声与振动基础

声与振动基础第一页，共一百一十八页，2022年，8月28日主要内容第一章绪论第二章声波的基本性质及传播特性第二页，共一百一十八页，2022年，8月28日第一章绪论声学是物理学的一个分支，是自然科学中最古老的学科之一;声学是一门发展的、具有广泛应用性的学科，涉及到人类生产、生活及社会活动的各个方面，具有很大的“外延性”，即边缘学科的特点。声学是一门研究声波的产生、传播、接收以及与物质相互作用的科学。声是一种机械扰动在气态、液态、固态物质中传播的现象。第三页，共一百一十八页，2022年，8月28日声学研究的范畴非常广，分支很多：图1-1声学分支与其他学科的关系第四页，共一百一十八页，2022年，8月28日20Hz~20kHz>20kHz<20Hz声频声

（可听声）次声波超声、特超声声波振动频率范围宽广：10-4～1014Hz研究阶段及频率范围：目前声学研究的频率范围跨越1018Hz，是物理学各分支里少有的，随着频率的升高，声学进入微观世界，不断发现新的现象和新的应用第五页，共一百一十八页，2022年，8月28日声学既有经典的物理性质，又有量子的性质，是打开微观世界的一把钥匙。同时，随着频率的降低，低频声波的吸收衰减越来越小，穿透能力和传播距离大大增加，成为观察大气、海洋、地壳中许多现象的强有力的工具。第六页，共一百一十八页，2022年，8月28日图1-2不同频率范围的声学研究内容第七页，共一百一十八页，2022年，8月28日第一节声学研究的发展概况世界上最早的声学研究工作主要在音乐方面声学作为一门现代科学是从17世纪开始，和力学、电磁学等物理学科一起发展起来的——几乎当时所有杰出的物理学家和数学家都对研究物体的振动和声的产生原理做过贡献，如伽利略、牛顿、欧拉、达朗贝尔和拉普拉斯等。伽利略发现摆的等时性规律，是近代振动和声学的科学的开端。法国数学家伽桑狄利用远地枪声和闪光之间的时差测定了声在空气中传播的速度。第八页，共一百一十八页，2022年，8月28日第一节声学研究的发展概况法国数学家达朗贝尔于1747年首次推出弦的波动方程，并预言可用于声波。经过一百多年许多科学家的努力，1877年英国物理家瑞利(Rayleigh)总结了前人的成果，出版了《声学理论》一书，此书集经典声学之大成，对后来的各种波动传播理论的发展具有重要作用。19世纪末，理论工作研究的频段已不局限于音频范围，但由于没有高频声源，所以高频声的研究没能得到发展。1880年居里(Curie)兄弟发现了压电效应，但是直到电子管放大器发明以后，采用压电效应的电声换能器才能用于工程上，压电换能器作为高频声源才变成现实。20世纪，由于电子学的发展，使用电声换能器和电子仪器设备，可以产生、接收和利用任何频率、任何波形、几乎任何强度的声波，以致声学研究的范围不断扩大。第九页，共一百一十八页，2022年，8月28日第一节声学研究的发展概况现代声学最初发展的分支就是建筑声学和电声学以及相应的电声测量；以后，随着频率研究范围的扩展，又发展了超声学和次声学；由于手段的改善，进一步研究听觉，发展了生理声学和心理声学；由于对语言和通信广播的研究，发展了语言声学。第二次世界大战中，开始把超声广泛地用到水下探测，促进了水声学的发展。与其他学科结合，形成了许多交叉学科。20世纪初以来，特别是20世纪50年代以来，全世界由于工业、交通等事业的巨大发展出现了环境噪声污染问题，从而促进了噪声、噪声控制、机械振动和冲击声研究的发展。大振幅的非线性声学也得到重视，这样逐渐形成了完整的现代声学体系。第十页，共一百一十八页，2022年，8月28日第二节

声学研究的总体特点声学作为一门科学，首先要致力于描述、创造和理解人类经验的一部分，即关于声波及声波的效应问题。方程、定律描述声学现象发现新的声学现象发展新的预测理论声学的生命力在于其科学的物理基础一、声学是一门科学第十一页，共一百一十八页，2022年，8月28日（1）声波的产生机制声学首先要研究的是声波的产生。振动学是研究声源的理论基础。声学所研究的简谐振动及其在各种物质中传播的属性是物理学的本质之一。从伽利略的工作到胡克定律的发现，都是振动学的实验研究。第十二页，共一百一十八页，2022年，8月28日18世纪数学的发展，推动了声学理论的发展：

-1713年泰勒(B.Taylor)第一次成功地把牛顿定律用于连续介质中微分元的运动，得出弦振动基频模的动力学解。-在胡克对弹性体应力和应变关系研究的基础上，18世纪的数理学家进一步研究了金属棒、弹性板的振动。瑞利于19世纪末最早提出声波动理论，对后来的各种波动传播理论的发展有重要作用。第十三页，共一百一十八页，2022年，8月28日目前的声波产生机制研究前沿，主要包括流致噪声、结构声辐射和热声学等几个方面。—流致噪声研究的是流体的流动所产生的噪声，其应用很广。当前最困难的问题是湍流所产生的无规噪声。热声学研究声与热之间的关系。1982年，Wheatley发现在驻波管内近四分之一波长内放一摞薄片，在声波作用下，薄片两端产生温度差，这就是热声现象。第十四页，共一百一十八页，2022年，8月28日（2）声波的传播和衰减机制声波在水中是传播：--声波在海水中的衰减比电磁波小1000倍以上。--在水下声学中，20世纪第一次世界大战和第二次世界大战之间，人们就对海水中变化多端的声传播机理有了认识。--“午后效应”--1997年美国“声学大洋测温计划”第十五页，共一百一十八页，2022年，8月28日声波在大气中的传播也是目前研究的内容。大气中的湍流、大气层的厚度、温度分布、湿度分布等等变化，都会对声的传播产生很大的影响。特别是对于不透光的物体，声波是很好的探测手段需要研究声波在固体中的传播，如B超，就要研究声波在人体的各种器官中是如何传播的，然后才能做出判断。第十六页，共一百一十八页，2022年，8月28日（3）声波的接收声波的接收是研究怎样把声信号变成电信号，如传声器，并在仪器上进行显示。声学的接收还研究听觉的机理，这与人直接有关，人感受到声音首先是通绪论过耳朵。第十七页，共一百一十八页，2022年，8月28日（4）声波的作用力学效应搅拌作用；分散作用；去气作用；成雾作用；凝聚作用；定向作用；冲击破坏作用；疲劳破坏作用等热学效应吸收引起的整体加热，边界面处的局部加热；形成激波时波前处局部加热在压电、压磁材料中产生电场和磁场；引起电子逸出；电化学效应等光学效应引起光的衍射、折射、双折射；声致发光等化学效应促进化学反应；促进氧气还原；促进高分子物质的聚合或分解；引起照相片的感光；引起声化学发光等电学效应第十八页，共一百一十八页，2022年，8月28日技术对声学来说，是它的竞争所在。其主要的应用技术包括：水声技术噪声控制技术电声技术语音技术超声技术次声波应用声学微机电器件二、声学是一门技术第十九页，共一百一十八页，2022年，8月28日水声技术是利用声波对水下目标进行探测、识别、定位、通讯和导航等功能的声学技术，这是由于声波是惟一能在海水中有效地进行远距离信息传递的载体。

—声纳探测—声速测量（1）水声技术第二十页，共一百一十八页，2022年，8月28日图1-3水中声速的测量第二十一页，共一百一十八页，2022年，8月28日图1-4声纳探测及声盲区示意图第二十二页，共一百一十八页，2022年，8月28日现代工业和交通飞速发展，伴随着出现大量的噪声问题，如机器噪声、交通噪声等等。20世纪60年代前后，“噪声控制”作为一门独特的学科从建筑声学中分离出来，得到迅速发展，是当前研究的前沿热点之一。有源噪声与振动控制技术是当前噪声控制技术中最先进的研究方向，它的物理意义是用声波来抵消声波。（2）噪声控制技术第二十三页，共一百一十八页，2022年，8月28日（3）电声技术电声技术是声学领域中发展得比较快的一个分支，在政治、军事、文化各个领域中有着广泛的应用。电声技术的发展和近代通讯技术的发展紧密相关，它主要包括录放声技术、扩声技术以及与它们有关的电声测试技术等。第二十四页，共一百一十八页，2022年，8月28日（4）语音技术语音信号处理技术解决的是人机对话的问题，它研究语音的识别、合成、编码、解码、传送等等。第二十五页，共一百一十八页，2022年，8月28日（5）超声技术超声及其应用是近代声学发展中最为迅速的新兴分支。超声技术与介质中超声的产生和接收的研究密切相关。超声换能器超声波无损探伤、测厚、测距、医学诊断和成像超声进行加工、清洗、焊接、乳化、粉碎、脱气、促进化学反应、医疗等第二十六页，共一百一十八页，2022年，8月28日图1-5超声清洗机图1-6超声焊接第二十七页，共一百一十八页，2022年，8月28日（6）次声波应用次声方法是探测大气中核爆炸的主要方法之一通过自然或人工产生的次声波在大气中传播的特性的测定，探测某些大规模气象的性质和规律发射出频率较低的声波还可以用来进行地下考古 第二十八页，共一百一十八页，2022年，8月28日图1-7声波地下考古第二十九页，共一百一十八页，2022年，8月28日（7）声学微机电器件声学微机电器件是指采用微电子工艺技术制造的，工艺特征尺度在微米至毫米之间，由声学、机械和微电子器件构成，或依据声学的原理设计及发生作用的，能够独立完成一定的信号采集、信息处理和驱动控制作用的器件。主要包括三种类型：微型声学传感器、声学微机电驱动器件、微声处理器件第三十页，共一百一十八页，2022年，8月28日三、声学还是一门艺术声学从一开始就与音乐分不开，音乐声学是声学中最古老的学科分支。声学是一门艺术在于声音与人的主观反应之间的关系，声音可以用来满足人类的精神生活的需要。—建筑声学，特别是室内声学中的厅堂音质设计问题，就是科学为艺术服务的学科之一。第三十一页，共一百一十八页，2022年，8月28日图1-8室内声音传播示意图第三十二页，共一百一十八页，2022年，8月28日总之，声学是一门与人类生活、生产和社会活动息息相关的学科，它包含了科学的、技术的和艺术的内容，是一门交叉渗透性非常强的学科。交叉的结果实现了声学的各种各样的分支学科，也必将在今后的科技发展中发挥更大的作用。第三十三页，共一百一十八页，2022年，8月28日主要内容第一章绪论第二章声波的基本性质及传播特性第三十四页，共一百一十八页，2022年，8月28日第二章声波的基本性质

及传播特性人类生活的环境中，到处都可以听到各种各样的声音，工厂车间内各种机器的轰鸣、幽静的林间各种鸟类的鸣叫、城市繁忙的街道上的各种杂乱的噪声等等。优美的音乐会带给人们以高雅的享受，宁静而优美环境中的各种鸟类的鸣唱会给人们的生活增添丰富多彩的乐趣。相反，吵杂的噪声则给人们带来烦恼，严重时则会导致各种疾病而威胁到人与动物的生存。在日常生活中人们又是通过声带振动发声而构成的语言进行交流表达彼此之间的情感。我们虽然时刻接触声音，但对声音的本质、特性未必人人都完全清楚。也就是说，感觉到的东西，并不一定能够完全理解它，而只有理解了的东西，才能更深刻的感觉它。为此，研究声学及其应用，舍痹取利为人类造福，了解和熟悉声波的有关物理特性及其描述等一些最基本的概念和知识是十分必要的。第三十五页，共一百一十八页，2022年，8月28日第一节

振动与声当物体作机械振动时，常常引起声辐射而发出声音。例如机器运转而产生振动时，就引起机器表面附近空气质点的振动，由于空气具有弹性性质，则机器周围的空气就会交替地产生压缩与膨胀（稠密与稀疏）的变化。又由于空气具有质量与惯性，因而空气质点的往复振动就以波的形式向四周传播开去，这就形成了声波。当声波传入人耳被鼓膜接受并传入内耳转换成神经脉冲，再由听觉神经传至脑组织，这时人们就感觉到了机器发出的声音。但是，人耳能否听到声音，还取决于声波的频率和声强。可听声音的频率范围为20~20000HZ，其声强约为0~130dB，频率低于20HZ的“次声波”和频率高于20000HZ的“超声波”，人耳是听不到的。某些动物可以听到高于20000HZ的超声波。对于那些使人感到烦恼或不愉快的声音，或者概括地说，即人们不希望要的声音，通常称为噪音。第三十六页，共一百一十八页，2022年，8月28日由上述可知，振动与声是源与流的关系，二者紧密地联系在一起。声音由振动而产生，有声必有振动存在。因振动而发声的物体称为声源，当振动以波的形式在弹性媒质中传播时，便形成了声波场。一定频率范围和强度的声波作用于人耳，便使之产生声音的感觉，若声源发生振动，但这种振动没有弹性媒质（如空气、液体和固体等）作为传播的载体，也就不能形成声波场，人们也就不会产生听到声音的感觉。第三十七页，共一百一十八页，2022年，8月28日第二节声压的基本概念为了进一步定量研究声波的各种性质，就需要确定用什么物理量来描述声波过程，我们知道，连续媒质可以看作是有许多紧密相连的微小体积元dv组成的物质系统，这样体积元内的媒质就可以当作集中在一点，质量等于ρv的质点来处理，ρ是媒质的密度，但这种质点与刚性质点不同，因为密度是随时间和坐标而变化的量。第三十八页，共一百一十八页，2022年，8月28日若讨论平衡态下的物质系统内的声学现象，则在平衡态时系统可用体积V0（或密度ρ0

）、压强P0

及温度T0等状态参数来描述。在这种状态下，组成媒质的分子等微粒虽然不断地运动着，但就任一个体积元来讲，在时间t内流入的质量等于流出的质量，因此体积元内的质量是不随时间变化的如有声波作用时，在组成媒质的微粒的杂乱运动中附加了一个有规律的运动，使得体积元内有时流入的质量多与流出的质量，有时则相反，即体积元内的媒质一会儿稠密，一会儿又稀疏，所以声波的传播实际上也就是媒质内稠密和稀疏的交替过程，显然这样的变化过程可以用体积元内的压强、密度、温度以及质点速度等的变化来描述。第三十九页，共一百一十八页，2022年，8月28日设体积元受声扰动后压强由P0改变为P1，则由声扰动产生的逾量压强（简称为逾压）：就称为声压，因为声传播过程中，在同一时刻，不同体积元内的压强P都不同；对同一体积元，其压强又随时间而变化，所以声压P一般是空间和时间的函数，即：第四十页，共一百一十八页，2022年，8月28日同样，由声扰动引起的密度的变化量：也是空间和时间的函数：此外，既然声波是媒质质点振动的传播，那么媒质质点的振动速度自然也是描述声波的合适的物理量之一。但由于声压的测量比较容易实现，通过声压的测量也可以间接求得质点速度等其它物理量，所以声压已成为目前人们最为普遍采用的描述声波特性的物理量第四十一页，共一百一十八页，2022年，8月28日存在声压的空间称为声场，声场中某一瞬间的声压值称为瞬时声压。在一定时间间隔中最大的瞬时声压值称为峰值声压或巅值声压。如果声压随时间的变化是按简谐规律的，则峰值声压也就是声压的振幅。在一定时间间隔中，瞬时声压对时间取均方根值称为有效声压：T代表取平均的时间间隔，它可以是一个周期或比周期大得多的时间间隔，一般用电子仪表测得的往往就是有效声压。因而人们习惯上指的声压，也往往是指有效声压。第四十二页，共一百一十八页，2022年，8月28日声压的大小反映了声波的强弱，声压的单位为Pa：1Pa=1N/m2有时也用bar（巴）作为单位，1bar=100KPa第四十三页，共一百一十八页，2022年，8月28日第三节理想流体媒质中的

一维声波方程声场的特征可以通过媒质中的声压P、质点速度v以及密度的变化量ρ’来表征，以声压为例，在声传播过程中，对同一时刻，声场中各不同位置都有不同的数值，也就是声压随着位置有一个分布；另一方面，声场中每个位置的声压又在随时间而变化，也就是说声压随位置的分布还随时间而变化。根据声波传播过程的物理性质，建立声压随空间和时间的变化之间的联系，这种联系的数学表示也就是声波的波动方程。第四十四页，共一百一十八页，2022年，8月28日一、理想流体媒质的三个基本方程声波振动作为一个宏观的物理现象，必然要满足三个基本的物理定律，即牛顿第二定律、质量守恒定律及描述压强、温度与体积等状态参数关系的状态方程。第四十五页，共一百一十八页，2022年，8月28日为了使问题简化，必须对媒质及声波过程作出如下假设：媒质为理想流体，即媒质中不存在粘滞性，声波在这种理想媒质中传播时没有能量耗损。没有声扰动时，媒质在宏观上是静止的，即初速度为零，同时媒质是均匀的，因此媒质中静态压强P0、静态密度ρ0都是常数。声波传播时，媒质中稠密和稀疏的过程是绝热的，既媒质与相邻部分不会由于声波过程引起温度差而产生热交换，既整个过程为绝热过程。媒质中传播的是小振幅声波。各声学变量都是一级微量，声压P比媒质静态压强P0小得多，即质点速度v远小于声速C0

，质点位移远小于声波波长λ，即媒质的密度增量远小于静态密度，即第四十六页，共一百一十八页，2022年，8月28日先考虑一维情形1.运动方程设想在声场中任取一足够小的体积元，如下图所示：P0+PP0+P+dPxx+dxF1F2图2-1第四十七页，共一百一十八页，2022年，8月28日其体积为Sdx（S微体积元的垂直于x轴的侧面面积），由于声压P随位置x而异，因此作用在体积元左侧面与右侧面上的力是不相等的，其合力就导致这个体积元中的质点沿x方向运动。当有声波传过时，体积元左侧面处的压强为所以作用在该体积元左侧面上的力因为在理想流体媒质中不存在切向力，内压力总是垂直于所取得表面，所以F1的方向是沿x轴正方向；体积元右侧面处的压强为其中为位置从x变到x+dx以后声压的改变量，于是作用在该体积元右侧面上的力为第四十八页，共一百一十八页，2022年，8月28日其方向沿x轴的负方向。考虑到媒质静压强P0不随x而变，因而作用在该体积元上沿x方向的合力该体积元内媒质的质量为ρSdx，它在力F作用下得到沿x方向的加速度dv/dt，因此根据牛顿第二定律有：整理这就是有声扰动时媒质的运动方程，它描述了声场中声压P与质点速度ν之间的关系。（2-3-1）第四十九页，共一百一十八页，2022年，8月28日2.连续性方程所谓连续性方程实际上就是质量守恒方程，即媒质中单位时间内流入体积元的质量与流出体积元的质量之差应等于该体积元内质量的变化量。仍设想在声场中取一足够小体积元，如下图所示：(ρv)x(ρv)x+dxxx+dx图2-2第五十页，共一百一十八页，2022年，8月28日其体积为Sdx，如在体积元左侧面x处，媒质质点的速度为(v)x,密度为(ρ)x，则在单位时间流过左侧面进入体积元的质量应等于截面积为S，高为(v)x的柱体体积内所包含的媒质质量，即在同一单位时间，从体积元经右侧面流出的质量为负号表示流出，取其泰勒展开式的一级近似即为第五十一页，共一百一十八页，2022年，8月28日因此，单位时间内流入流出体积元的质量差为由于体积元内既没有产生质量的源，又没有消失质量的汇存在，所以质量是守恒的。因此，在单位时间内体积元的质量的增加量必然等于流入流出体积元的质量差。于是，(ρ,v都是x的函数，式中不再注下表x）另一方面，体积元内质量增加，则说明它的密度增大了，设它在单位时间内的变化量为∂ρ/∂t,那么在单位时间内体积元内质量的变化量为即为:（2-3-2）这就是声场中媒质的连续性方程，它描述媒质质点速度v与密度ρ间的关系。第五十二页，共一百一十八页，2022年，8月28日3.状态方程仍考察媒质中包含一定质量的一个体积元,它在没有声扰动时的状态以压强P0，密度ρ0及温度T0来表征，当声波传过该体积元时，体积元内的压强、密度、温度都会发生变化，当然这三个量的变化不是独立的，而是互相联系的，这种媒质状态的变化规律由热力学状态方程所描述。因为即使在频率较低的情况下，声波过程进行得还是比较快，体积压缩和膨胀过程的周期比热传导需要的时间短得多，因此在声波传播过程中，媒质还来不及与毗邻部分进行热量交换，因而声波传播过程可以认为是一个绝热过程，这样，就可以认为压强P仅是密度ρ的函数，即：P=P(ρ)这里下标“S”表示绝热过程。因而有声扰动引起的压强和密度的微小增量则满足：第五十三页，共一百一十八页，2022年，8月28日考虑到压强和密度的变化有相同的方向，当媒质被压缩时，压强和密度都增加，即dP>0,dρ>0;而膨胀时压强和密度都降低，即dP<0,dρ<0,所以系数(dP/dρ)S恒大于零。以C2表示，即有：这就是理想流体媒质中有声扰动时的状态方程，它描述声场中压强的微小变化与密度的微小变化之间的关系。关于C2=(dP/dρ)S

，现在暂且认为是引入的一个符号，在后面解出波动方程以后将会看到，它实际上代表了声传播的速度，它在一般情况下并非为常数，仍可能是压强和密度的函数，其值决定于具体媒质情况下压强对密度的依赖关系。（2-3-3）例如我们知道，理想气体的绝热状态方程为：(2-3-4)第五十四页，共一百一十八页，2022年，8月28日而对一定质量的理想气体，上式成为：因此可求得：对于一般流体，其压强和密度之间的关系比较复杂，不可能求得类似于（2-3-4）式那样的解析表达式，这时常可通过煤质的压缩系数（或体积弹性系数）来求得C，因为由定义：可见C仍是P及ρ的函数。（2-3-5）第五十五页，共一百一十八页，2022年，8月28日考虑到媒质质量一定，则有ρdV+Vdρ=0，即代入C2，则得到：（2-3-6）——体积的相对增量；——绝热体积压缩系数——绝热体积弹性系数由（2-3-6）式可见，对液体等一般媒质，C2通常也还是ρ的函数。第五十六页，共一百一十八页，2022年，8月28日二、小振幅声波一维波动方程前面已经求得了有声扰动存在时理想流体媒质的三个基本方程，但这些方程中各声学量之间都是非线性的。因此还不可能从这些方程中消去某些物理量以得到单一参量表示的波动方程。但如果考虑到某些假设，即声波的振幅比较小，声波的各参量以及它们随位置、时间的变化量都是微小量，并且它们的平方项以上的微量为更高阶的微量。因而可以忽略。那么，三个基本方程可以得到进一步简化：第五十七页，共一百一十八页，2022年，8月28日1.运动方程由式（2-3-1），其中ρ=ρ0+

ρ‘，它仍是一个变量，至于媒质质点的加速度dv/dt，它包含了两部分：一部分是在空间指定点上，由于该位置的速度随时间而变化所得到的加速度，即本地加速度∂v/∂t；另一部分是由于质点迁移一定空间距离后，因速度位置而异取得的速度增量而得到的加速度，它等于（∂v/∂t）*（dx/dt）=v∂

v/∂x，也即迁移加速度，因此式（2-3-1）成为：略去二阶以上微量可得运动方程（2-3-1a）第五十八页，共一百一十八页，2022年，8月28日2.连续性方程已知连续性方程为：将ρ代入上式，略去二阶以上的微量即可得到连续性方程的简化形式：（2-3-2a）第五十九页，共一百一十八页，2022年，8月28日3.状态方程前面已经提到，状态方程（2-3-3）式中的系数C2=(dP/dρ)S

一般讲并非常数，仍可能是P和ρ的函数，但如果是小振幅声波，

ρ’较小，这时可将(dP/dρ)S在平衡态（P0，ρ0）附近展开：因（ρ-ρ0）很小，上式可略去第二项以后的所有项得(dP/dρ)S

≈(dP/dρ)S

0，并以C02表示为：C02=(dP/dρ)S

0

，由此可见对小振幅声波，C02近似为一常数。第六十页，共一百一十八页，2022年，8月28日例如，对理想气体，由式（2-3-5）知C2=γp/ρ,取平衡态时的数值则得：对液体等一般流体，由式（3-3-6）知C2=(dP/dρ)S

=1/βSρ，取平衡态时的数值则得到：（2-3-5a）（2-3-6a）经过上述近似，在考虑到对于小振幅声波（2-3-3）式中压强的微分即为声压P，密度的微分即为密度增量ρ’，因而媒质的状态方程可简化为：（2-3-3a）第六十一页，共一百一十八页，2022年，8月28日总之，对小振幅声波，经过略去二阶以上的微量的所谓线性化近似之后，媒质的三个基本方程都已简化为线性方程了，即式（2-3-1a）、（2-3-2a）和（2-3-3a）。根据这一方程组，即可消去P、

ρ’、v中的任意两个，推得上式即为均匀理想流体媒质中小振幅声波的波动方程（2-3-7）第六十二页，共一百一十八页，2022年，8月28日第四节平面声波的基本性质前面所导出的声波动方程只是应用了媒质的基本物理特性以后导出的，并没有涉及具体声源的振动状况及边界上的状况,因此它反映的是理想媒质中声波动物理现象的共同规律。至于具体的声传播特性还必须结合具体声源及具体边界状况来确定。也就是求方程满足边界条件的解。为了描述清楚起见，选择一种波形比较简单的例子进行分析。设声波仅沿x方向传播，而在yz平面上所有质点的振幅和相位均相同的情况下。因这种波的波阵面是平面，所以称为平面波。第六十三页，共一百一十八页，2022年，8月28日一、波动方程的解设想在无限均匀媒质中有一无限大平面刚性物体沿法线方向来回振动，这时所产生的声场显然就是平面声波。讨论这种声场，归结为求解一维声波方程:此方程为一个二阶线性偏微分方程。第六十四页，共一百一十八页，2022年，8月28日关于声场随时间变化的部分，我们有兴趣的主要是在稳定的简谐声源作用下产生的稳态声场，这有两方面的原因：一方面声学中相当多的声源是随时间做简谐振动的；另一方面，根据傅里叶分析，任一时间函数的振动（例如脉冲声波等）原则上都可以分解为许多不同频率的简谐振动的叠加（或积分），所以只要对简谐振动分析清楚了，就可以通过不同频率的简谐振动的叠加（或积分）来求得这些复杂时间函数的振动规律。因此随时间做简谐变化的声场将是分析随时间复杂变化的声场的基础。基于上述原因，不妨设波动方程有下列形式的解：(2-4-1)第六十五页，共一百一十八页，2022年，8月28日将（2-4-1）式代入波动方程中，即可得到关于空间的P(x)的常微分方程。(2-4-2)其中k=ω/C0，称为波数。常微分方程（2-4-2）的一般解可以取正弦、余弦函数的组合，也可以取复数组合。对于讨论声波向无限空间传播的情形，取成复数的解更为适宜，即：（2-4-3）其中A和B为两个任意常数，由边界条件决定。第六十六页，共一百一十八页，2022年，8月28日将（2-4-3）式代入（2-4-1）式得：（2-4-4)式（2-4-4）中的第一项代表了沿x正方向行进的波，第二项代表了沿x负方向行进的波。现在既然讨论无限媒质中平面声波的传播，因此可假设在波传播途径上没有反射体，此时就不出现反射波，因而B＝0，所以（2-4-4）式就简化为：第六十七页，共一百一十八页，2022年，8月28日设x=0的声源振动时，在毗邻媒质中产生了

Paeiωt的声压，这样就求得A=Pa，于是就得到了声场中的声压为：（2-4-5）根据声压与速度之关系便可求得质点速度：（2-4-6）式中因考虑到媒质起初是静止的，t=0时，v(0)=0。第六十八页，共一百一十八页，2022年，8月28日式（2-4-5）与式（2-4-6）就是均匀的理想媒质中的一维小振幅声波的声压和质点速度。下面分析由这两式表示的声场所具有的特性：（1）首先讨论任一瞬时t=t0时位于任意位置x=x0

处的波经Δt时间以后位于何处？不妨假设经过Δt时间后，它传播到了x0+Δx

处，如果求得

Δx=0，则说明经过Δt时间以后波仍在原处；如果Δx>0，则说明波沿正x方向移动了Δx距离；如果Δx<0，则说明波沿负x方向移动了Δx

距离。这个假设意味着t0+Δt

时位于x0+Δx

处的波就是t0

时位于

x0处的波，即：第六十九页，共一百一十八页，2022年，8月28日将（2-4-6）式代入上式，经简化得到：解得：(2-4-7)因为时间间隔Δt总是大于零的，所以有Δx>0，这就说明（2-4-6）是表征了沿x方向行进的波。第七十页，共一百一十八页，2022年，8月28日（2）任一时刻t0

时，具有相同相位φ0

的质点轨迹是一个平面，这只要令ωt0-kx=φ0，即可解得：这就是说，这种声波传播过程中，等相位面是平面，所以通常称为平面波。（3）由（2-4-7）式可得：可见C0

代表单位时间内波阵面传播的距离，也就是声传播速度。第七十一页，共一百一十八页，2022年，8月28日总之，以（2-4-5）式及（2-4-6）式描述的声场是一个波阵面为平面，沿正x方向以速度C0

传播的平面行波，同时容易看出，平面声波在均匀的理想媒质中传播时，声压幅值Pa

、质点速度振幅va

都是不随距离改变的常数，也即说明声波在传播过程中不会有任何衰减。此外，应指出，平面声场中任何位置处，声压和质点速度都是同相位的。第七十二页，共一百一十八页，2022年，8月28日二、声波传播速度对理想气体中的小振幅声波，我们已经求得其声速为：例如，对于空气：γ=1.402，在标准大气压P0

，温度为0℃

时，

ρ0=1.293kg/m3

，则C0=331.6m/s因为声速C0

与媒质平衡状态的参数有关，所以温度的变化必然引起声速的变化。若考虑温度因素时，对理想气体由卡拉伯龙公式：µ——气体摩尔量，R—气体常数第七十三页，共一百一十八页，2022年，8月28日因此声速的定义式可改写为(2-4-8)由此可见，声速与无声扰动时媒质平衡状态的绝对温度

T0的平方根成正比，若采用摄氏温标t℃

，因为

T0=273+t，则温度为t℃

的声速为：(2-4-9)式中将此值代入上式得：(m/s)(2-4-10)由此算得20℃时的声速为344m/s。第七十四页，共一百一十八页，2022年，8月28日三、声阻抗率与媒质特性阻抗声阻抗率的定义：声场中某位置的声压与该位置的质点速度的比值为该位置的声阻抗率，即：声场中某位置的声阻抗率ZS

一般来说可能是复数，像电阻抗一样，其实数部分反映了能量的损耗。(2-4-11)根据声阻抗率的定义（2-4-11）式，对平面声波情况，应用（2-4-5）与（2-4-6）式，可求得平面前进声波的声阻抗率为：(2-4-12)第七十五页，共一百一十八页，2022年，8月28日对沿负x方向传播的反射波情形，通过类似的讨论可求得:(2-4-13)由此可见，在平面声场中，各位置的声阻抗率数值上都相同，且为一实数。这反映了在平面声场中各位置上都无能量的贮存，在前一个位置上的能量可以完全地传播到后一个位置上去。第七十六页，共一百一十八页，2022年，8月28日第五节声场中的能量关系声波传到原先静止的媒质中，一方面使媒质质点在平衡位置附近来回振动，同时在媒质中产生了压缩和膨胀的过程。前者使媒质具有了振动能量，后者使媒质具有了形变位能，两部分之和就是由于声扰动使媒质得到的声能量。扰动的传播，声能量也就跟着转移，因此可以说声波的过程实质上就是声振动能量的传播过程第七十七页，共一百一十八页，2022年，8月28日一、声能量与声能量密度

设想在声场中取一足够小的体积元，其原先的体积为V0，压强为p0，密度为

ρ0

，由于声扰动使该体积元得到的动能为（2-5-1）此外，由于声扰动，该体积元压强从P0升高P0+P到

，于是该体积元具有了位能。（2-5-2）式中负号表示在体积元内压强和体积的变化方向相反，压强增加时体积将缩小，此时外力对体积元作功，使它的位能增加，即压缩过程使系统贮存能量，反之，当体积元对外作功时，体积元的位能就会减小，也即膨胀过程使系统释放能量。第七十八页，共一百一十八页，2022年，8月28日因为媒质体积的变化与压强的变化是互相联系的，这由状态方程（2-3-3a）式所描述，对其微分可得考虑到体积元在压缩和膨胀过程中质量保持一定，则体积元体积的变化和密度的变化之间存在着关系（2-5-3）对小振幅声波，则可简化成将其带入（2-5-3）式，第七十九页，共一百一十八页，2022年，8月28日由此解出dV并带入（2-5-2）式，再对p积分得体积元的总能量为动能与位能之和，即（2-5-4）单位体积的声能量称为声能量密度ε，即（2-5-5）尽管上式是以平面波为例而导出的，但因推导过程并未对声场作任何特殊限制，因而该式即适用于平面声波，也适用于球面波及其他类型声波的普遍表达式。第八十页，共一百一十八页，2022年，8月28日将平面行波的声压（2-4-5）式及（2-4-6）式取实部后带入（2-5-4）式，即可得到（2-5-6）由此可看出，平面声场中任何位置上动能与位能的变化是同相位的，动能达到最大值时位能也达到最大值。（2-5-6）式代表体积元内声能量的瞬时值，如果将它对一个周期取平均，则得到声能量的时间平均值。第八十一页，共一百一十八页，2022年，8月28日单位体积中的平均声能量称为平均声能量密度，即式中

为有效声压。因为在理想媒质平面声场中，声压幅值是不随距离改变的常数，所以平均声能量密度处处相等，这是理想媒质中平面声场的又一特征。(2-5-7)第八十二页，共一百一十八页，2022年，8月28日二、声功率与声强平均声能量流的单位为W（瓦）单位时间内通过垂直于声传播方向的面积S的平均声能量就称为平均声能量流或称为平均声功率。因为声能量是以声速C0传播的，因此平均声能量流应等于声场中面积为S、高度为C0的柱体内所包括的平均声能量。即(2-5-8)通过垂直于声传播方向的单位面积上的平均声能流就称为平均声能量流密度或称为声强，即(2-5-9)第八十三页，共一百一十八页，2022年，8月28日根据声强的定义，它还可用单位时间内、单位面积的声波向前进方向毗邻媒质所作的功来表示，因此也可写成式中Re表示取实部，声强的单位为W/m2。对沿正x方向传播的平面声波，无论将（2-5-7）式代入（2-5-9）式或是将（2-4-6）式代入（2-5-10）式，都可以得到(2-5-10)(2-5-11)第八十四页，共一百一十八页，2022年，8月28日对沿负x方向传播的反射波情形，可求得这时声强是负值，它表明声能量向负x方向传递。由此可见，声强是有方向的量，它的指向就是声传播的方向。由（2-5-11）及（2-5-12）式可见，声强与声压幅值或质点速度幅值的平方成正比。此外在相同质点速度幅值的情况下，声强还与媒质的特性阻抗成正比。例如在空气和水中有两列相同频率、相同速度幅值的平面声波，这时水中的声强要比空气中的声强约大3600倍。可见，在特性阻抗较大的媒质中，声源只需用较小的振动速度就可以发射出较大的能量，从声辐射的角度看这是很有利的。(2-5-12)第八十五页，共一百一十八页，2022年，8月28日第六节声波的反射、折射与透射前面讨论了平面声波在无限空间中自由传播的规律，然而声波在传播路径上常会迁到各种各样的“障碍物”。例如，声波从一种媒质进入另一种媒质时，后者对前一种媒质所传播的声波就是一种障碍物。当声波在前进过程中遇到障碍物将会产生反射、折射与透射等现象。第八十六页，共一百一十八页，2022年，8月28日一、声学边界条件声波的反射、折射及透射都是在两种媒质的分界面处发生的。因此首先要讨论在分界面存在些什么声学特性和规律，即声学的边界条件是什么。设有两种都延伸到无限远的理想流体，其特性阻抗分别为ρ1c1和ρ2c2，如下图所示那样互相接触ρ1c1ρ2c2P（1）P（2）图2-3第八十七页，共一百一十八页，2022年，8月28日设想在分界面上割出一块面积为s，厚度足够薄的质量元，其左右两个界面分别位于两种媒质里，其质量设为ΔM，如果在分界面附近两种媒质里的压强分别为P(1)和P(2)，它们的压强差就引起质量元的运动，按牛顿第二定律，其运动方程为因为分界面是无限薄的，即这个质量元的厚度乃至质量

是趋近于零的，而质量元的加速度不可能趋于无穷大，所以要上式成立就必须存在(2-6-1)第八十八页，共一百一十八页，2022年，8月28日(2-6-1)式对有无声波的情况都成立，当无声波存在时，该式给出两媒质中的静压强在分界面处是连续的。当有声波存在时，考虑到，

则有(2-6-3)(2-6-2)即两种媒质中的声压在分界面处是连续的。第八十九页，共一百一十八页，2022年，8月28日此外，如果分界面两边的媒质由于声扰动得到的法向速度（垂直于分界面的速度）分别为

和

，因为两种媒质保持恒定接触，所以两种媒质在分界面处的法向速度相等，即(2-6-4)（2-6-3）式与（2-6-4）式就是媒质分界面处的声学边界条件。第九十页，共一百一十八页，2022年，8月28日二、平面声波垂直入射时的反射和透射ρ1c1ρ2c2PiPiPr0xⅠⅡ下面分别求解媒质Ⅰ和媒质Ⅱ中的声场。在媒质Ⅰ中求解一维声波方程（2-3-7）式得声压P1的形式为(2-6-5)图2-4第九十一页，共一百一十八页，2022年，8月28日式(2-6-5)第一项代表沿x方向前进的波，也就是原来已知的入射波pi，所以这里的常数A就是入射波的幅值pia；第二项代表向负x方向行进的波，它实际代表了入射波遇到分界面以后在媒质Ⅰ中产生的反射波，记为pr，即有因此（2-6-5）式可改写为(2-6-6)即媒质Ⅰ中的声场为入射波与反射波之和。第九十二页，共一百一十八页，2022年，8月28日媒质Ⅱ中的声场

的一般解形式上仍为（2-6-5）式，但由于媒质Ⅱ无限延伸，不会出现负x方向传播的波，所以这里只需保留（2-6-5）式中的第一项，它实际上代表了透入媒质Ⅱ的透射波，记为

，即得运用速度方程可求出两种媒质中质点速度v1及v2分别为(2-6-7)（2-6-8）式中，第九十三页，共一百一十八页，2022年，8月28日下面通过声学边界条件来确定反射、透射的大小。据声学边界条件知，在x=0的分界面处应有声压连续及法向质点速度连续（2-6-9）将式（2-6-6）、（2-6-7）式代入（2-6-9）式得到（2-6-10）第九十四页，共一百一十八页，2022年，8月28日联合（2-6-8）式及（2-6-10）式即可求得在分界面上反射波声压与入射波声压之比rp

，反射波质点速度与入射波质点速度之比tv分别为：（2-6-11）式中第九十五页，共一百一十八页，2022年，8月28日由此可见，声波在分界面上反射与透射的大小仅决定于媒质的特性阻抗，这再次说明媒质的特性阻抗对声传播有着重要的影响。下面分几种情况讨论：1、R1=R2（R12=1）由（2-6-1）式代入得rp=rv=0tp=tv=1这表明声波没有反射，即全部透射，也就是说即使存在着两种不同媒质的分界面，但只要两种媒质的特性阻抗相等，那么对声的传播来说分界面就好像不存在一样。第九十六页，共一百一十八页，2022年，8月28日2、R2=R1（R12>1）由（2-6-11）式得rp>0,rv<0tp>0,tv>0因为R2>R1，媒质Ⅱ比媒质Ⅰ在声学性质上更“硬”。这种边界称为硬边界，在硬边界附近，当入射波质点速度

指向边界面使这里的媒质Ⅰ呈压缩相时，入射波的质点速度在碰到分界面时好像弹性碰撞一样，变成一个反向的速度，结果反射波的质点速度

也使这里的媒质Ⅰ呈现压缩相，所以在硬边界面上，反射波质点速度与入射波质点速度相位改变180°，反射波声压与入射波声压同相位。第九十七页，共一百一十八页，2022年，8月28日3、R2<R1（R12<1）由（2-6-11）式代入得rp<0,rv>0tp>0,tv<0因为R2<R1，媒质Ⅱ比媒质Ⅰ在声学性质上较“软”，这种边界称为软边界，在软边界附近，当入射波质点速度

指向边界面使这里的媒质Ⅰ呈压压缩相时，入射波的质点速度在碰到分界面时好像非弹性碰撞一样，还会”过冲”，结果反射波的质点速度

就使界面处的媒质

呈稀疏相，所以在软边界面上，反射波质点速度与入射波质点速度同相位，反射波的声压与入射波的声压相位改变180o。第九十八页，共一百一十八页，2022年，8月28日4、R2>>R1（R12>>1）由（2-6-11）式得rp≈1,rv≈-1tp≈2,tv≈0因为R2>>R1，媒质Ⅱ比媒质Ⅰ说来十分“坚硬”，入射质点速度vi碰到分界面以后完全弹回媒质Ⅰ，所以反射波的质点速度vr

与入射波的质点速度v

i大小相等，相位相反，结果在分界面上合成质点速度为零，而反射波声压与入射波声压大小相等，相位相同，所以在分界面上的合成声压为入射声压得两倍。实际上这时发生的是全反射，在媒质Ⅰ中入射波与反射波叠加形成了驻波，分界面处恰是速度波节和声压波腹。至于在媒质Ⅱ中，这时并没有声波传播，媒质Ⅱ的质点并未因媒质Ⅰ质点的冲击而运动(tv=0)，媒质Ⅱ中存在的压强也只是分界面处的压强pt=2pi

的静态传递，并不是疏密交替的声压。第九十九页，共一百一十八页，2022年，8月28日下面讨论声波通过分界面时的能量关系。因为反射波与透射波都仍是平面波，应用(2-5-11)式可求得反射波声强与入射波声强大小之比即声强反射系数r1

及透射波强度与入射波声强之比即声强透射系数

t1分别为(2-6-12)(2-6-13)从(2-6-12)式可以看出，因为公式中

R2与R1

是对称的，所以声波不论从媒质Ⅰ入射到媒质Ⅱ或者相反，声强反射系数都是相等的。第一百页，共一百一十八页，2022年，8月28日三、平面声波斜入射时的反射与折射为了处理方便，我们把分界面的坐标取为x=0如左图2-5所示。设有一入射平面波，其行进方向与分界面的法线即x轴有一夹角

，因为波的行进方向不再向前面一节那样是恰好沿着

轴的，所以现在的入射平面也不能写成像(2-4-5)式那样简单的形式。θty0xⅠⅡθrθi图2-5第一百零一页，共一百一十八页，2022年，8月28日我们知道，当平面声波的传播方向也就是波阵面的法线方向与x轴相一致时，平面波的表达式为(2-6-14)这时同一波阵面上不同位置的点(x,y,z)因为有相同的x坐标，因此声压的振幅和相位均相同，即这些位置上的声压都以上式描述，式中的

值实际上代表的是位置矢量

在波阵面法线方向(这里恰巧为

轴)上的投影。如下页2-6图(a)。如果设想一列沿空间任意方向行进的平面波，也会发现，那时波阵面上的不同位置也因为位置矢量在波阵面法线方向上的投影相等而具有相同的声压。见下页图2-6(b)。所以我们可以把上式中

一般化地理解为声场某点的位置矢量

在波阵面法线上的投影，它等于波阵面法线的单位矢量n=cosαi+cosβj+cosγk与位置矢量r=xi+yj+zk

标量积，即

x=n·r,第一百零二页，共一百一十八页，2022年，8月28日图azz0xr波振面yxy(x,y,z)nz0xr波振面yxy图b(x,y,z)图2-6第一百零三页，共一百一十八页，2022年，8月28日α,β,γ为波阵面法线与x,y,z三个坐标轴间的夹角，cosα,cosβ,cosγ为该法线的方向余弦。只是在此情况下的法线方向与x轴重合，所以有α=0o,β=γ=90o。于是可以将上式更一般地推广到三维空间而写成如果令kn=K，它代表波阵面法线方向上长度为K的矢量，称为波矢量(简称波矢)。则上式成为此式即为沿空间任意方向行进的平面波的表达式，其中K为波矢，r为位置矢量。因为(2-6-15)第一百零四页，共一百一十八页，2022年，8月28日所以(2-6-15)式也可写成根据上式，只要知道平面波传播方向的方向余弦cosα,cosβ,cosγ

，就可以计算空间一点(x,y,z)的声压。由声压P，应用速度式即可求得空间任意一点(x,y,z)的质点速度沿三个坐标的分量（2-6-16）（2-6-17）第一百零五页，共一百一十八页，2022年，8月28日再回到斜入射问题（图2-5）。当有一列行进方向仍在xy平面内，但与x轴夹角为

θi的平面声波入射于分界面上时，根据刚才的讨论，对该入射平面波有α=θi,β=90o-θi,γ=90o，所以按(2-6-16)式及(2-6-17)式，声压

及质点速度沿

方向的分量分别为：(2-6-18)式中

，反射波的行进方向仍在xy平面内，但与x轴有一夹角，设为α=π-θr

，如图所示，显然有β=90o-θr,γ=90o

，所以反射波声压及质点速度沿x方向的分量可表示为第一百零六页，共一百一十八页，2022年，8月28日（2-6-19）因此，媒质Ⅰ中的声场就为入射波与反射波之和（2-6-20）在媒质Ⅱ中就简单地只有一列折射波，设折射波前进方向与x轴夹角为θt

，则α=θt,β=90o-θt,γ=90o

，所以折射波声压及质点速度沿

方向的分量分别可表示为（2-6-21）第一百零七页，共一百一十八页，2022年，8月28日现在的问题就是应用x=0处的声学边界条件确定反射波、折射波的大小及方向。根据(2-6-3)式及(2-6-4)式，在分界面处应满足声压及法向质点速度连续，即x=0处有将(2-6-20)式及(2-6-21)式代入上式即得(2-6-22)要使(2-6-22)式对x=0平面上任意y值都成立，必要条件是各项的指数因子相等，即第一百零八页，共一百一十八页，2022年，8月28日由此解得(2-6-23)这就是著名的斯奈尔声波反射与折射定律，它说明声波遇到分界面时，反射角等于入射角，而折射角的大小与两种媒质中声速之比有关，媒质Ⅱ的声速越大，则折射波偏离分界面法线的角度越大。考虑到(2-6-23)式，则(2-6-22)式可简化为(2-6-24)由此解得分界面上反射波声压与入声波声压之比rp

，以及透射波声压与入射波声压之比

分别为tp

：第一百零九页，共一百一十八页，2022年，8月28日(2-