山东省济宁市第五中学2021年高一数学理下学期期末试题含解析

山东省济宁市第五中学2021年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，下列结论中正确的是（）A、

B、‖

C、

D、、的夹角为参考答案：C2.在△ABC中，若A=30°，B=60°，b=，则a等于（）A．3 B．1 C．2 D．参考答案：B【考点】余弦定理．【分析】由条件利用正弦定理求得a的值．【解答】解：△ABC中，∵A=30°，B=60°，b=，由正弦定理可得=，=，∴a=1，故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．3.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC=a（a为定值），∠ABC=θ，△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当取得最小值时，角θ的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】三角形中的几何计算；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2；由比值，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，S1=AB?AC=a2sinθcosθ．设正方形的边长为x则BP=，AP=xcosθ，由BP+AP=AB，得+xcosθ=acosθ，故x=∴S2=x2=（）2=?==+sin2θ+1，令t=sin2θ，因为0＜θ＜，∴0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]．∴=+t+1=g（t），g′（t）=﹣+＜0，∴函数g（t）在（0，1]上递减，因此当t=1时g（t）有最小值g（t）min=g（1）=，此时sin2θ=1，θ=∴当θ=时，最小，最小值为．故选：B．4.的图象是（）A. B.C. D.参考答案：D当时，，故B、C不正确，当时，，所以A不正确，故选D.5.将4名学生分到两个班级，每班至少1人，不同的方法有（）种．A．25 B．16 C．14 D．12参考答案：C解：4名学生中有2名学生分在一个班的种数为，有名学生分在一个班有种结果，∴种，共有14种结果．故选．6.设平面向量，，若，则等于（）(A)4(B)5(C)(D)参考答案：D7.在直角坐标系中，一动点从点A（1，0）出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动π弧长，到达点B，则点B的坐标为(

)A．（﹣，） B．（﹣，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，）参考答案：A【考点】弧度制．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．【分析】作出单位圆，过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，结合单位圆能求出B点坐标．【解答】解：如图，作出单位圆，由题意，，OB=1，过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，则，∴|OM|=，MB==，∴B（﹣，）．故选：A．【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要注意单位圆的性质的合理运用．8.已知三个函数，，的零点依次为a、b、c，则（

）A.6 B.5 C.4 D.3参考答案：C【分析】令，得出，令，得出，由于函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，利用对称性可求出的值，利用代数法求出函数的零点的值，即可求出的值.【详解】令，得出，令，得出，则函数与函数、交点的横坐标分别为、.函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，如下图所示：联立，得，则点，由图象可知，直线与函数、的交点关于点对称，则，由题意得，解得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.9.（5分）设满足，则f（n+4）=（） A． 2 B． ﹣2 C． 1 D． ﹣1参考答案：B考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题： 计算题．分析： 结合题意，分别就当n＞6时，当n≤6时，代入，然后由f（n）=﹣可求n，进而可求f（n+4）解答： 当n＞6时，f（n）=﹣log3（n+1）=﹣∴n=不满足题意，舍去当n≤6时，f（n）=∴n﹣6=﹣2即n=4∴f（n+4）=f（8）=﹣log39=﹣2故选B点评： 本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是根据不同的自变量的范围确定相应的函数解析式10.α为第二象限角，P(x,)为其终边上一点，且cosα＝x，则x值为()A．

B．± C．－ D．－参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y∈R，a>1，b>1，若，，则的最大值为______参考答案：112.函数f（x）=log（x-x2）的单调递增区间是

参考答案：（1/2,1）13.若且夹角为，要使的值最小，则t的值为

.参考答案：略14.已知数列，，，，…则是它的第___________项参考答案：2515.已知向量，其中、均为非零向量，则的取值范围为_________.参考答案：[0,2]【分析】利用向量三角形不等式即可得出．【详解】，的取值范围是，；故答案为：，．【点睛】熟练掌握向量三角形不等式是解题的关键．16.已知函数，则f（x）的单调增区间为，的解集为．参考答案：（﹣∞，1],（1，5﹣）∪（log4，1].【考点】分段函数的应用；函数的单调性及单调区间．【分析】根据绝对值的性质将函数f（x）进行化简，结合分段函数的表达式进行判断求解即可．【解答】解：∵函数y=5﹣x﹣4x为减函数，且x=1时，y=5﹣x﹣4x=5﹣1﹣4=0，∴当x＞1时，5﹣x﹣4x＜0，此时f（x）=+=5﹣x为减函数，当x≤1时，5﹣x﹣4x≥0，此时f（x）=﹣=4x为增函数，即函数f（x）的单调递增区间为为（﹣∞，1]，当x＞1时，由5﹣x＞得x＜5﹣，此时1＜x＜5﹣，当x≤1时，由4x＞得x＞log4，此时log4＜x≤1，即不等式的解集为（1，5﹣）∪（log4，1]，故答案为：（﹣∞，1]，（1，5﹣）∪（log4，1]．17.已知函数的最大值为，最小值为，则函数的最小正周期为_____________,值域为_________________.参考答案：

解析：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分12分）已知直线过点，圆N:，被圆N所截得的弦长为.（1）求点N到直线的距离；（2）求直线的方程.参考答案：解：（1）设直线与圆N交于Ａ，Ｂ两点（如右图）作交直线于点Ｄ，显然Ｄ为AB的中点．………2分由，得，………4分又故所以点N到直线的距离为………6分（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为N到的距离为3，又圆N的半径为5，易知,即

不符合题意，故直线的斜率存在；………8分于是设直线的方程为：即：所以圆心到直线的距离①由（1）知，②………10分由①②可以得到故直线的方程为，或………12分

略19.在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求直线AB与直线SD所成角的大小．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】（1）直接利用高是SA，代入体积公式即可求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）先根据BC∥AD，AB⊥BC?AB⊥AD；再结合SA⊥面ABCD?SA⊥AB可得AB⊥面ASD即可找到结论．【解答】解：（1）因为VS﹣ABCD=Sh=×（AD+BC）?AB?SA=．故四棱锥S﹣ABCD的体积为．（2）∵BC∥AD，AB⊥BC?AB⊥AD，①又因为：SA⊥面ABCD?SA⊥AB

②由①②得

AB⊥面ASD?AB⊥SD故直线AB与直线SD所成角为90°．【点评】本题主要考查体积计算以及线线所成的角．解决第二问的关键在于得到AB⊥面ASD这一结论．20.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求的值.参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因，得到，.由余弦定理可得.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，从而，.故.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.21.函数f（x）=loga（3﹣ax）（a＞0，a≠1）（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；（2）若g（x）=f（x）﹣loga（3+ax），请判定g（x）的奇偶性；（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）根据奇函数的定义证明即可；（3）令u=3﹣ax，求出u=3﹣ax在[2，3]上的单调性，根据f（x）的最大值，求出a的值即可．【解答】解：（1）由题意：f（x）=log3（3﹣3x），∴3﹣3x＞0，即x＜1，…所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）．…（2）易知g（x）=loga（3﹣ax）﹣loga（3+ax），∵3﹣ax＞0，且3+ax＞0，∴，关于原点对称，…又∵g（x）=loga（3﹣ax）﹣loga（3+ax）=，∴g（﹣x）==﹣=﹣g（x），…∴g（x）为奇函数．…（3）令u=3﹣ax，∵a＞0，a≠1，∴u=3﹣ax在[2，3]上单调递减，…又∵函数f（x）在[2，3]递增，∴0＜a＜1，…又∵函数f（x）在[2，3]的最大值为1，∴f（3