粘性流体力学基本方程组

粘性流体力学基本方程组一、从牛顿第二定理出发，推导粘性流体力学动量方程二、引入本构方程的必要性三、本构方程的推导四、粘性流体力学基本方程组(N-S方程)1）矢量场的几个概念随体导数梯度、散度a)流体的加速度流体的加速度5流体的加速度6b)随体导数c)梯度标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率梯度的运算对象是标量，运算结果是矢量考虑一座高度在（x,y）点是H（x,y）的山。在一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。这座山的每一个点上都算出一个梯度向量,这个向量会指向每个点最陡的那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡在直角坐标系中：d)散度a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。b.表达式：c.散度的计算：

在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场表示为：直角坐标系中：9散度的物理意义考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),在这个点上,矢量场的发散程度如果是正的,代表这些向量场是往外散出的；如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.运算的对像是矢量,运算出来的结果是标量流体力学中，速度场散度指流体运动时单位体积的改变率直角坐标系中：112）流体力学基本方程组微元体及其表面的质量通量微元体内的质量变化量输入微元体的质量流量质量守恒直角坐标系中的连续性方程－输出微元体的质量流量＝y

xz

dzdxdya)连续性方程13连续性方程连续性方程的物理意义与适用范围相对密度变化率等于负的相对体积变化率适用范围：恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体；可压或不可压流上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程之一。任何流体的连续运动均必须满足。16b)理想流体的运动方程c)粘性流体运动方程粘性流体应力状态粘性流体应力状态yyz3)流体微团的运动形式与速度分解定理30平行六面体的整个变化过程可看作是由下列几种基本运动形式所组成：1.位置平移2.线变形3.边线偏转：(1)角变形(2)旋转运动38变形率矩阵4)本构方程斯托克斯根据牛顿粘性公式提出了关于应力与变形速率之间的一般关系的三条假定：

(1)应力与变形速率成线性关系；(2)应力与变形速率的关系在流体中各向同性；（3)运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流体的应力张量；当速度在空间均匀分布时，偏应力张量为0，当速度偏离平均分布时，在粘性流体中产生了偏应力，它力图使速度恢复到均匀分布情形。由此可见偏应力张量与局部变形速率有关。至于为什么是线性齐次函数这纯粹是一种假设，它是牛顿定律的逻辑上的推广。其合理性需要从理论与实验加以验证。各向同性的意思就是流体的所有性质如粘性、热传导等在没电的各个方向上都是相同的，即流体的性质不依赖于方向或坐标系的转换。所有气体都是各向同性的，大部分液体例如水等也是各向同性的。(1)运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流体的应力张量；而在静止流体中,切应力为零，正应力的数值为静压力p;

49正应力张量偏应力张量其中pm是根据纯力学考虑定义出来的运动流体的压力函数，它不等于静止流体的压力函数，但当运动静止时趋于静止流体的压力函数。另一项为偏应力张量，当运动消失时它趋于0.也是对称二阶张量。根据这三条假定,不难给出应力与变形速率的一般关系式。我们将分两步讨论：

第一步，建立偏应力张量与变形速率之间的关系； 第二步，建立平均压力偏量与变形速率之间的关系。

51a)平均压力偏量与变形速率之间的关系5)粘性流体力学基本方程组常粘度条件下不可压缩流体的N－S方程：矢量形式：非定常项定常流动为0静止流场为0对流项静止流场为0蠕变流时≈0单位质量流体的体积力单位质量流体的压力差扩散项（粘性力项）对静止或理想流体为06）初始条件（IC）、边界条件（BC）由上面几节的讨论，我们已经得到粘性流体动力学问题的基本方程组。由偏微分方程理论知，任何一个方程或封闭方程组具有无数组可能的解。因此，若要得到完全确定的解，必须给出完全确定的定解条件，即所谓边界条件和初始条件。为了给定粘性流动在边界上的物理量，必须首先从物理的角度研究边界面两侧物质的物理量的相互关系。初始条件（IC）初始时刻t=t0时，流体运动应该满足的初始状态。如果是定常(稳态)运动，则不需要初始条件边界条件（BC）第一类边界条件给定边界上待求变量的分布，如：给定水位、流量等第二类边界条件给出了在边界处变量的梯度。第三类边界条件给出待求变量与梯度值之间的函数关系无滑移边界条件u=v=0滑移边界条件v=0固壁边界条件常见边界条件7）粘性流体力学中的解析解(精确解)a)考虑不可压粘性流体在无限长度柱形管道内的定常运动已知管中某两个相距L截面上a/b的压力，求圆管内速度分