山东省济南市私立正谊中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析

山东省济南市私立正谊中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域为A．

B.

C.

D.参考答案：A2.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为()A．1

B．0

C．1或0

D．1或3参考答案：C3.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的标准方程，由题意结合等差中项的定义建立关于a、b、c的等式，结合b2=a2﹣c2消去b得到关于a、c的二次方程，解之可得c、a的比值，即得此椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为∵椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，∴2×2b=2c+2a，可得b=（a+c）∵b2=a2﹣c2，∴2=a2﹣c2，化简得5c2+2ac﹣3a2=0等式两边都除以a2，得5e2+2e﹣3=0，解之得e=（﹣1舍去）即椭圆的离心率为故选：C【点评】本题给出椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，求椭圆的离心率．着重考查了等差中项的概念和椭圆的定义与标准方程等知识，属于基础题．4.设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列三个命题：①若，则；②若，是在内的射影，，则；③若则.

其中真命题的个数为（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C由表示三条不同的直线，表示三个不同的平面知：在①中，若，则平面成90°角，所以，故①正确；在②中，若是在内的射影，，则由三垂线定理得，故②正确；对于③，，则错误，如墙角的三个面的关系，故③错误，真命题的个数为2，故选C.

5.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1，E为BC的中点，则异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为（）A．2 B． C． D．参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D原点，DA为x轴，AC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出异面直线A1E与D1C1所成角的正切值．【解答】解：以D原点，DA为x轴，AC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，设=1，则A1（1，0，2），E（，1，0），C1（0，1，2），D1（0，0，2），=（﹣，1，﹣2），=（0，1，0），设异面直线A1E与D1C1所成角为θ，则cosθ===，sinθ==，∴tanθ==．∴异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6.极坐标方程ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线参考答案：A【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程ρ=cosθ化为直角坐标方程为，表示一个圆，参数方程（t为参数），消去参数t可得3x+y+1=0，表示一条直线，由此得出结论．【解答】解：极坐标方程ρ=cosθ即ρ2=ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=x，即

，表示一个圆．参数方程（t为参数），消去参数t可得3x+y+1=0，表示一条直线，故选A．7.已知下列三个命题：①方程的判别式小于或等于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数，其中真命题是（

）A.①和②

B.①和③

C.②和③

D.只有①参考答案：B略8.设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为(

)

A．6

B．2

C．

D．参考答案：B略9.等差数列中，

（

）A.9

B.10

C.11

D.12参考答案：B略10.若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A．18 B．6 C．2 D．2参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】3a+3b中直接利用基本不等式，再结合指数的运算法则，可直接得到a+b．【解答】解：∵a+b=2，∴3a+3b故选B【点评】本题考查基本不等式求最值和指数的运算，属基本题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将边长为1的正方形沿对角线折起成直二面角，则在这个直二面角中点到直线的距离是

．参考答案：12.观察数列：从中归纳出数列的通项公式为___________________参考答案：略13.已知点和圆O：,过点E的直线被圆O所截得的弦长为，则直线的方程为

．参考答案：或略14.点关于直线的对称点的坐标是-

.参考答案：

15.若变量满足约束条件则的最大值为

参考答案：3略16.已知椭圆的离心率为，A为左顶点，点M，N在椭圆C上，其中M在第一象限，M与右焦点F的连线与x轴垂直，且，则直线MN的方程为

▲

．参考答案：由，得。∴椭圆的方程为，左顶点，点，即。∴，又，∴。设点N的坐标为，则，解得。故N的坐标为。所以点关于原点对称，从而直线过原点，且。所以直线的方程为。答案：

17.已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．参考答案：（3，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB上，且BQ=．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．参考答案：（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP?平面AMD，AM?平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO为四棱锥A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V几何体ABCDMN=2VA﹣MNBD=4．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD∥NB．进而得到，又已知=，可得，于是在△MAB中，QP∥AM．再利用线面平行的性质即可得出QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD⊥AC，再利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO为四棱锥A﹣MNBD的高，进而得到VA﹣MNBD的体积．即可得出V几何体ABCDMN=2VA﹣MNBD．解答：（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP?平面AMD，AM?平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO为四棱锥A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V几何体ABCDMN=2VA﹣MNBD=4．点评：熟练掌握线面平行于垂直的判定与性质、线线平行的判定与性质、四棱锥的体积等是解题的关键．19.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．（1）求物理原始成绩在区间(47,86]的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量，则，，）参考答案：（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析。【分析】（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩，所以．所以物理原始成绩在（47，86）人数为（人）．（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，所以，，，．所以的分布列为0123

所以数学期望．【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．20.(本小题满分12分)

画出不等式组表示的平面区域，并求出当x，y分别取何值时z=x2+y2有最大、最小值，并求出最大、最小值。参考答案：21.已知各项均为正数的数列前项和为,首项为,且2，,

成等差数列.（I）求数列{}的通项公式；（II）若，，求数列{}的前n项和Tn.参考答案：解：（1）∵2，,成等差数列，当时，，解得．

…2分当时，．即．