人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线

第五章相交线与平行线5.1相交线5.1.1相交线1.知道邻补角、对顶角的概念,并能在各种情况下识别.2.能推导并归纳对顶角的性质,并会进行有关的计算和推理.准备一张纸片和一把剪刀,用剪刀将纸片剪开,观察剪纸过程.握紧把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀两刀刃之间的角发生了什么变化?如果改变用力方向,将两个把手之间的角逐渐变大,剪刀两刀刃之间的角又发生了什么变化?如果把剪刀的构造看作两条相交的直线,剪纸过程就关系到两条相交直线所成的角的问题.两条直线相交形成怎样的角呢?它们有什么特征?1.有下列说法,你觉得都正确吗?如果错误,应如何改正?与同伴交流一下.(1)邻补角可以看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角.2.“相等的角是对顶角”这句话对吗?若不对,试举例说明.不对,如角平分线分成的两个角.(2)邻补角是互补的两个角,互补的两个角也是邻补角.(1)正确;(2)错误,应改为“邻补角是互补的两个角,互补的两个角不一定是邻补角”.1.如图,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°,则∠AOC的度数为

.

2.若两个角互为邻补角,则它们的角平分线所夹的角为

度.

62°904.探索规律:(1)2条直线交于一点,有

对对顶角;

(2)3条直线交于一点,有

对对顶角;

(3)4条直线交于一点,有

对对顶角;

(4)n条直线交于一点,有

对对顶角.

2612n(n-1)1.区分对顶角与邻补角的关键是要看角的位置关系(是否有公共顶点、公共边),形成对顶角与邻补角的前提是两条直线相交.2.对顶角相等,邻补角互补.第五章相交线与平行线5.1相交线5.1.2垂线（第1课时）1.知道垂直的概念,能说出垂线的性质.2.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.

奥运会十米跳台比赛中运动员入水时健美的身姿往往让我们赞叹,下图是三位跳水运动员入水前的精彩瞬间,如何判断哪位运动员跳得直呢?(“直”是指什么?)如果用一条水平直线a表示水面,你能用另一条直线b表示出不同选手入水的示意图吗?1.结合自己动手操作经验，与同伴交流，并回答下列问题：画已知直线的垂线有

条，过直线上一点可以画

条垂线，过直线外一点可以画

条垂线.即在同一平面内，过一点有

直线与已知直线垂直.

2.在小学阶段,我们曾通过折纸的方法,得到两条垂线,你能用折纸的方法解决下面的问题吗?(1)如图1,直线a上有一点A,经过点A,你能折出几条与a垂直的直线?1条.

(2)如图2,直线a外有一点B,经过点B,你能折出几条与a垂直的直线?1条.1.(1)如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,∠AOC=35°,则∠BOD的度数为

.

145°(2)如图2,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD的度数为

.

60°(3)如图3,直线AB,CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE与直线AB的位置关系是

.

OE⊥AB1.熟记垂线的定义及表示,由直角可得出两条直线垂直,由垂直可得出四个角是直角.2.垂直是相交的特殊情况.3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.4.掌握垂线的第一条性质:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.第五章相交线与平行线5.1相交线5.1.2垂线（第2课时）1.知道垂线段的概念和垂线段最短的性质.2.体会点到直线的距离的意义,会度量点到直线的距离.如图,在点A处有一只青蛙,它准备快速地跳到小河边BC.你能帮它确定一条路线吗?怎样保证你找的路线是最短的?1.自制学具:在硬纸板上固定木条l,l外有一点P,另一根可以转动的木条a一端固定在点P处,使木条a与l相交,左右摆动木条a,会发现它们的交点A随之变化,线段PA的长度也随之变化.观察:当PA最短时,直线a与l的位置关系如何?用三角尺检验一下.当PA最短时,直线a与l的位置关系是互相垂直.2.请尝试解决“问题导引”中的问题.过点A作BC的垂线段即可.3.判断下列说法的正误,如果正确,请说明理由;如果错误,请订正.(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.解:(1)错误.直线外一点向直线引垂线,所得垂线段的长度是这一点到这条直线的距离.(2)如图,线段AE是点A到直线BC的距离.(2)正确.因为AE⊥BC.

(3)错误.线段CD的长是点D到直线BC的距离.(3)如图,线段CD的长是点C到直线AB的距离.4.如图，小海龟位于图中点A处,按下述口令移动:向上前进3格;向右转90°,前进5格;向左转90°,前进3格;向左转90°,前进6格;向右转90°,后退6格;最后向右转90°,前进1格.用粗线将海龟经过的路线描出来,看一看是什么图形.两条直线相交垂直垂线垂线段点到直线的距离第五章相交线与平行线5.1相交线5.1.3同位角、内错角、同旁内角1.知道同位角、内错角、同旁内角的概念.2.通过比较、观察同位角、内错角、同旁内角的特征,能正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角.

你知道吗,将左、右手的大拇指和食指各组成一个角,两食指相对成一条直线,两个大拇指反向的时候就组成了一对角(如图1),两食指相对成一条直线,两个大拇指同向的时候又组成一对角(如图2).很有意思吧!1.如何在复杂图形中找出同位角、内错角、同旁内角?与同伴交流一下.在截线的同旁找同位角和同旁内角,在截线的两旁找内错角,因此在“三线八角”的图形中,主线是截线.2.如图,请你指出图中所有的同旁内角.(提示:请仔细读题、认真看图)∠1和∠A,∠1和∠5,∠A和∠5,∠4和∠6.1.如图.(1)若ED,BC被AB所截,则∠1与

是同位角;

(2)若ED,BC被AF所截,则∠3与

是内错角;

(3)∠1与∠3是AB和AF被

所截构成的

角;

(4)∠2与∠4是

和

被BC所截构成的

角.

∠2∠4ED内错同位

ABAF2.如图.(1)∠B,∠EDB是直线

和

被直线

所截构成的

;

(2)直线

截直线

和

所得的∠AFD和∠C是

角;

(3)与∠CFD成内错角的有

;

(4)与∠C成同旁内角的有

个.

BEDEBD同旁内角ACDFCD同位∠EDF,∠BDF53.如图，直线DE,BC被直线AB所截,得到哪些同位角、内错角、同旁内角?被直线BE所截呢?被直线AC所截呢?解:(1)直线DE,BC被直线AB所截,同位角:∠1与∠ABC,同旁内角:∠2与∠ABC;(2)直线DE,BC被直线BE所截,内错角:∠4与∠5;(3)直线DE,BC被直线AC所截,同位角:∠3与∠C,同旁内角:∠DEC与∠C.1.同位角、内错角、同旁内角的特征.角的名称与被截直线的关系与截线的关系基本图形图形结构特征同位角被截直线的同一方截线的同侧形如字母“F”（或倒置）内错角被截直线之间截线的两侧形如字母“Z”（或反置）同旁内角被截直线之间截线的同侧形如字母“U”2.判断同位角、内错角、同旁内角的三个步骤:一看角的顶点,二看角的两边,三看角的方位,但这“三看”又离不开主线“截线”的确定.第五章相交线与平行线5.2平行线及其判定5.2.1平行线1.知道同一平面内不重合的两条直线的位置关系有两种.2.知道平行公理及其推论,会用符号语言表述平行公理的推论.请欣赏以下几张神奇的图片,你能判断出每张图片中的横线或斜线是否是平行线吗?1.为什么在平行线的定义中要强调“同一平面”?如图,在空间中能找到既不相交也不平行的直线吗?若将平行线定义中的“直线”改成“线段”或“射线”可以吗?与同伴交流一下.在空间中存在既不相交也不平行的直线.如长方体中的AB与GC.不可以.2.若a,b,c是同一平面内互不重合的三条直线,交点的个数有几个?0个,1个,2个或3个.1.在同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一条直线必

.

相交

2.下列说法,正确的是(

)A.平面内,没有公共点的两条线段平行B.平面内,没有公共点的两条射线平行C.没有公共点的两条直线互相平行D.互相平行的两条直线没有公共点D3.直线CD与直线AB相交于点C,根据下列语句画图:(1)过点P画PQ∥CD,交AB于点Q;(2)过点P画PR⊥CD,垂足为R.4.已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的位置关系是什么?为什么?解:平行.理由:因为a∥b,b∥c,所以a∥c.又因为c∥d,所以a∥d.1.平行线的定义:在同一平面内,不相交的直线叫做平行线.如图,直线AB与CD平行,记作:AB∥CD或CD∥AB,读作AB平行于CD或CD平行于AB.注意:①在平行线的定义中,“同一平面”是前提,因为在空间存在既不平行又不相交的直线.②平行线指的是“两条直线”,而不是两条射线或线段,两条射线或线段平行,是指它们所在的两条直线平行.③“不相交”就是说两条直线没有公共点.只有同时具备以上三个条件,才符合平行线的定义.2.同一平面内,两直线的位置关系有两种:相交,平行.3.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.注意强调直线外一点.平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.第五章相交线与平行线5.2平行线及其判定5.2.2平行线的判定（第1课时）1.通过用直尺和三角尺画平行线的方法体会平行线的判定方法1.2.能用平行线的判定方法1推导平行线的判定方法2.

通过上节课的学习,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图中的①~④,虚线部分表示折痕).从图中可知,小敏画平行线的依据有哪些?1.试一试:如图,∠1=∠2=55°,∠3等于多少度?直线AB,CD平行吗?说明你的理由.变式:如图,∠1=∠2=55°,∠3等于多少度?直线AB,CD平行吗?说明你的理由.∠3=55°,直线AB与CD平行.理由:因为∠1=∠2=55°,又∠2=∠3(对顶角相等),所以∠3=∠1=55°,所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行).2.请回答“问题导引”中的问题.小敏画平行线的依据:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行.1.如图,点E在AC的延长线上,下列条件能判断AB∥CD的是(

)A.∠3=∠4

B.∠D=∠DCEC.∠1=∠D

D.∠A=∠DCED2.如图,(1)∠1=∠A,则GC∥AB,依据是_______________________;

内错角相等,两直线平行

(2)∠3=∠B,则

,依据是_______________________;

同位角相等,两直线平行

(3)∠1=∠4,则

,依据是_______________________;

内错角相等,两直线平行

(4)∠4=∠A,则

,依据是______________________.

同位角相等,两直线平行3.如图,将三块相同的三角尺拼成一个图形.请找出图中的平行线,并说明理由.小颖:AC与DE是平行的,因为∠EDC与∠ACB是同位角且相等.你能看懂她的意思吗?小明:我是这样想的,因为∠BCA=∠EAC,所以BC∥AE.你知道这一步的理由吗?请你再找出一组平行线,并说说你的理由.解:小颖是根据同位角相等,两直线平行来判断AC∥DE的;小明是根据内错角相等,两直线平行来判断BC∥AE的.还可以由∠DCE=∠CEA,得到CD∥AE.根据内错角相等,两直线平行.或由∠BAC=∠ACE,得到AB∥CE.根据内错角相等,两直线平行.1.两条直线平行的判定方法1和判定方法2:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行.2.证明两条直线平行的关键是找到相应的角.第五章相交线与平行线5.2平行线及其判定5.2.2平行线的判定（第2课时）1.能用平行线的判定方法1和判定方法2推导判定方法3.2.能运用平行线的判定方法对两直线的位置关系进行简单的推理.如图,在铺设铁轨时,两条直轨必须是互相平行的.已知∠2是直角,那么再度量图中已标出的哪个角,就可以判断两条直轨是否平行?为什么?1.到目前为止,判定两条直线平行的方法有哪些?与同伴一起总结.平行线的定义;同平行于第三条直线的两条直线平行;同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.2.试着回答“问题导引”中的问题.若度量∠4=90°,可以判断两条直轨平行.理由:∵∠2=90°,∠4=90°,∴∠2=∠4.∴两条直轨平行(同位角相等,两直线平行).若度量∠5=90°,可以判断两条直轨平行.理由:∵∠2=90°,∠5=90°.∴∠2=∠5,∴两条直轨平行(内错角相等,两直线平行).若度量∠3=90°,可以判断两条直轨平行.理由:∵∠2=90°,∠3=90°,∴∠2+∠3=180°.∴两条直轨平行(同旁内角互补,两直线平行).2.如图,欲得AF∥CD,可根据()A.∠1=∠2B.∠6=∠5C.∠1=∠5D.∠1=∠3D3.如图,已知∠D=∠A,∠B=∠FCB,试问ED与CF平行吗?为什么?解:ED∥CF.理由如下:∵∠D=∠A,∴ED∥AB(内错角相等,两直线平行).∵∠B=∠FCB,∴CF∥AB(内错角相等,两直线平行).∴ED∥CF.4.如图,∠B=∠C,点B,A,D在同一条直线上,∠DAC=∠B+∠C,AE是∠DAC的平分线.判断AE与BC的位置

关系,并说明理由.解:AE∥BC.理由:∵AE是∠DAC的平分线,∴∠DAC=2∠DAE.∵∠DAC=∠B+∠C,∠B=∠C,∴∠DAC=2∠B.∴∠DAE=∠B.∴AE∥BC.

判定两直线平行的方法:①平行线的定义;②平行公理的推论;③平行线的判定方法1,2,3;④在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.1平行线的性质第1课时经历探索平行线的性质的过程,知道平行线的性质1和性质2,并能进行简单的推理计算.如图,已知公路c分别与两条互相平行的公路a,b相交,如果公路c与公路a相交所成的∠1=70°,那么公路c与公路b相交所成的∠2是多少度呢?1.试一试:如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点M,N,∠EMB=50°,MG平分∠BMF,交CD于点G,求∠1的度数.2.试着回答“问题导引”中的问题.∠2的度数为70°.1.如图,直线AB,CD相交于点E,DF∥AB.若∠D=70°,则∠CEB等于()A.70°B.80°C.90°D.110°D2.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相________.

平行3.如图,AD∥BC,∠1=78°,∠2=40°,求∠ADC的度数.解:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠2=40°.∴∠ADC=∠ADB+∠1=118°.4.如图,已知AB∥CD,现在要说明∠B=∠C成立的理由.请你从下列三个条件中选择一个合适的条件来说明其正确的理由.①EC∥FB;②∠AGC=∠B;③∠B+∠CGB=180°.(写出推理过程)解:以选择①为例.∵AB∥CD,∴∠EGB=∠C.又∵EC∥FB,∴∠B=∠EGB.∴∠B=∠C.

平行线的性质1(公理):两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简称:两直线平行,同位角相等.平行线的性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简称:两直线平行,内错角相等.第五章相交线与平行线5.3

平行线的性质5.3.1平行线的性质第2课时1.由平行线的性质1能推导性质3,并能运用平行线的性质进行简单的推理计算.2.会用平行线的性质和判定解决相关的问题.平行线的性质在现实生活中有哪些应用?1.平行线的“判定”与“性质”有什么不同?已知角之间的关系(相等或互补),得到两直线平行的结论是平行线的判定.已知两直线平行,得到角之间的关系(相等或互补)的结论是平行线的性质.2.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同旁内角的平分线互相________;

垂直平行若两条平行线被第三条直线所截,则一组内错角的平分线互相__________.

3.试一试:如图,一条公路有两个拐弯(角度如图所示),两次拐弯后和原来的方向相同,也就是拐弯前后的两条路互相平行.一辆汽车行驶在这条路上从A处到D处,两次拐弯的角度分别是()A.142°,142°B.142°,38°C.38°,38° D.38°,142°C1.如图,已知AB∥CD,∠1=70°,则∠2的度数是()A.60°B.70°C.80°D.110°D2.如图,直线a∥b,∠1=40°,∠2=60°,则∠3的度数等于()A.100°B.60°C.40°D.20°3.如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,DA平分∠BDF.(1)AE与FC会平行吗?请说明理由.(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?(3)BC平分∠DBE吗?为什么?解:(1)平行.理由:∵∠1+∠2=180°,∠2+∠CDB=180°(邻补角定义),∴∠1=∠CDB.∴AE∥FC(同位角相等,两直线平行).

(2)平行.理由如下:∵AE∥CF,∴∠C=∠CBE(两直线平行,内错角相等).又∵∠A=∠C,∴∠A=∠CBE.∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).

(3)平分.理由如下:∵DA平分∠BDF,∴∠FDA=∠ADB.∵AE∥CF,AD∥BC,∴∠FDA=∠A=∠CBE,∠ADB=∠CBD.∴∠EBC=∠CBD.∴BC平分∠DBE.4.如图,AB∥CD,试解决下列问题:(1)∠1+∠2=________;

(2)∠1+∠2+∠3=________;

(3)试探究:∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=______.

180°360°180(n-1)°1.会在综合题中应用平行线的性质解决问题.2.在解决具体问题的过程中,要能区分什么时候需要使用平行线的性质,什么时候需要使用平行线的判定.3.求角的大小或者是说明两个角相等、互补的方法之一是利用平行线的性质.当平行线间夹的角不能直接求解时,添加适当的平行线,将要求的角转化为两条平行线间所夹的内错角、同位角或者同旁内角来解答.为了解决问题,自己添加的线叫做辅助线,用虚线表示.第五章相交线与平行线

5.3平行线的性质5.3.2命题、定理、证明第1课时1.知道命题的概念,会把命题写成“如果……那么……”的形式.2.会区分命题的题设和结论,并能判断命题的真假.请大家阅读以下几个语句:(1)今天是星期天;(2)熊猫是一种很稀有的植物;(3)1>2;(4)对顶角相等;(5)如果两个角相等,那么这两个角是直角.以上几个语句都是命题,它们是具有什么特点的语句呢?让我们一起来学习什么是命题吧!1.如何判断一个命题的真假?题设成立,结论一定成立的命题是真命题;题设成立,结论不一定成立的命题是假命题.2.先把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,再写出它们的题设和结论,并判断其真假:(1)两直线平行,同位角相等;(2)等角的余角相等;(3)互补的角是邻补角;(4)个位是6的整数一定能被6整除.

(2)如果两个角是两个相等的角的余角,那么这两个角相等.题设:两个角是两个相等的角的余角,结论:这两个角相等.真命题.解:(1)如果两条平行线被第三条直线所截,那么同位角相等.题设:两条平行线被第三条直线所截.结论:同位角相等.真命题.

(4)如果一个整数的个位数字是6,那么这个数一定能被6整除.题设:一个整数的个位数字是6,结论:这个数一定能被6整除.假命题.

(3)如果两个角互补,那么这两个角是邻补角.题设:两个角互补,结论:这两个角是邻补角.假命题.1.下列语句中,不是命题的是()A.两点间的线段B.垂线段最短C.同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种D.两点确定一条直线

A3.对于同一平面内的三条直线,给出下列5个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c.以其中两个论断为题设,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题,并说明理由.已知:__________,结论:__________.

解:本题答案不唯一.已知:a∥b,b∥c,结论:a∥c;已知:b∥c,a⊥b,结论:a⊥c;已知:a∥b,a∥c,结论:b∥c;已知:b∥c,a∥c,结论:a∥b;已知:b∥c,a⊥c,结论:a⊥b;已知:a⊥b,a⊥c,结论:b∥c.理由略.1.命题的定义、组成、分类分别是什么?2.平行线是常用的辅助线.第五章相交线与平行线

5.3平行线的性质5.3.2命题、定理、证明第2课时1.知道定理和证明的含义.2.会对一个真命题进行证明,会通过举例判断一个命题是假命题.在上一课时我们已经认识了命题,如何证实一个命题是真命题呢?在数学发展史上,数学家们也遇到过类似的问题.公元前3世纪,人们已经积累了大量的数学知识,在此基础上,古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300年前后)编写了一本书,书名叫《原本》(Elements),为了说明每一个结论的正确性,他在编写这本书时进行了大胆创造:挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名,公认的真命题称为公理(axiom).除了公理外,其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明(proof).经过证明的真命题称为定理(theorem),而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.本节课让我们一起来学习如何证明吧!1.仔细观察课本例2的证明过程,与同伴交流:证明的依据可以是什么?证明的步骤有哪些?证明的依据可以是已知条件,也可以是学过的定义、定理等.证明的步骤有:(1)对于文字叙述的几何命题,根据条件,画出正确的图形,在图形上标明字母与符号;(2)结合图形,用符号语言或文字语言把条件和结论,