华中师范大学2014-量子力学A卷-参考答案讲解

第二一页日…页）第二一页日…页）华中师范大学2014-2015学年第一学期期末考试试卷（A）••号学•・名姓生学.•级年••业专>系1院线封密课程名称量子力学课程编号83810113任课教师题型填空题判断题证明题简答题计算题总分分值2010162034100得分得分评阅人一、填空题：（共10题，每题2分，共20分）1.若某种光的波长为九，则其光子的能量为_hc/九_，动量大小为—h/九.戴维逊一革末实验主要表现出电子具有波动性。.若WG,t）是归一化的波函数，则,G,t）|2dx表示t时刻x附近dx体积元内发现粒子的概率。.设力学量算符F与G不对易，且其对易子为［FG卜ik，则它们的不确定性关系为kAFAG>—。25.厄米算符在自身表象是对角矩阵。6.从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是电子云的图像，电子云是电子电荷在核外的概率分布。.设氢原子处于态W（r,6,中）=2R（r»（①明-巨R（r»（仇明，求氢原子的角动量321103211-1z分量的平均值-5/9。.证明电子具有自旋的实验是钠黄线的精细结构/复杂塞曼效应/斯特恩-盖拉赫实TOC\o"1-5"\h\z.两个角动量，角量子数分别为j=1,j=1,它们耦合的总角动量的角量子数J=1223/2或1/2。.周期性微扰下，当tTB时，跃迁概率为W=把IF|25（e（0）-E（0）土3）。式中nfmmnmn8函数的物理意义是跃迁过程能量守恒。得分评阅人二、判断题：（共10题，每题1分，共10分）.光电效应证实了光的粒子性，康普顿效应进一步证实了光的粒子性。（J）.若W州,",是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加12nV=CV+CV++CV+（其中C,C,,C,为复常数）也是体系的一个可1122nn12n能状态。（J）.不同定态的线性叠加还是定态。（X）.因为坐标与动量算符均是厄米算符，所以它们的乘积一定是厄米算符。（X）.若两个力学量算符不对易，则它们一般没有共同本征态。（J）.粒子在中心力场中运动，若角动量Lz是守恒量，那么Lx就不是守恒量。（X）.在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U（-x）=U（x），则粒子的束缚态波函数一定具有确定的宇称。（J）.费米子体系的哈密顿算符H必须是交换反对称的,玻色子体系的哈密顿算符H必须是交换对称的。（X）.全同粒子体系的波函数具有一定的对称性，是来自于全同粒子的不可区分性。（J）.自由粒子所处的状态只能是平面波。（X）

得分评阅人三、证明题：（共2题，每题8分，共16分）.用狄拉克符号证明：（1）厄米算符的本征值是实数；（2）厄米算符不同本征值的本征矢互相正交（非简并情形）。（8分）证明：（1）设F才=F，其本征值方程为F|f'）：=f\f}①1n.n1n,用本征矢的共轭矢量;fj左乘上式，得到（f|F|f）=（f\f\f）=f（f\f户f②nn1nnn1n1nfnxn'nn对上式取共轭，得"|F|f；*=f*③nnn封-利用厄米算符的定义（f\Ff）*=〈f\Ftf}=（f\Ff），得出②式与③式相等，即n1n，nn1nfnn1n封-f*=fnn（2）厄米算符的本征值方程记为F\i}=fji）或Fj=fj\j，用j左乘前式，用（"左乘后式，得TOC\o"1-5"\h\zjF|i）=（jf.椁=fij④（ilFlj=C'lf7lj=j\j⑤④式取共轭得（ilFj=f.（ilj⑥⑤式与⑥式相减，左边为零，得（f「fj）《\j=0而（f—f）牛0，则（ij=0，证毕。ij\'第二—页日页）第二—页日页）第」一页日…页）第」一页日…页）2.证明处于1s，最大。（提示:氢原子波函数V(r,0,6=R(2.证明处于1s，最大。（提示:氢原子波函数V(r,0,6=R(r)Y(0,⑺，nlmnlIm2.上其中R(r)=ea0，10a3/2

0R21(r)=1(2a)3/2

03/232Ia0)181<15Ia0)e3a0。(8分)2p和3d态的氢原子，分别在r=a，4a和9a的球壳内发现电子的概率000证明：rr+dr证明：rwnl(r)dr=fdJd9加(r,0,4)2r2sin0drwnl=R=R(r)2r2dr

nlY(0,⑺|2sin0d0Im00=R2(r)r2drnl得1s态，2p态和3d态的径向概率密度为w(r)=R2(r)r2=10104r2e-2r/w(r)=R2(r)r2=10104r2e-2r/a0a30w(r)=R2(r)r2=2121r4e-r/a024a500w(r)=R2(r)r2=32328r6e-2r/3a812x15a700概率密度w（r）的极值由一阶偏导数为零得出，即nlSw(r)

——10Sr4(「/2、=一2re-2r/a0+r2e-2ra0(-一)dw(r)

——21—dr24a50(1)4r3e-r/a0+r4e-r/a0(-一)=0dw(r)

——32—dr812x15a70(6r5e-2r/3a0+r6e-2r/3a0(I得r=9a。证毕。

0得分评阅人四、简答题：（共5题，每题4分，共20分）.简述玻尔的量子论，并对它进行简单的评价。答：为了解释原子稳定性的问题和光谱的线状谱，玻尔的工作：（a）首先假设了不连续的定态，处于定态的电子不辐射。定态由量子化条件决定。（b）还引进了量子跃迁的概念。这一模型解决了上述两个困难，其定态的概念依然保留在近代量子论中，为人们认识微观世界和建立量子理论打下了基础。其缺点是，量子化条件是输入，而不是输出；保留了经典的概念，如轨道，没有成为一个完整的量子理论体系。.处于定态的体系具有哪些性质。答：（a）定态是能量有确定值的状态；（b）处于定态的系统，几率分布与时间无关，几率流密度与时间无关；（c）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化。总之，定态是一种力学性质稳定的状态。.隧道效应。答：微观粒子能穿越比它的能量高的势垒的现象，称为隧道效应。它是微观粒子波动性的体现。封-封-4.跃迁的选择定则及其理论依据。答:光照射原子时，即使入射光中与玻尔频率对应的能量密度不为零，跃迁也不一定发生。还要求两能级的量子数满足Al=l—l=±1,Am=m-m=0,±1,这称为选择定则。其理论依据是，在电偶极近似下跃迁概率Wnfm论依据是，在电偶极近似下跃迁概率Wnfmocrmnmn3mn）中0时，若rmn『=0，导致跃迁概率为零，跃迁是禁戒的。允许的跃迁要满足|r,2w0，就得到选择mnrmn定则。.分波法的基本思想。答：对于中心力场，角动量是守恒量。应用角动量守恒，把受势场作用前后的定态按分波展开，各分波在散射过程中可以分开来一个一个处理，势场对各分波的效应在于改变分波的相位。

得分评阅人五、计算题：（共3题，共34分）1.质量为目的一维谐振子的基态波函数为V0（x）=（奈e-32x2，其中a=｛吧，求粒子出现在经典禁区的概率。（10分）(积分公式：fe-x2dx=---,1e-x2dx=0.75)2001解：谐振子的能量表达式E=T+-^W2x2，因经典粒子的动能必小于等于总能量，其转折点（动能2E为零的点）满足E=0+29A2，得2E为零的点）满足E=0+29A2，得x=±.。对于基态，E=13，转折点x=±旦3，（经典禁区为-8，-

I日3」一）明痴,+］。量子谐振子出现在经典禁区的概率为|2dx+=21+\.|2dx+=21+\.2dx=2平aJ-^=e-a2x2dx—，•兀+)总e-&2d工-1=0.154+1在经典禁区，粒子出现的概率不为零，对于基态，在经典禁区出现的概率为15.4%。

2.已知在L和L的共同表象中，算符L和L的矩阵表示分别为z0、z0、10J和L对角化，y写出使矩阵对角化的么正变换矩阵U。和L对角化，y写出使矩阵对角化的么正变换矩阵U。（12分）解：Lx的本征值方程为-2a1a2a3a1a2a3久期方程的解为X=,0,-分别带入本征值方程，得归一化本征矢1&2同理，L的本征值方程为y同理，L的本征值方程为yb2

b1b3Jb2b1b3，久期方程的解为入=,0,-，归一化-1-1IJ(1、L-/-1lJ为了将矩阵Lx和Ly对角化，需要做表象变换，为了将矩阵Lx和Ly对角化，需要做表象变换，变到它们自身的表象，就对角化了。表象变换的矩阵分别为u:21-22<210-、2i22-1L(L(Lx)=U十L(Lz)U=L(Ly)=UtL(Lz)U第^页日页）第^页日页）第^页日页）第^页日页）3.已知某表象中哈密顿算符的矩阵形式3.已知某表象中哈密顿算符的矩阵形式H=1c0c3000c—2（1）设c1，应用微扰论求哈密顿算符的本征值到二级近似;（2）求精确解，并与上面的微扰论结果比较。（12分）（1解：当c1，可把哈密顿分解为H=H+H'=0H是对角矩阵，是H是对角矩阵，是H在自身表象的形式。所以，零级近似的能量和态矢为E（0）=1,E（0）=3,E（0）=一2;甲=由无简并微扰公式，E（1）=H',E（2）nnE（1）=H'=0,由无简并微扰公式，E（1）=H',E（2）nnE（1）=H'=0,E（1）=H'=0,11H'nlE（0）—E（0）l丰nnl二c，得能量的一级修正为J1lE（0）—E（0）=12E（0）—E（0）+13:E（0）—E（0）lW11l1213VIH'|2|H'|2|H'|2/JO7.-1-2^^21E（0）—E（0）E（0）—E（0）123E（0）—E（0）l丰22l2123V|H'|2|H'|2|H'|2:乙3■=31-+3222IH'|2IH'|2E⑵233能量的二级修正为牛1=—C22E（0）—E（0）lw33l3132E（0）—E（0）E（0）