九年级中考数学第三轮压轴题冲刺：圆的综合 专题复习练习

2021年中考数学第三轮压轴题冲刺：圆的综合专题复习练习1、如图，在中，为的直径，为上一点，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．2、如图，已知AB是的直径，直线BC与相切于点B，过点A作AD//OC交于点D，连接CD．（1）求证：CD是的切线．（2）若，直径，求线段BC的长．3、如图，点在以为直径的上，点是半圆的中点，连接，，，．过点作交的延长线于点．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求，的长．4、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．6、如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得．（1）求证：直线是的切线．（2）过点作于点，交于点，若的半径为2，，求图中阴影部分的面积．7、如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且．（1）求证：是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：．8、如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．（1）求证：为的中点．（2）若的半径为8，的度数为，求线段的长．9、如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作交于点，交于点，过点的弦交于点不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线．（1）求证：是的切线．（2）求证：．（3）若，，求四边形的面积．10、如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．（1）求证：；（2）若，，求的值．11、如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，与过点C的切线垂直，垂足为D，交半圆O于点E．（1）求证：平分；（2）若，试判断以为顶点的四边形的形状，并说明理由．12、如图，⊙是△的外接圆，为直径，点是⊙外一点，且，连接交于点，延长交⊙于点．⑴.证明：=；⑵.若，证明：是⊙的切线；⑶.在⑵的条件下，连接交⊙于点,连接;若，求的长．13、在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．（1）如图1，求证：AB为的切线；（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．②若，求的值．14、如图，在中，，将沿直线翻折得到，连接交于点．是线段上的点，连接．是的外接圆与的另一个交点，连接，．（1）求证：是直角三角形；（2）求证：；（3）当，时，在线段上存在点，使得和互相平分，求的值．15、问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是CF、DE、DF．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺：圆的综合专题复习练习1、如图，在中，为的直径，为上一点，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：是的中点，，，，，，，，，是的切线；（2）解：连接交于，为的直径，，是的中点，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，．2、如图，已知AB是的直径，直线BC与相切于点B，过点A作AD//OC交于点D，连接CD．（1）求证：CD是的切线．（2）若，直径，求线段BC的长．【详解】（1）如图，连接OD，则直线BC与相切于点B在和中，又是的半径是的切线；（2）如图，连接BD由圆周角定理得：，，在和中，，即解得．3、如图，点在以为直径的上，点是半圆的中点，连接，，，．过点作交的延长线于点．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求，的长．【解答】（1）证明：连接，为的直径，点是半圆的中点，，，，，直线是的切线；（2）解：连接，为的直径，，点是半圆的中点，，，是等腰直角三角形，，，，，，四边形是圆内接四边形，，，，由（1）知，，，，，，，，，解得：．4、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【解答】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB∴AD=12×23=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF∴EF=3AF∴CE＝CF+EF＝12+43．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【详解】（1）证明：连接OC，如图，

∵OD⊥BC，

∴CD=BD，

∴OE为BC的垂直平分线，

∴EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，

∵CE为⊙O的切线，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，

∴∠OBE=90°，

∴OB⊥BE，

∴BE与⊙O相切．（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD中，BD=BC=∵OD2+BD2=OB2，

∴，解得R=4，

∴OD=2，OB=4，

∴∠OBD=30°，

∴∠BOD=60°，∴在Rt△OBE中，∠BEO=30º，OE=2OB=8，∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；（3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60º，∴∠BOC=120º，又BC=，OE=8，∴=,6、如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得．（1）求证：直线是的切线．（2）过点作于点，交于点，若的半径为2，，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）证明：如图，连接，是的直径，，，．，，即，直线是的切线．（2）连接，，，，．又，为等边三角形，．．图中阴影部分的面积为．7、如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且．（1）求证：是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：．【详解】解：(1)连接OC，如下图所示：∵CA=CD，且∠D=30°，∴∠CAD=∠D=30°，∵OA=OC，∴∠CAD=∠ACO=30°，∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°，∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．(2)连接BC，如下图所示：∵∠COB=60°，且OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∠CBG=60°，又CG⊥AD，∴∠CGB=90°，∴∠GCB=∠CGB-∠CBG=30°，又∠GCD=60°，∴CB是∠GCD的角平分线，且BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF=BG，又BC=BC，∴△BCG≌△BCF，∴CF=CG.∵∠D=30°，AE⊥ED，∠E=90°，∴∠EAD=60°，又∠CAD=30°，∴AC是∠EAG角平分线，且CE⊥AE，CG⊥AB∴CE=CG，∵∠E=∠BFC=90°，∠EAC=30°=∠BCF，∴△AEC∽△CFB，∴，即，又，∴．8、如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．（1）求证：为的中点．（2）若的半径为8，的度数为，求线段的长．【解答】（1）证明：，，点为的中点，，，，，，，，，，为的中点；（2）解：连接，，，，的度数为，，，，由（1）同理得：，，是的中位线，．9、如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作交于点，交于点，过点的弦交于点不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线．（1）求证：是的切线．（2）求证：．（3）若，，求四边形的面积．【解答】（1）证明：连接，，，点为弦的中点，垂直平分，，，，，，为的切线，，，，是的切线．（2）解：，，，，，，．（3）解：为的直径，点为弦的中点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，，，，，，，，解得：，，四边形的面积．10、如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．（1）求证：；（2）若，，求的值．【解答】解：（1）证明：，又，，；（2）是的切线，，是的直径，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．11、如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，与过点C的切线垂直，垂足为D，交半圆O于点E．（1）求证：平分；（2）若，试判断以为顶点的四边形的形状，并说明理由．【详解】解：(1)证明：连接OC，如下图所示：∵CD为圆O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠D+∠OCD=180°，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠ACO，又OC=OA，∴∠ACO=∠OAC，∴∠DAC=∠OAC，∴AC平分∠DAB．(2)四边形EAOC为菱形，理由如下：连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示，由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC=180°，又∠AEC+∠DEC=180°，∴∠DEC=∠B，又∠B+∠CAB=90°，∠DEC+∠DCE=90°，∴∠CAB=∠DCE，又∠CAB=∠CAE，∴∠DCE=∠CAE，且∠D=∠D，∴△DCE∽△DAC，设DE=x，则AE=2x，AD=AE+DE=3x，∴，∴，∴，在Rt△ACD中，，∴∠DAC=30°，∴∠DAO=2∠DAC=60°，且OA=OE，∴△OAE为等边三角形，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC=2∠EAC=60°，∴△EOC为等边三角形，∴EA=AO=OE=EC=CO，即EA=AO=OC=CE，∴四边形EAOC为菱形．12、如图，⊙是△的外接圆，为直径，点是⊙外一点，且，连接交于点，延长交⊙于点．⑴.证明：=；⑵.若，证明：是⊙的切线；⑶.在⑵的条件下，连接交⊙于点,连接;若，求的长．【详解】解：（1）证明：如图，连接CO，在△PCO和△PAO中，∴△PCO≌△PAO（SSS），∴∠CPO=∠APO，即PO为∠APC的角平分线，∵PA=PC，∴CD=AD，PF⊥AC，∵AC为⊙O的弦，PF过圆心O，∴F为优弧中点，∴=，（2）证明：∵AB是⊙O的直径，且弦AB所对圆周角为∠ACB，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴sin∠ABC=，cos∠ABC=，设⊙O的半径为r，则AB=2r，∴BC=ABcos∠ABC=，AC=ABsin∠ABC=，∴，∵PA=PC=AB，∴PA=PC=，∴，∴PO=PD+OD=3r，∴，即PA⊥OA，又∵OA是⊙O半径，∴PA是⊙O的切线；（3）由（2）可得，∴，在Rt△PBA中，，连接AE，可得∠AEB=90°，∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，∴△PEA∽△PAB，∴，∴，过E作EN⊥PD于N，过B作BH⊥PF于H，如图所示，∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，∴四边形BCDH是矩形，∴BH=CD=，在Rt△BPH中，sin∠BPH=，在Rt△PEN中，sin∠BPH=，∴，∴，∴ND=PD-PN=，在Rt△NED中，DE=，∵，∴DE=．13、在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．（1）如图1，求证：AB为的切线；（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．②若，求的值．【详解】解：（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，∵OA平分交BC于点O，∴OG=OC，∴点G在上，即AB与相切；（2）①OA垂直平分CE，理由是：连接OE，∵AB与相切于点E，AC与相切于点C，∴AE=AC，∵OE=OC，∴OA垂直平分CE；②∵，则FC=2OF，在△OCF中，，解得：OF=，则CF=，由①得：OA⊥CE，则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，∴△OCF∽△OAC，∴，即，解得：AC=6，∵AB与圆O切于点E，∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，∴△BEO∽△BCA，∴，设BO=x，BE=y，则，可得：，解得：，即BO=5，BE=4，∴tanB==.14、如图，在中，，将沿直线翻折得到，连接交于点．是线段上的点，连接．是的外接圆与的另一个交点，连接，．（1）求证：是直角三角形；（2）求证：；（3）当，时，在线段上存在点，使得和互相平分，求的值．【解答】（1）证明：，，，，是直角三角形．（2）证明：，，，，，，，，，，，，．（3）解：设交于．连接．与互相平分，四边形是平行四边形，，即，，，，，，，，，，，，，，，即，解得（负根已经舍弃）．15、问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是CF、DE、DF．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．【解答】解：（1）∵