西南交通大学研究生课件-矩量法

矩量法(MethodofMoment)MoM,MM§1矩量法的根本原理1、内积两元素f和g的内积<f,g>是一个标量，性质：<f,g>=<g,f><(a1f+a2g),h>=a1<f,h>+a2<g,h>,a1，a<f,f*>>0();<f,f*>>0(f=0).f*为f的共轭2、算子方程L(f)=g,L～微分、差分、积分算子线性算子L：L(a1f1+a2f2)=a1L(f1)+a2L(f2),〔a假设<Lf,g>=<f,Lag>,那么称La为L的伴随算子假设La=L，那么La为自伴算子互易定理：假设源a：场a：；源b：场b：；那么<La,b>=<a,Lb>=假设V1和V2重合，那么<La,b>=<a,Lb>互易定理〔反响守恒〕3、矩量法(1)g(z)为函数，为待求的未知函数〔注意f,g完全可能是矢量〕(2)为待定系数〔可以是复数〕，为基函数〔线性独立〕将〔2〕带入〔1〕，交换L与求和的次序〔线性算子的性质〕(3)残数〔残差〕：将上式两端与检验函数〔权函数〕求内积：(4)假设令残数矢量对检验函数空间的投影为零，即：=0(5)即：由于误差正交于投影，所以它是二阶无穷小。矩量法是一种使误差趋于无限小的方法。将〔5〕式重写，得矩量法方程：(6)写出矩阵方程，为：ZI=VI为列向量：阻抗矩阵：鼓励：矩量法求解的四大步骤：〔金属导体散射问题〕设外表电流为J，入射场为Ei算子方程为：Lop(J)=Ei或：将未知量展开成由基函数构成的级数：选取检验函数，构成矩量法方程：定义〔或选取〕一组检验函数：假设令：，那么为伽辽金法：由内积构成矩阵方程：ZI=VZ：广义阻抗；I：广义电流；V：广义电压解矩阵方程，求出未知量：I=Z-1V§2基函数与检验函数的选取一般原那么：利用先验知识，使得基函数尽量接近真解且满足边界条件；基函数及检验函数尽量精确、简洁。基函数的选取关系到：解的精度计算阻抗矩阵元素的难易阻抗矩阵是否良态矩阵求逆的难易与RAM全域基傅立叶级数：幂级数：勒让德函数：切比雪夫函数：子域基脉冲函数：三角波函数：分段正弦函数：二次内插级数：例：细导线圆环散射问题：基函数sin双线传输问题：基函数exp(jks)球散射问题：基函数sin旋转对称体散射问题：基函数三角波函数球散射问题：基函数分段正弦函数基函数与检验函数的搭配：方法基函数〔第n项〕权函数伽辽金法fn(z)fm(z)全域基点匹配fn(z)(z-zm)脉冲基点匹配P(z-zn)(z-zm)分段基点匹配U(zn)(z-zm)

全域基函数特点：全域基函数的很大优点是各个基函数具有相同的表示精度。与分域基函数比拟，采用全域基函数时通常待求的未知数的数目较少。因为使用全域基函数时无须网格剖分，数值计算也相对地易于实现。全域基函数通常用于求解一维问题的线性积分方程，定义域为矩形的二维问题有时也可采用。全域基函数也可与分域基函数组合使用。一个典型的例子是，旋转体散射问题的求解。此时，每个基函数是一个随角度变化的全域基函数与一个轴向变量的分域基函数〔例如方波函数或三角函数〕的乘积。全域基函数的主要缺点是，它们仅可用于形状规那么的定义域，例如一维导线和二维的方形或矩形域。对于边界形状复杂的区域，定义全域基函数是十分困难的。子域基函数：一个分域基函数仅在局部函数域内定义有非零值，通常这局部域的尺寸远小于波长。除了方波函数以外，几乎全局部域基函数〔例如三角函数〕具有重叠的非零区。因此，为了定义分域基函数，通常需要将求解区域划分为很多小片的集合，每个小片称为一个网格单元或简称为一个单元。这样的单元集合构成目标的近似表示，因此称为网格。一些典型的网格单元形状如下图。典型的网格单元的形状，对于线状结构为线段；对于面状结构为三角形和方形；对于体状结构为立方体、四面体及棱柱体。((a)(b)(c)典型的网格单元：(a)线段，(b)平面三角形，(c)六面体

脉冲基：图10-1-3图10-1-3sinx函数的近似表示：(a)原函数，(b)14个脉冲函数，(c)46个脉冲函数1x第n个脉冲基函数为了说明表示的精度，图10-1-3中给出函数的近似表示，图10-1-3(a)为原函数，图10-1-3(b)使用14个方波基函数表示，图10-1-3(c)使用46个方波基函数表示。由图可见，为了精确地表示一个函数需要大量方波基函数。因为方波基函数是用一个分段常数表示函数，所以它是一个零阶的函数。方波基函数十分简单，且易于编程。

三角波函数：三角函数是一个一阶基函数，因为它在一段域内线性地由0增加到1，在相邻的域内线性地由1降至0。因此，两个相邻的三角函数具有重叠局部。再以一维例子予以说明。令和为两个相邻的单元，那么一个三角基函数可以表示为 该函数如图(a)所示。图(b)使用5个三角基函数近似表示函数。显然，三角基函数比方波基函数能够更加有效地表示原函数。(b)0(b)0x20x(a)(a)第三和第四单元中的三角基函数。(b)5个三角基函数近似表示函数(a)第三和第四单元中的三角基函数。(b)5个三角基函数近似表示函数

§3矩量法求解实例例1、矩量法的完美例子：解：L=，g=未知量展开成由基函数构成的级数：选取基函数：〔全域基〕2〕选取权函数：〔伽辽金法〕3〕由内积构成矩阵方程：4〕求解矩阵：N=1:N=2:N=3:=解析结果例2、2-D导体柱散射问题：二维电场积分方程〔EFIE〕为：令基函数＝脉冲基：点匹配：那么权函数ZI＝V当i=j时,上式无意义。利用汉克尔函数的小宗量近似：D0=1.781〔欧拉常数〕自阻抗：精度问题(增加精度：三角波函数)

例子:入射的TM波频率为300MHz，理想导电圆柱的半径为。圆柱截面的周长约为，被等间隔地分为128段。因此，每段长度约为。将此结果与级数解比拟，散射体的外表电流振幅比拟如下图10-3-2，其振幅已用377归一化。可见两种结果十分一致。导电圆柱的外表电流导电圆柱的外表电流由上例可见，方波基函数和点匹配技术对于TM波散射可以获得很精确的结果。这是因为散射体的外表是平滑的。为了说明外表具有尖角的散射体情况，考虑横截面为三角形的理想导电柱体。令三角形的三个顶点坐标分别为(-2,0),(2,0)和(0,1)，坐标单位为m。入射波的频率为300MHz，入射方位角。求解该散射问题时，使用两种不同的离散密度。第一种离散的子段长度近似为，第二种离散的子段长度大约为。两种情况的RCS如图下右图所示，可见两者相当一致。归一化电流振幅—归一化电流振幅—子段长度0.050---子段长度0.10角度xy两种离散的RCSRCS(dBm)角度RCS(dBm)两种离散的电流分布两种离散的电流分布简单分析：两种离散密度获得的电流分布特性那么差异较大。因为外表不平滑，外表离散时出现不连续点。靠近这些不连续点附近的电流也出现奇异性。三角形顶点处的电流振幅理论上接近无限大。由于求解误差，矩量法的结果不可能到达无限大。但是，由图可见，在这些点附近的电