导数题型归纳总结(第一讲)(老师)(2016秋)

导数题型归纳总结（第一讲）一、导数单调性、极值、最值的直接应用二、交点与根的分布常用结论⑴sinxx,x(0,)，变形即为sinx1，x其几何意义为ysinx,x(0,)上的的点与原点连线斜率小于1.⑵exx1⑶x ln(x 1)，x 1 lnxlnxxex,x0.一、导数单调性、极值、最值的直接应用(是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密)已知函数()ln,()x.fxxgxe⑴若函数φ(x)=f(x)－x+1，求函数φ(x)的单调区间；x-1⑵设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．解：（Ⅰ）(x)fxx1lnxx1，x12x21．x1xx12x1xx12∵x0且x1，∴x0∴函数(x)的单调递增区间为0,1和1，．（Ⅱ）∵f(x)1，∴f(x0)1，xx0∴切线l的方程为ylnx01(xx0),即yxlnx01①1,x0x0设直线l与曲线yg(x)相切于点(x1,ex1)，∵g(x)ex，∴ex11，∴x1lnx0,∴g(x1)elnx01.x0x0∴直线l也为y11xlnx0，即y1lnx01x0x0xx0，②x0x0由①②得lnx01lnx01，∴lnx0x01．x0x0x01下证：在区间（1,+）上x0存在且唯一.由（Ⅰ）可知，(x)lnxx1在区间上递增．x1（1,+）e12，2)2e21e23，又(e)lne0(elne2120e1e1ee1结合零点存在性定理，说明方程(x)0必在区间(e,e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0，故结论成立．（最值应用）已知二次函数 g(x)对 x R都满足g(x 1) g(1 x) x2 2x 1且g(1) 1，设函数f(x)g(x1)mlnx9（mR，x0）．28（Ⅰ）求g(x)的表达式；（Ⅱ）若xR，使f(x)0成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设1me，H(x)f(x)(m1)x，求证：对于x1，x2[1,m]，恒有|H(x1)H(x2)|1．解：（Ⅰ）设gxax2bxc，于是gx1g1x2ax22c2x22，所以a1，112c1.又g11，则b1．所以gx1x21x1．⋯⋯⋯⋯3分222（Ⅱ）f(x)gx1mlnx91x2mlnx(mR，x0).282当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；⋯⋯⋯⋯4分2当m=0时，f(x)x0对x0，f(x)0恒成立；⋯⋯⋯⋯5分2当m<0时，由f(x)xm0xm，列表：xx(0，m)m(m，)f(x)－0＋f(x)减极小增这时，f(x)minf(m)mmlnm.2mmlnm，f(x)min020e<m0.m0所以若x0，f(x)0恒成立，则实数m的取值范围是(e，0]．故x0使f(x)0成立，实数m的取值范围(,e]0，．⋯⋯⋯⋯9分（Ⅲ）因为对(x1)(xm)x[1，m]，H(x)0，所以H(x)在[1,m]内单调递减．x于是|H(x1)H(x2)|H(1)H(m)12mlnm2m|H(x1)H(x2)|11m2mlnm111m222记h(m)1mlnm3(1me)，则h'(m)122m2

1.2lnm30.2m133112，1m2m22m330所以函数h(m)1mlnm3在1，e]是单调增函数，22m所以h(m)h(e)e3e3e1，故命题成立．⋯⋯⋯⋯12分2102e2e3.设x3是函数fxx2axbe3x,xR的一个极值点.（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求fx的单调区间；（2）设a0,gxa225ex，若存在1,20,4，使得f1g21成立，求a的取值范围.41x2axb3x解：（）∵fxe∴f''x2be3x2a2xbae3x由题意得：f'3x2xae3xaxx10，即323a2ba0，b2a3∴fxx2ax2a3e3x且f'xx3xa1e3x令f'x0得x13，x2a1∵x3是函数fxx2axbe3x,xR的一个极值点∴x1x2，即a4故a与b的关系式为b2a3,a4.当a4时，x2a13，由f'x0得单增区间为：3,a1；由f'x0得单减区间为：,3和a1,；当a4时，x2a13，由f'x0得单增区间为：a1,3；由f'x0得单减区间为：,a1和3,；（2）由（1）知：当a0时，x2a10，fx在0,3上单调递增，在3,4上单调递减，f(x)minminf(0),f(4)(2a3)e3,fxmaxf3a6,∴fx在0,4上的值域为[(2a3)e3,a6].易知gxa225ex在0,4上是增函数,4∴gx在0,4上的值域为a225,a225e4.442512由于a2a6a0，42又∵要存在1,20,4，使得f1g21成立，a03∴必须且只须25解得:0aa61.a224所以，a的取值范围为0,3.24. (2010山东，两边分求，最小值与最大值 )已知函数f(x)lnxax1a1(aR).x⑴当a≤1时，讨论f(x)的单调性；2⑵设g(x)x22bx4.当a1时，若对任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)≥g(x2)，求实数b4取值范围.解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题， 考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力； 考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力 .（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g(x)在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数.⑴f(x)lnxax1a1(x0)，f(x)laa1ax2xa1(x0)xxx2x2令h(x)ax2x1a(x0)①当a0时，h(x)x1(x0)，当x(0,1),h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减；当x (1, ),h(x) 0,f(x) 0，函数f(x)单调递增.②当a0时，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11,x211.a当a1时x1x2，h(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；2当0a1时，1110,x(0,1)时h(x)0,f(x)0，函数f(x)单调递减；2ax(1,11)时，h(x)0,f(x)0，函数f(x)单调递增；ax11,)时，h(x)0,f(x)0，函数f(x)单调递减.(a当a0时110，当x(0,1),h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减；a当x(1,),h(x)0,f(x)0，函数f(x)单调递增.综上所述：当a0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；当a1时x1x2,h(x)0恒成立,此时f(x)0，函数f(x)在(0,)单调递减；2当0a1时,函数f(x)在(0,1)递减,(1,11)递增,(11,)递减.2aa⑵当a1时，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意x1(0,2)，4有f(x1)≥f(1)1，2又已知存在x21,2，使f(x1)g(x2)，所以11,2g(x2)，x2，（※）2又g(x)(xb)24b2,x[1,2]当b1时，g(x)ming(1)52b0与（※）矛盾；当b1,2时，g(x)ming(1)4b20也与（※）矛盾；当b2时，g(x)ming(2)84b1,b17.28综上，实数b的取值范围是[17,).85. (2010山东，两边分求，最小值与最大值 )已知函数 f(x) xlnx,g(x) x2 ax 3．⑴求f(x)在[t,t 2](t 0)上的最小值；⑵若存在x 1,e（e是常数，e＝2.71828）使不等式2f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围；e⑶证明对一切 x (0, ),都有lnx 1 2成立．ex ex解：⑴ ，10t1所以fxeemin1tIntte⑵由题意知2xInxx2ax3,则a2Inxx3,x设hx2Inxx3x0则hx23x3x1x1x2x2x当x1,1时，hx0,hx单调递减；e当x1,e时，hx0,hx单调递增；所以hxmaxmaxh1,h(e),因为存在x1,e,使2fxgx成立，ee所以ahxmax,h(1)213e，h(e)2e3eee而h(1)h(e)，故a13e2ee（Ⅲ）等价证明xInxx2x0,exe由⑴知1f x xInxx 0, 的最小值是-1当且仅当x 取到，设xx20,,则x1xexxex,e易得xmax11，当且仅当x时取到，e1从而对一切x0,都有xInxx2成立，exe即Inx12对一切x0,成立．exex（最值应用）设函数f(x)pxq2lnx，且f(e)qep2，其中e是自然对数的底数.xe⑴求p与q的关系；⑵若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；⑶设g(x)2e，若在1,e上至少存在一点x0，使得f(x0)＞g(x0)成立，求实数p的取值范围.x解：（1）由题意得f(e)peq2lneqep2(pq)(e1)0eee10，所以p、q的关系为pq.而ee（2）由（1）知f(x)pxq2lnxpxp2lnx，xx'(x)pp2px22xp22xp，fx2xx2.令h(x)px要使f(x)在其定义域(0,)内单调，只需h(x)0或h(x)0恒成立.①当p0时，h(x)2x，因为x＞0，所以h(x)＜0，f'(x)2x＜0，x2∴f(x)在(0,)内是单调递减函数，即p0适合题意；②当p＞0时，h(x)px22xp，∴h(x)minp1，p只需p10，即p1时h(x)0,f'(x)0，p∴f(x)在(0,)内为单调递增函数，故p1适合题意.③当p＜0时，2，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为x1)，只要h(0)0，px2xp(0,h(x)p即p0时，h(x)0在(0,)恒成立，故p＜0适合题意.综上所述，p的取值范围为p1或p0.（3）∵g(x)2e1,e上是减函数，在x∴xe时，g(x)min2；x1时，g(x)max2e，即g(x)2,2e，①当p0时，由（2）知f(x)在1,e上递减f(x)maxf(1)0＜2，不合题意；②当0＜p＜1时，由x1,ex10，x又由（2）知当p 1时，f(x)在1,e上是增函数，∴f(x)p(x1)2lnxx12lnxe12lnee12＜2，不合题意；xxee③当p1时，由（2）知f(x)在1,e上是增函数，f(1)0＜2，又g(x)在1,e上是减函数，故只需f(x)max＞g(x)min，x1,e，而f(x)maxf(e)p(e1)2lne，g(x)min2，即p(e1)2lne＞2，解ee得p＞4e2，e1综上，p的取值范围是(e21).4e，（2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题）设函数

f(x)

x

1

alnx(a

R).x⑴讨论函数 f(x)的单调性；⑵若f(x)有两个极值点x1,x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k,问：是否存在a，使得k2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解：⑴f(x)的定义域为(0,).f'(x)11ax2ax1x2xx2令g(x)x2ax1,其判别式a24.①当|a|2时,0,f'(x)0,故f(x)在(0,)上单调递增．②当a2时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)上，f'(x)0，故f(x)在(0,)上单调递增．③当a2时,>0,g(x)=0的两根为x1aa24,x2aa24，22当0xx1时，f'(x)0；当x1xx2时，f'(x)0；当xx2时，f'(x)0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减．⑵由⑴知，若f(x)有两个极值点x1,x2，则只能是情况③，故a2．因为f(x1)f(x2)(x1x2)x1x2a(lnx1lnx2)，x1x2所以kf(x1)f(x2)11lnx1lnx2x1x2ax1x2x1x2又由⑴知，x1x21，于是k2lnx1lnx2ax1x2若存在a，使得klnx1lnx21．即lnx1lnx2x1x2．2a.则x1x2亦即x212lnx20(x21)(*)x2再由⑴知，函数h(t)t12lnt在(0,)上单调递增，而x21，所以tx212lnx2112ln10.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k2a.x21（构造函数，好，较难）已知函数f(x)lnx1ax2(a1)x(aR，a0).2⑴求函数f(x)的单调增区间；⑵记函数F(x)的图象为曲线C，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)是曲线C上两个不同点，如果曲线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0x1x2；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中2值相依切线”.试问：函数f(x)是否存在中值相依切线，请说明理由.解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域是(0,).a(x1)11)(x由已知得，a1a.f'(x)axxxⅰ当a0时,令f'(x)0,解得0x1;函数f(x)在(0,1)上单调递增ⅱ当a0时，①当11时，即a1时,令f'(x)0,解得0x1a或x1;a函数f(x)在(0,1)和(1,)上单调递增a②当11时，即a1时,显然，函数f(x)在(0,)上单调递增；a11a0时,令f'(x)0,解得0x1或1③当1时，即xaa函数f(x)在(0,1)和(1,)上单调递增.a综上所述:⑴当a0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增⑵当a1时,函数f(x)在(0,1)和(1,)上单调递增a⑶当a1时,函数f(x)在(0,)上单调递增；⑷当1a0时,函数f(x)在(0,1)和(1,)上单调递增.a(Ⅱ)假设函数 f(x)存在“中值相依切线” .设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线yf(x)上的不同两点，且0x1x2，则y1lnx11ax12(a1)x1，y2lnx21ax22(a1)x2.22y2y1(lnx2lnx1)1a(x22x12)(a1)(x2x1)kAB2x2x1x2x1lnx2lnx11a(xx)(a1).x2x1212曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率kf(x0)f(x1x2)2x2ax1x2(a1)，2x12依题意得：lnx2lnx11a(x1x2)(a1)2x2ax1x2(a1).x2x12x12lnx2lnx12x22(x22(x21)化简可得，即lnx1)x1.x2x1x1x1=x2x1x2x21x1设x2t(t1)，上式化为：lnt2(t1)24,x1t1t1lnt42,令g(t)lnt4,g'(t)14(t1)2t1t1t(t1)2t(t1)2.因为t1,显然g'(t)0，所以g(t)在(1,)上递增,显然有g(t)2恒成立.所以在(1,)内不存在t,使得lnt42成立.t1综上所述，假设不成立.所以，函数f(x)不存在“中值相依切线”(2011天津理19，综合应用)已知a0，函数fxlnxax2，x0．(fx的图象连续)⑴求fx的单调区间；⑵若存在属于区间1,3的,，且≥1，使ff，证明：ln3ln2≤a≤ln2．53解：⑴fx12ax12ax2，x0．令fx0，则x2a．xx2a当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x0,2a2a2a2a,2a2afx0fx单调递增极大值单调递减所以fx的单调增区间是0,2a，单调减区间是2a,．2a2a⑵由ff及fx的单调性知2a．从而fx在区间,上的最小值为f．2a又由1，,1,3，则123．f2ff1,ln24aa,所以2ff3,即4aln39a.fln2所以ln3ln2aln2．53二、交点与根的分布10. 已知函数 f x x3 ax2 bx c在 ,0上是减函数，在 0,1上是增函数，函数 f x在R上有三个零点．1）求b的值；2）若1是其中一个零点，求f2的取值范围；（3）若

a

1，gx

f

'

x

3x2

lnx，试问过点（

2，5）可作多少条直线与曲线

y=g(x)相切？请说明理由.⑶g(x)=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g(x)的切线的切点坐标为 (x0,y0)∴y05g/(x0)(x02)，即2x0lnx05(21)(x02)x0∴lnx0220，令h(x)=lnx2212x0∴h/(x)=x2=0，∴x2x，x∴h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增又h(1)2ln20，h(2)=ln2-1<0，h(e2)202e2∴h(x)与x轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线.（交点个数与根的分布）已知函数f(x)ln(23x)3x2.2⑴求f(x)在[0,1]上的极值；⑵若对任意x[11],不等式|alnx|ln[f(x)3x]0成立，求实数a63⑶若关于x的方程f(x)2xb在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.解：⑴f(x)233x3(x1)(3x1)，3x3x2令f(x)0得x1或x1（舍去）3当0x1时,f(x)0,f(x)单调递增；当1x1时,f(x)0,f(x)递减.33f(1)ln31为函数f(x)在[0,1]上的极大值.36⑵由|alnx|ln[f(x)3x]0得alnxln3或alnxln3223x3x32x3x233x设h(x)lnxlnln，g(x)lnxln22ln2，3x33x3x依题意知ah(x)或ag(x)在x[1,1]上恒成立，63g(x)23x3(23x)3x323x(23x)2x(20，3x)h(x)31(26x)26x0，2x3x232x3x211g(x)与h(x)都在[ , ]上单增，要使不等式①成立，当且仅当ah(1)或ag(1),即aln1或aln1.3635⑶由f(x)2xbln(23x)3x22xb0.2令(x)ln(23x)322xb,则(x)379x2x23x22，23x3x当x[0,7]时,(x)0,于是(x)在[0,7]上递增；33x[7(x)7,1]时,0,于是(x)在[,1]上递减，33而(7)(0),(7)(1)，33f(x)2xb即(x)0在[0,1]恰有两个不同实根等价于(0)ln2b0(7)ln(27)727b0366(1)1b0ln52ln51ln(27)727b6.23(2009宁夏，利用根的分布)已知函数f(x)(x33x2axb)ex⑴如ab3，求f(x)的单调区间；⑵若f(x)在(,),(2,)单调增加，在(,2),(,)单调减少，证明：6.解：⑴ab3时，f(x)(x33x23x3)ex，故f'(x)(x33x23x3)ex(3x26x3)exx(x3)(x3)ex当x3或0x3时，f'(x)0;当3x0或x3时，f'(x)0.从而f(x)在(,3),(0,3)单调增加，在（单调减少.3，0），（3，）⑵f'(x)(x33x2axb)ex(3x26xa)exex[x3(a6)xba].由条件得f'(2)0,即232(a6)ba0,故b4a,从而f'(x)ex[x3(a6)x42a].因为f'()f'()0,所以x3(a6)x42a(x2)(x)(x)(x2)[x2()x].将右边展开，与左边比较系数得，2,a2.故()24124a.又(2)(2)0,即2()40.由此可得a6.于是6.（2009天津文，利用根的分布讨论）设函数fx1x3x2m21xxR，其中m03⑴当m1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线的斜率⑵求函数 f x的单调区间与极值⑶已知函数fx有三个互不相同的零点0、x1、x2，且x1x2，若对任意的xx1,x2,fxf1恒成立，求m的取值范围.解：⑴当m1时，f(x)1x3x2,f/(x)x22x,故f'(1)13所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1.⑵f'(x)x22xm21，令f'(x)0，得到x1m,x1m因为m0,所以1m1m，当x变化时， f(x),f'(x)的变化情况如下表：x(,1m)1m(1m,1m)1m(1m,)f'(x)+0－0+f(x)↓极小值↑极大值↓f(x)在(,1m)和(1m,)内减函数，在(1m,1m)内增函数。函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)=2m3m2133函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)=2m3m2133⑶由题设f(x)x(1x2xm21)1x(xx1)(xx2)33所以方程1x2xm21=0由两个相异的实根x1,x2，故x1x23，且14(m21)0，解得331(舍)，m122因为x1x2,所以2x2x1x23,故x231（难点）2若x11x2,则f(1)1(1x1)(1x2)0，而f(x1)0，不合题意；3若1x1x2,则对任意的x[x1,x2]有xx10,xx20,则f(x)1x(xx1)(xx2)0，又f(x1)0，所以函数f(x)在x[x1,x2]的最小值为0，于是对3任意的x[x1,x2]，f(x)f(1)恒成立的充要条件是f(1)m210,解得3m3，综上，m333的取值范围是 (1,3)3（2007全国II理22，转换变量后为根的分布）已知函数f(x)x3x．（1）求曲线yf(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；（2）设a0，如果过点(a，b)可作曲线yf(x)的三条切