工程电磁场导论矢量

标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度亥姆霍兹定理电磁场的特殊形式第0章矢量分析下页返回VectorAnalysis正交坐标系-直角坐标系下页上页返回元面积元体积正交坐标系-柱坐标系下页上页返回元面积元体积正交坐标系-球坐标系下页上页返回元面积元体积坐标系间间单位矢矢量的换换算投影原则则能理解书书中第322页表附1-1所列公式式之间的的关系可参考书书籍：BHagSinghGuru,HuseyinR.Hiziroglu，周克定定等译.，电磁场场与电磁磁波.北京：机机械工业业出版社社，2000第二章矢矢量分分析（Page10~47）场是一个个标量或或一个矢矢量的位位置函数数，即场场中任一一个点都都有一个个确定的的标量或或矢量。例如，在在直角坐坐标下：：0.1标量场和和矢量场场标量场矢量场如温度场、电位场、高度场等；如流速场、电场、涡流场等。ScalarFieldandVectorField下页上页返回其方程为:图0.1.1等高线(1)标量场--等值线(面)形象描绘场分布的工具——场线思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？下页上页返回三维场二维场图0.1.2矢量线矢量场--矢量线线上每一一点处的的切线方方向都与与矢量场场在该点点的方向向相同其方程为：在直角坐标系下：下页上页返回0.2标量场的的梯度GradientofScalarField设一个标标量函数数(x，y，z)，若函数数在点P可微，则则在点P沿任意方方向的方向导导数为设

式中,,分别是任一方向与x,y,z轴的夹角下页上页返回则有：当，最大——梯度(gradient)——哈密顿算算子式中图0.1.3等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的大小为该点标量函数的最大变化率（增加的方向），即最大方向导数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的意意义下页上页返回，例

0.2.1试证明在点电荷q产生的静电场中，电位函数的负梯度等于电场强度。例电位场的的梯度图0.2.2电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。下页上页返回例:设一标量点函数

(1)该点函数

在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；描述了空间标量场。试求：

(2)求该点函数沿单位矢量

方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处该方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。[解](1)由梯度定定义,可解出待待求P点的梯度度为(2)

显然，梯度描述了P点处标量点函数的最大变化率，即系最大方向导数，故，恒成立。0.3矢量场的的通量与与散度通量(Flux)矢量E沿有向曲曲面S的面积分分若S

为闭合曲面根据通量的大小判断闭合面中源的性质：FluxandDivergenceofVector>0

(有正源)<0

(有负源)=0(无源)图0.3.2矢量场通量的性质

下页上页返回图0.3.1矢量场的通量

散度(Divergence)如果包围围点P的闭合面面S所围区域域V以任意方方式缩小小到点P时：———散度(divergence)下页上页返回散度的意意义在矢量场场中，若若•A=0，称之为为有源场场，称为为(通量量)源密密度度；；若若矢矢量量场场中中处处处处•A=0，称称之之为为无无源源场场。。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。(无源）

(正源)

(负源)图0.3.3通量的物理意义

下页上页返回散度度定定理理(DivergenceTheorem)图0.3.4散度定理

通量密度——高斯公式矢量函数的面积分与体积分的相互转换。下页上页返回0.4矢量量场场的的环环量量与与旋旋度度环量量(Circulation)矢量量A沿空空间间有有向向闭闭合合曲曲线线L的线线积积分分———环量量环量量的的大大小小与与闭闭合合路路径径有有关关，，它它表表示示绕绕环环线线旋旋转转趋趋势势的的大大小小。。CirculationandRotationofVectorField下页上页返回图0.4.1环量的计算水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。例：流流速速场场图0.4.2

流速场流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。下页上页返回旋度度(Rotation)1.环量量密密度度过点点P作一一微微小小曲曲面面S，它它的的边边界界曲曲线线记记为为L，面面的的法法线线方方向向与与曲曲线线绕绕向向符符合合右右手手定定则则。。当当S点P时，，存存在在极极限限———环量量密密度度环量密度是单位面积上的环量。下页上页返回2.旋度度旋度度是是一一个个矢矢量量，，其其大大小小等等于于环环量量密密度度的的最最大大值值；；其其方方向向为为最最大大环环量量密密度度的的方方向向———旋度度(curl)－S

的法线方向它与与环环量量密密度度的的关关系系为为在直角坐标下:下页上页返回3.旋度度的的物物理理意意义义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若A=J0

称之为旋度场（或涡旋场），J

称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处A=0，称之为无旋场。下页上页返回4、斯斯托托克克斯斯定定理理(Stockes’’Theorem)矢量函数的线积分与面积分的相互转化。图0.4.3斯托克斯定理———斯托托克克斯斯定理理下页上页

在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是两个非常重要的公式。返回0.5亥姆姆霍霍兹兹定定理理亥姆姆霍霍兹兹定定理理：：在有有限限区区域域V内，，矢矢量量场场由由它它的的散度度、、旋旋度度及边界界条条件件唯一一地地确确定定。。已知知：：矢量A的通量源密度矢量A的旋涡源密度场域边界条件（矢量A惟一地确定）电荷密度电流密度J场域边界条件在电磁场中HymherzeTheorem下页上页返回例试判判断断下下列列各各图图中中矢矢量量场场的的性性质质。。000000下页上页返回(1)无旋旋场场(irrotationalfield)例如如静静电电场场从而由矢量恒等式

可定义（

—电位函数）

无旋旋场场中中，，矢矢量量沿沿场场域域中中任任意意闭闭合合路路径径的的环环量量等等于于零零无旋旋场场可可以以表表示示为为某某一一标标量量函函数数梯梯度度场场(2)无散场(无源场、管量场solenoidalfield)例如如恒恒定定电电流流的的磁磁场场无源源场场中中穿穿过过场场域域中中任任一一个个矢矢量量管管的的所所有有截截面面的的通通量量都都相相等等无源源场场存存在在着着矢矢势势（（磁磁矢矢位位））(4)一般的场

例如如时时变变电电磁磁场场（3）调调和和场场：：散散度度和和旋旋度度都都等等于于零零的的矢矢量量场场调和和场场位位函函数数满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程0.6特殊殊形形式式的的电电磁磁场场如果果在在经经过过某某一一轴轴线线(设为为z轴））的一一族族平平行行平平面面上上，，场场F的分分布布都都相相同同，，即即F=f（x，y），，则称称这这个个场场为为平平行行平平面面场场。。1.平行平平面场场SpecialFormsofElectromagneticField如无限限长直直导线线产生生的电电场。下页上页返回0如果在在经过过某一一轴线线(设为z轴)的一族族子午午面上上，场场F的分布布都相相同，，即F=f（r,），则则称这这个场场为轴轴对称称场。。2.轴对称称场如螺线线管线线圈产产生的的磁场场；有有限长长直带带电导导线产产生的的电场场。下页上页返