《等差和等比数列常见结论总结》

《等差数列和等比数列常见结论总结》判断给定的数列是等差数列的方法定义法：是常数数列是等差数列；通项公式法：数列是等差数列；前n项和法：数列的前n项和数列是等差数列；等差中项法：数列是等差数列；等差数列的通项公式的推广和公差的公式：；若A是a与b的等差中项若数列，都是等差数列且项数相同，则都是等差数列；等差数列中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；等差数列中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；若数列是等差数列，且项数满足，则，反之也成立；当时，，即的等差中项；若数列是等差数列的充要条件是前n项和公式，是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即；若数列的前n项和，则数列从第二项起是等差数列；若数列是等差数列，前n项和为，则也是等差数列，其首项和的首项相同，公差是公差的；若数列，都是等差数列，其前n项和分别为，则；若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为；等差数列的前n项和为，且分别为数列的前m项,2m项,3m项,4m项,……的和，则成等差数列（等差数列的片段和性质）；等差数列中，若项数n为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为，则；若项数n为偶数，；在等差数列中，若公差，则等差数列为递增数列；若公差，则等差数列为递减数列；若公差，则等差数列为常数列；有关等差数列的前n项和为的最值问题：何时存在最大值和最小值若，则前n项和为存在最大值若，则前n项和为存在最小值如何求最值方法一：（任何数列都通用）通过解出n可求前n项和为的最大值；通过解出n可求前n项和为的最小值；方法二：利用等差数列前n项和的表达式为关于n的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n项和不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n正好取得正整数，则此时n就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n就取靠近对称轴的那个正整数；利用等差数列的相关性质求解16，用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”等比数列常见结论对等比数列定义的理解是从第二项开始，每一项与前一项的比每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为0等比数列中任何一项都不为0符号语言的描述：若数列中满足（不为0的常数），则数列为等比数列；当且仅当两个数a和b同号是才存在等比中项，且等比中项为若成等比数列，则判断给定的数列是等比数列的方法（1）定义法：（不为0的常数）数列为等比数列；（2）中项法：数列为等比数列；前n项和法：数列的前n项和（A是常数，）数列为等比数列；等比数列通项公式的推广：若为等比数列，则若数列是等比数列，且项数满足，则，反之也成立；当时，，即的等比中项；等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项也等比数列；等比数列中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列；若数列，都是等比数列且项数相同，则都是等比数列；若等比数列的公比为参数，则在求前n项和时应分两种情况讨论，即；当时若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为；（等比数列的片段和性质）公比不为的等比数列前n项和为，则成等比数列；用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”；三、等差与等比数列若正项数列为等比数列，则数列为等差数列；若数列为等差数列，则数列为等比数列；任意两数都存在等差中项为，但不一定都存在等比中项，当且仅当同号时才存在等比中项为；任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列；四、例题分析1，（10年全国Ⅱ理科4）如果等差数列中，，那么（）A，14B，21C，28D，35【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】【答案】C2，（09年宁夏海南理科16）等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】由+-=0得到。【答案】103，（11年广东理11）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，，则______【解析】方法1：由得，求得，则，解得方法2：由得，即，，即，即【答案】10w4，（11年湖南卷理12）设是等差数列的前项和，且，则【命题意图】考查等差数列的通项公式的应用及等差数列求和【解析】由可得，所以。【答案】5，(2022年全国Ⅰ理4)已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（）A，B，7C，6D，【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知，10,所以,所以【答案】A6，(2022宁夏，海南理科17)已知数列是一个等差数列，且，。求的通项；（2）求前n项和的最大值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式和等差数列前n项和最值的求法，着重考查方程思想和二次函数最值问题；【解析】（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，．所以．（Ⅱ）．所以时，取到最大值．7，已知数列是等差数列，且首项，，求前n项和何时取最小值【命题意图】本题考查等差数列的等差数列前n项和最值的求法【解析】方法一：因为，所以前n项和取最小值方法二：因为，所以，即前n项和取最小值方法三：因为，所以的对称轴为，开口向上，且，前n项和取最小值8，已知等差数列前n项和为30，前n项和为100，则前3n项和为______【命题意图】本题考查等差数列的等差数列前n项和的公式及整体代换思想【解析】方法一：（特殊值法）设,则，则前3n项和方法二：利用等差数列前n项和和整体代换思想求解设前n项和为，前2n项和为，所以所以方法三：利用等差数列的片段和性质因为为等差数列，所以成等差数列，所以方法四：利用等差数列前n项和求解，体现整体代换思想因为，所以方法五：利用等差数列中成等差数列求解因为为等差数列，所以9，（2022重庆理1）在等比数列中，，则公比q的值为（）A.2B.3C.4D【命题意图】考查等比数列通项公式或者等比数列通项公式的推广【解析】由【答案】A10，（2022福建理11）在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式．【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。【解析】由题意知，解得，所以通项。【答案】11，（2022全国卷Ⅰ理）设等差数列的前项和为，若,则=【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。【解析】是等差数列,由,得.【答案】2412，（2022辽宁卷理）设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=（）()))A,2B,C,D,3【命题意图】本题考查等比数列的前n项和公式的应用【解析】设公比为q,则＝1＋q3＝3q3＝2于是.【答案】B13，（2022浙江理3）设为等比数列的前项和，，则（）A，11B，5C，D，【命题意图】本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题【解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知【答案】选D，14，(2022年天津卷理科4)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和,,则的值为（）A．-110B．-90C．90D．110【命题意图】本题考查了等差、等比数列的性质、通项公式以及等差数列的前n项和公式【解析】∵，∴，解之得，∴.【答案】D.15，(2022年高考重庆卷理科11)在等差数列中，，则【命题意图】本题考查等差数列的通项公式【解析】∴，故五、反馈练习1，（2022重庆文2）在等差数列中，，则的值为（）A，5B，6C，8D，102，(2022安徽卷文）已知为等差数列，，则等于（）A， B，1 C，3 D，73，（2022江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,,则等于（）A.18B.24C.60D.904，（2022安徽卷理）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（）（A，21B，20C，19D，185，（2022湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于()A．13B．35C．49D．636，（2022福建卷理）等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于（）A．1B2D37，（2022厦门一中模拟文）在等差数列中，,则其前9项的和S9等于（）A．18B27C36D98，（2022福建卷理）等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于（）A．1B2D39，（2022辽宁卷文）已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差d＝（）A.－2B.－C.10，（2022四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（）A.90B.100C.145D11，（2022天津）若等差数列的前5项和，且，则()B.1312，（2022陕西）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）A．64 B．100 C．110 D．12013，（2022广东）记等差数列的前项和为，若，，则（）A．16 B．24 C．36 D．4814，（2022浙江）已知是等比数列，，则=（）（）（）C.（）D.（）15，（2022四川）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()AB.C.D.16，（2022安徽）等差数列的前项和为若（）A．12B．10C．8D17，（2022辽宁）设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D18，(2022湖南)在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（）A．B．C．D．19，（2022全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则.20，（2022辽宁文14）设为等差数列的前项和，若，则。21，（山东省潍坊市2022年高三教学质量检测）设等差数列的前n项和为，若，则=______________．22，（11年北京海淀区二模）已知数列满足，设数列的前项和的最大值为，则_____________．23，（11年江苏徐州4月月考）设等差数列前n项和分别为，且对任意的自然数都有，则的值等于_________．24，在等比数列{}中，则=_____________．25，（10年山东青岛模拟）已知等比数列{}中，前n项和为，则____________．26，(2022全国I)等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为．27，（2022江西）已知等差数列的前项和为，若，则 ．28，已知等差数列{}中，，则这个数列前n项和何时取最大值？29，（2022全国卷Ⅱ文）（本小题满分10分）已知等差数列{}中，求{}前n项和30，（2022浙江文19）（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为，公差为d的等差数列的前n项和为，满足+15=0。（Ⅰ）若=5，求及；（Ⅱ）求d的取值范围。31，（2022北京文16）（本小题共13分）已知为等差数列，且，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求的前n项和公式32，(2022年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）