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文档简介

《最简三角方程》参考资料方程方程的解集其中：（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：若，则；若，则；若，则；若，则；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。【例题】例1.解方程：(1)(2)思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程2x-30°=k180°+(-1)k30°∴x=k90°+(-1)k15°+15°(k∈Z)所以解集是{x|x=k90°+(-1)k15°+15°，k∈Z}于是x=k60°+(-1)k10°+22°38′，(k∈Z)∴原方程的解集为{x|x=k60°(-1)k10°+22°38′，k∈Z}最简单的三角方程．例2.解方程．解原方程可化为，即．解这个关于的二次方程，得，．由，得解集为；由，得解集为．所以原方程的解集为．[说明]方程中的可化为，这样原方程便可看成以为未知数的一元二次方程，当时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解．例3.解方程：解：tg(x＋)＋tg(x－)＝2ctgx………①∴＋＝………②,去分母整理得tg2x＝,tgx＝±,∴x＝kπ±,k∈Z,由①根据定义知x＋≠kπ＋,x－≠kπ＋,x≠kπ,k∈Z,即x≠kπ＋,x≠kπ＋,x≠kπ,而②中又增加了限制条件x＝kπ＋,k∈Z,即从①到②有可能丢根，x＝kπ＋,经验算x＝kπ＋是原方程的根，∴原方程的解集是{x|x＝x＝kπ±或x＝kπ＋,k∈Z}例4.已知方程在区间上有且只有两个不同的解，求实数a的取值范围。解：由sinx＋cosx＋a＝0得2sin(x＋)＝－a,sin(x＋)＝－,－2≤a≤2∵x∈[0,2π],∴x＋∈[,2π＋],又原方程有且只有两个不同的解，∴a≠2,a≠－2,即|a|＝2时，原方程只有一解；又当a＝－时，sin(x＋)＝，得x＋＝或或,解得x＝0或x＝或x＝2π,此时原方程有三个解，∴a∈(－2,－)∪(－,2).【拓展】例1.若方程存在实数解，求的取值范围．解一由原方程，得，即解这个以为未知数的一元二次方程，因为要使方程有解，只需解得．所以的取值范围为．[说明]有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以为未知数的一元二次方程的，而且必须考虑的值在内．解二由原方程得，得因为，所以．所以的取值范围为．[说明]当方程有解时，必须满足，则原题就转化为求的最大值、最小值问题．例2.求方程的解集．解一由原方程得，得，．由，得解集为；由，得解集为．所以原方程的解集为．解二由原方程得，即得或，即或，．所以原方程的解集为．解三由原方程得，即得或，即或，．所以原方程的解集为．[说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过

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