(x)在区间[1，e2]上零点的个数．6．解析(1)f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－ax＝eq\f(1－ax2,x)，则f′(2)＝eq\f(1－4a,2)．因为直线2x＋y＋2＝0的斜率为－2，所以(－2)×eq\f(1－4a,2)＝－1，解得a＝0．(2)f′(x)＝eq\f(1－ax2,x)，x∈(0，＋∞)，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′(x)>0，,x>0))得0<x<eq\f(\r(a),a)；由f′(x)<0得x>eq\f(\r(a),a)，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(a),a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a),a)，＋∞))上单调递减．综上所述：当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(a),a)))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a),a)，＋∞))．(3)由(2)可知，(ⅰ)当a<0时，f(x)在[1，e2]上单调递增，而f(1)＝－eq\f(1,2)a>0，故f(x)在[1，e2]上没有零点．(ⅱ)当a＝0时，f(x)在[1，e2]上单调递增，而f(1)＝－eq\f(1,2)a＝0，故f(x)在[1，e2]上有一个零点．(ⅲ)当a>0时，①若eq\f(\r(a),a)≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e2]上单调递减．因为f(1)＝－eq\f(1,2)a<0，所以f(x)在[1，e2]上没有零点．②若1<eq\f(\r(a),a)≤e2，即eq\f(1,e4)≤a<1时，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(a),a)))上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(a),a)，e2))上单调递减，而f(1)＝－eq\f(1,2)a<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a),a)))＝－eq\f(1,2)lna－eq\f(1,2)，f(e2)＝2－eq\f(1,2)ae4，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a),a)))＝－eq\f(1,2)lna－eq\f(1,2)<0，即a>eq\f(1,e)时，f(x)在[1，e2]上没有零点；若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a),a)))＝－eq\f(1,2)lna－eq\f(1,2)＝0，即a＝eq\f(1,e)时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a),a)))＝－eq\f(1,2)lna－eq\f(1,2)>0，即a<eq\f(1,e)时，由f(e2)＝2－eq\f(1,2)ae4>0，得a<eq\f(4,e4)，此时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；由f(e2)＝2－eq\f(1,2)ae4≤0，得a≥eq\f(4,e4)，此时，f(x)在[1，e2]上有两个零点；③若eq\f(\r(a),a)≥e2，即0<a≤eq\f(1,e4)时，f(x)在[1，e2]上单调递增，因为f(1)＝－eq\f(1,2)a<0，f(e2)＝2－eq\f(1,2)ae4>0，所以f(x)在[1，e2]上有一个零点．综上所述：当a<0或a>eq\f(1,e)时，f(x)在[1，e2]上没有零点；当0≤a<eq\f(4,e4)或a＝eq\f(1,e)时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；当eq\f(4,e4)≤a<eq\f(1,e)时，f(x)在[1，e2]上有两个零点．专题38由函数零点或方程根的个数求参数范围问题【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝x2＋eq\f(2,x)－alnx(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)有唯一的零点x0，求[x0]．注：[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2．(参考数据：ln2＝0.693，ln3＝1.099，ln5＝1.609，ln7＝1.946)[规范解答](1)∵f(x)＝x2＋eq\f(2,x)－alnx，∴f′(x)＝eq\f(2x3－ax－2,x2)(x>0)，由题意得f′(2)＝0，则2×23－2a－2＝0，a＝7，经验证，当a＝7时，f(x)在x＝2处取得极值，∴f(x)＝x2＋eq\f(2,x)－7lnx，f′(x)＝2x－eq\f(2,x2)－eq\f(7,x)，∴f′(1)＝－7，f(1)＝3，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－3＝－7(x－1)，即7x＋y－10＝0．(2)令g(x)＝2x3－ax－2(x>0)，则g′(x)＝6x2－a，由a>0，g′(x)＝0，可得x＝eq\r(\f(a,6))，∴g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(a,6))))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,6))，＋∞))上单调递增．由于g(0)＝－2<0，故当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(a,6))))时，g(x)<0，又g(1)＝－a<0，故g(x)在(1，＋∞)上有唯一零点，设为x1，从而可知f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，由于f(x)有唯一零点x0，故x1＝x0，且x0>1，则g(x0)＝0，f(x0)＝0，可得2lnx0－eq\f(3,x\o\al(3,0)－1)－1＝0．令h(x)＝2lnx－eq\f(3,x3－1)－1(x>1)，易知h(x)在(1，＋∞)上单调递增，由于h(2)＝2ln2－eq\f(10,7)<2×0.7－eq\f(10,7)<0，h(3)＝2ln3－eq\f(29,26)>0，故x0∈(2，3)，[x0]＝2．[例2]已知函数f(x)＝xex－eq\f(1,2)a(x＋1)2．(1)若a＝e，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．[破题思路]第(1)问求f(x)的极值，想到求f′(x)＝0的解，然后根据单调性求极值；第(2)问求实数a的取值范围，想到建立关于a的不等式，给出函数f(x)的解析式，并已知f(x)有两个零点，利用f(x)的图象与x轴有两个交点求解．[规范解答](1)由题意知，当a＝e时，f(x)＝xex－eq\f(1,2)e(x＋1)2，函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝(x＋1)ex－e(x＋1)＝(x＋1)(ex－e)．令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值－eq\f(1,e)极小值－e所以当x＝－1时，f(x)取得极大值－eq\f(1,e)；当x＝1时，f(x)取得极小值－e．(2)法一：分类讨论法f′(x)＝(x＋1)ex－a(x＋1)＝(x＋1)(ex－a)，若a＝0，易知函数f(x)在(－∞，＋∞)上只有一个零点，故不符合题意．若a<0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．由f(－1)＝－eq\f(1,e)<0，且f(1)＝e－2a>0，当x→－∞时，f(x)→＋∞，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点．若lna<－1，即0<a<eq\f(1,e)，当x∈(－∞，lna)∪(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(lna，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．又f(lna)＝alna－eq\f(1,2)a(lna＋1)2<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上至多有一个零点，故不符合题意．若lna＝－1，即a＝eq\f(1,e)，当x∈(－∞，＋∞)时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，故不符合题意．若lna>－1，即a>eq\f(1,e)，当x∈(－∞，－1)∪(lna，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－1，lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．又f(－1)＝－eq\f(1,e)<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上至多有一个零点，故不符合题意．综上，实数a的取值范围是(－∞，0)．法二：数形结合法令f(x)＝0，即xex－eq\f(1,2)a(x＋1)2＝0，得xex＝eq\f(1,2)a(x＋1)2．当x＝－1时，方程为－e－1＝eq\f(1,2)a×0，显然不成立，所以x＝－1不是方程的解，即－1不是函数f(x)的零点．当x≠－1时，分离参数得a＝eq\f(2xex,(x＋1)2)．记g(x)＝eq\f(2xex,(x＋1)2)(x≠－1)，则g′(x)＝eq\f((2xex)′(x＋1)2－[(x＋1)2]′·2xex,(x＋1)4)＝eq\f(2ex(x2＋1),(x＋1)3)．当x<－1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．当x＝0时，g(x)＝0；当x→－∞时，g(x)→0；当x→－1时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞．故函数g(x)的图象如图所示．作出直线y＝a，由图可知，当a<0时，直线y＝a和函数g(x)的图象有两个交点，此时函数f(x)有两个零点．故实数a的取值范围是(－∞，0)．[题后悟通]利用函数零点的情况求参数范围的方法(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解[例3]已知函数f(x)＝ex－2x－1．(1)求曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程；(2)设g(x)＝af(x)＋(1－a)ex，若g(x)有两个零点，求实数a的取值范围．[规范解答](1)由题意知f′(x)＝ex－2，k＝f′(0)＝1－2＝－1，又f(0)＝e0－2×0－1＝0，∴f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝－x．(2)g(x)＝ex－2ax－a，g′(x)＝ex－2a．当a≤0时，g′(x)>0，∴g(x)在R上单调递增，不符合题意．当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)，在(－∞，ln(2a))上，g′(x)<0，在(ln(2a)，＋∞)上，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增，∴g(x)极小值＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－a＝a－2aln(2a)．∵g(x)有两个零点，∴g(x)极小值<0，即a－2aln(2a)<0，∵a>0，∴ln(2a)>eq\f(1,2)，解得a>eq\f(\r(e),2)，∴实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(e),2)，＋∞))．[例4]已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R．(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．[规范解答](1)当a＝0时，f(x)＝lnx＋x，f(e)＝e＋1，f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，f′(e)＝1＋eq\f(1,e)，∴曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－(e＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,e)))(x－e)，即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)＋1))x．(2)f′(x)＝eq\f(1,x)－2ax＋1＝eq\f(－2ax2＋x＋1,x)，x>0，①当a≤0时，显然f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a>0时，令f′(x)＝eq\f(－2ax2＋x＋1,x)＝0，则－2ax2＋x＋1＝0，易知其判别式为正，设方程的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则x1x2＝－eq\f(1,2a)<0，∴x1<0<x2，∴f′(x)＝eq\f(－2ax2＋x＋1,x)＝eq\f(－2a(x－x1)(x－x2),x)，x>0．令f′(x)>0，得x∈(0，x2)；令f′(x)<0，得x∈(x2，＋∞)，其中x2＝eq\f(1＋\r(8a＋1),4a)，∴函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋\r(8a＋1),4a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(8a＋1),4a)，＋∞))上单调递减．(3)法一：由(2)知，①当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，至多一个零点，不符合题意；②当a>0时，函数f(x)在(0，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(x2)．要使f(x)有两个零点，需f(x2)>0，即lnx2－axeq\o\al(2,2)＋x2>0，又由f′(x2)＝0得axeq\o\al(2,2)＝eq\f(1＋x2,2)，代入上面的不等式得2lnx2＋x2>1，解得x2>1，∴a＝eq\f(1＋x2,2x\o\al(2,2))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x\o\al(2,2))＋\f(1,x2)))<1．下面证明：当a∈(0，1)时，f(x)有两个零点．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝lneq\f(1,e)－ae－2＋eq\f(1,e)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝lneq\f(2,a)－a·eq\f(4,a2)＋eq\f(2,a)<eq\f(2,a)－a·eq\f(4,a2)＋eq\f(2,a)＝0(∵lnx<x)．又x2＝eq\f(1＋\r(8a＋1),4a)<eq\f(1＋\r(8＋1),4a)＝eq\f(1,a)<eq\f(2,a)，且x2＝eq\f(1＋\r(8a＋1),4a)＝eq\f(2,\r(8a＋1)－1)>eq\f(2,\r(8＋1)－1)＝1>eq\f(1,e)，f(x2)＝lnx2－axeq\o\al(2,2)＋x2＝eq\f(1,2)(2lnx2＋x2－1)>0，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，x2))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(2,a)))上各有一个零点．∴a的取值范围为(0，1)．法二：函数f(x)有两个零点，等价于方程a＝eq\f(lnx＋x,x2)有两解．令g(x)＝eq\f(lnx＋x,x2)，x>0，则g′(x)＝eq\f(1－2lnx－x,x3)．由g′(x)＝eq\f(1－2lnx－x,x3)>0，得2lnx＋x<1，解得0<x<1，∴g(x)在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，又当x≥1时，g(x)>0，当x→0时，g(x)→－∞，∴作出函数g(x)的简图如图，结合函数值的变化趋势猜想：当a∈(0，1)时符合题意．下面给出证明：当a≥1时，a≥g(x)max，方程至多一解，不符合题意；当a≤0时，方程至多一解，不符合题意；当a∈(0，1)时，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))<0，∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))－a<0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝eq\f(a2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(2,a)＋\f(2,a)))<eq\f(a2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(2,a)))＝a，∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))－a<0．∴方程在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,a)))上各有一个根，∴f(x)有两个零点．∴a的取值范围为(0，1)．[例5](2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)·ex－x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．[规范解答](1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．(ⅰ)若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．(ⅱ)若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝－lna．当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)＜0；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)＞0．所以f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，＋∞)单调递增．(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．(ⅱ)若a＞0，由(1)知，当x＝－lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(－lna)＝1－eq\f(1,a)＋lna．①当a＝1时，由于f(－lna)＝0，故f(x)只有一个零点；②当a∈(1，＋∞)时，由于1－eq\f(1,a)＋lna＞0，即f(－lna)＞0，故f(x)没有零点；③当a∈(0，1)时，1－eq\f(1,a)＋lna＜0，即f(－lna)＜0．又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，－lna)有一个零点．设正整数n0满足n0＞lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)－1))，则f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0．由于lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)－1))＞－lna，因此f(x)在(－lna，＋∞)有一个零点．综上，a的取值范围为(0，1)．[例6]已知a∈R，函数f(x)＝ex－ax(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)若函数f(x)在区间(－e，－1)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)若函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2lnx＋a)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内无零点，求实数a的最大值．[规范解答](1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a且f′(x)在R上单调递增．若f(x)在区间(－e，－1)上是减函数，只需f′(x)≤0在(－e，－1)上恒成立．因此只需f′(－1)＝e－1－a≤0，解得a≥eq\f(1,e)．又当a＝eq\f(1,e)时，f′(x)＝ex－eq\f(1,e)≤0，当且仅当x＝－1时取等号．所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))．(2)由已知得F(x)＝a(x－1)－2lnx，且F(1)＝0，则F′(x)＝a－eq\f(2,x)＝eq\f(ax－2,x)＝eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a))),x)，x>0．①当a≤0时，F′(x)<0，F(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，结合F(1)＝0知，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，F(x)>0．所以F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内无零点．②当a>0时，令F′(x)＝0，得x＝eq\f(2,a)．若eq\f(2,a)≥eq\f(1,2)，即a∈(0，4]时，F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上是减函数．又x→0时，F(x)→＋∞．要使F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内无零点，只需Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(a,2)－2lneq\f(1,2)≥0，则0<a≤4ln2．若eq\f(2,a)<eq\f(1,2)，即a>4时，则F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))上是减函数，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，\f(1,2)))上是增函数．所以F(x)min＝Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝2－a－2lneq\f(2,a)，令φ(a)＝2－a－2lneq\f(2,a)，则φ′(a)＝－1＋eq\f(2,a)＝eq\f(2－a,a)<0．所以φ(a)在(4，＋∞)上是减函数，则φ(a)<φ(4)＝2ln2－2<0．因此Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))<0，所以F(x)在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内一定有零点，不合题意，舍去．综上，函数F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内无零点，应有a≤4ln2，所以实数a的最大值为4ln2．【对点训练】1．(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2．(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a．1．解析(1)当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0．设函数g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x．当x≠1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减．而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1．(2)设函数h(x)＝1－ax2e－x．当且仅当h(x)在(0，＋∞)只有一个零点时，f(x)在(0，＋∞)只有一个零点．①当a≤0时，h(x)>0，h(x)没有零点；②当a>0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x．当x∈(0，2)时，h′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0．所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．故h(2)＝1－eq\f(4a,e2)是h(x)在[0，＋∞)的最小值．1)若h(2)>0，即a<eq\f(e2,4)，h(x)在(0，＋∞)没有零点；2)若h(2)＝0，即a＝eq\f(e2,4)，h(x)在(0，＋∞)只有一个零点；3)若h(2)<0，即a>eq\f(e2,4)，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0，2)有一个零点．由(1)知，当x>0时，ex>x2，所以h(4a)＝1－eq\f(16a3,e4a)＝1－eq\f(16a3,e2a2)>1－eq\f(16a3,2a4)＝1－eq\f(1,a)>0．故h(x)在(2，4a)有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)有两个零点．综上，f(x)在(0，＋∞)只有一个零点时，a＝eq\f(e2,4)．2．设函数f(x)＝lnx＋x.(1)令F(x)＝f(x)＋eq\f(a,x)－x(0<x≤3)，若F(x)的图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤eq\f(1,2)恒成立，求实数a的取值范围；(2)若方程2mf(x)＝x2有唯一实数解，求正数m的值．2．解析(1)∵F(x)＝lnx＋eq\f(a,x)，x∈(0，3]，∴F′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2)，∴k＝F′(x0)＝eq\f(x0－a,x\o\al(2,0))，∵F(x)的图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤eq\f(1,2)恒成立，∴k＝eq\f(x0－a,x\o\al(2,0))≤eq\f(1,2)在x0∈(0，3]上恒成立，∴a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x\o\al(2,0)＋x0))max，x0∈(0，3]，当x0＝1时，－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋x0取得最大值eq\f(1,2)，∴a≥eq\f(1,2)，即实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)∵方程2mf(x)＝x2有唯一实数解，∴x2－2mlnx－2mx＝0有唯一实数解．设g(x)＝x2－2mlnx－2mx，则g′(x)＝eq\f(2x2－2mx－2m,x)．令g′(x)＝0，则x2－mx－m＝0.∵m>0，∴Δ＝m2＋4m>0，∵x>0，∴x1＝eq\f(m－\r(m2＋4m),2)<0(舍去)，x2＝eq\f(m＋\r(m2＋4m),2)，当x∈(0，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上单调递减，当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2，＋∞)单调递增，当x＝x2时，g′(x2)＝0，g(x)取最小值g(x2)．∵g(x)＝0有唯一解，∴g(x2)＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g′(x2)＝0，,g(x2)＝0，))即xeq\o\al(2,2)－2mlnx2－2mx2＝xeq\o\al(2,2)－mx2－m，∴2mlnx2＋mx2－m＝0，∵m>0，∴2lnx2＋x2－1＝0.(*)设函数h(x)＝2lnx＋x－1，∵当x>0时，h(x)是增函数，∴h(x)＝0至多有一解．∵h(1)＝0，∴方程(*)的解为x2＝1，即1＝eq\f(m＋\r(m2＋4m),2)，解得m＝eq\f(1,2).3．函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．3．解析(1)由题意知，f′(x)＝a＋lnx＋1(x>0)，f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋xlnx，即f′(x)＝lnx，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1．∴f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)上有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m＋1在(0，＋∞)上有两个不同的根，也可转化为y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①当0<x<1时，f(x)＝x(－1＋lnx)<0；当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞．如图，由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1．故实数m的取值范围为(－2，－1)．4．设函数f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))上有两个零点，求实数a的取值范围．4．解析(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝－2x－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(－2x2－x＋1,x)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,2)(负值舍去)，当0<x<eq\f(1,2)时，f′(x)>0；当x>eq\f(1,2)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))．(2)令f(x)＝－x2＋ax＋lnx＝0，得a＝x－eq\f(lnx,x)，令g(x)＝x－eq\f(lnx,x)，其中x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，则g′(x)＝1－eq\f(\f(1,x)·x－lnx,x2)＝eq\f(x2＋lnx－1,x2)，令g′(x)＝0，得x＝1，当eq\f(1,3)≤x<1时，g′(x)<0；当1<x≤3时，g′(x)>0，∴g(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))，单调递增区间为(1，3]，∴g(x)min＝g(1)＝1，由于函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))上有两个零点，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝3ln3＋eq\f(1,3)，g(3)＝3－eq\f(ln3,3)，3ln3＋eq\f(1,3)>3－eq\f(ln3,3)，∴实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，3－\f(ln3,3)))．5．已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．5．解析(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0．所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．②设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．若a＝－eq\f(e,2)，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，所以f(x)在(－