复变函数与积分变换课堂第四章

复变函数与积分变换课堂第四章1第一页，共一百二十一页，2022年，8月28日数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来，并得到某些系统的结论。不仅如此，级数可作为研究解析函数的一个重要工具，将解析函数表示为幂级数。是泰勒定理由实情形的推广，是研究解析函数的另一重要方法(注意前一章是用复积分方法研究)。第二页，共一百二十一页，2022年，8月28日§1复数项级数1.复数列的极限2.级数概念第三页，共一百二十一页，2022年，8月28日1.复数列的极限此时也称复数列{αn}收敛于α。则α称为复数列{αn}当n时的极限,记作设为一复数列,其中αn=an+ibn,又设a=a+ib为一确定的复数。如果任意给定,相应地能找到一个正数使在n>N时成立,定理一复数列收敛于α的充要条件是第四页，共一百二十一页，2022年，8月28日定理一复数列收敛于α的充要条件是找到一个正数N,当n>N时,则，同理所以,则对于任意给定的,就能[证]如果第五页，共一百二十一页，2022年，8月28日从而有所以存在N，当n>N时，有,则任给ε>0,反之,如果定理一复数列收敛于α的充要条件是[证]第六页，共一百二十一页，2022年，8月28日2.级数概念称为无穷级数,其最前面n项的和称为级数的部分和。级数称为发散。设为一复数列,表达式如果部分和数列{sn}收敛,则级数称为收敛，且极限称为级数的和。如果数列不收敛，则第七页，共一百二十一页，2022年，8月28日都收敛。[证]因级数定理二和收敛的充要条件是级数的部分和,由定理一,{sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{σn}的极限存在,即级数都收敛。和其中和分别为第八页，共一百二十一页，2022年，8月28日定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级和数的审敛问题。而由实数项级数收敛的和必要条件要条件是立即可得，从而推出复数项级数收敛的必第九页，共一百二十一页，2022年，8月28日成立。，可知级数都收敛，因而和及也都收敛，则是收敛的。而又因，因此或如果收敛，则也收敛，且不等定理三由于，而[证]式第十页，共一百二十一页，2022年，8月28日非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数。定义如果收敛，则称级数绝对收敛。由于，因此，所以当绝对收敛时，也绝对收敛，因此与绝对收敛的充要条件是绝对收敛。和第十一页，共一百二十一页，2022年，8月28日例1

考察级数的敛散性。[解]因发散，虽收敛，仍断定原级数发散。收敛也可用正项级数的判定法来判定。的各项都是非负的实数,所以它的另外,因为第十二页，共一百二十一页，2022年，8月28日例2下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限。[解]1)因，故而所以数列收敛，且有2)由于an=ncosin=nchn=n(en+e-n)/2,因此,当n时,an。所以an发散。第十三页，共一百二十一页，2022年，8月28日例下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限。[解]第十四页，共一百二十一页，2022年，8月28日例3下列级数是否收敛?是否绝对收敛?[解]1)收敛,故原级数发散。发散；敛,故原级数收敛,且为绝对收敛。为条件收敛,所以原级数非绝对收敛。3)因收敛；也收敛,故原级数收敛。但因2)因,由正项级数的比值审敛法知收第十五页，共一百二十一页，2022年，8月28日例下列级数是否收敛?是否绝对收敛?[解]1)3)2)第十六页，共一百二十一页，2022年，8月28日§2幂级数1.幂级数概念2.收敛圆与收敛半径3.收敛半径的求法4.幂级数的运算和性质第十七页，共一百二十一页，2022年，8月28日1.幂级数的概念称为复变函数项级数。最前面n项的和设称为这级数的部分和。区域D内有定义。表达式为一复变函数序列,其中各项在存在,则称复变函数项级数在z0收敛,而s(z0)称为它的和。如果对于D内的某一点z0,极限第十八页，共一百二十一页，2022年，8月28日若级数在D内处处收敛,则和一定是z的一个函数s(z)：s(z)称为级数的和函数。这种级数称为幂级数。级数的特殊情形:如果令或当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项的形式,为了方便,今后常就讨论第二式。,这是第二式的,则上式就成为第十九页，共一百二十一页，2022年，8月28日定理一(阿贝尔Abel定理)z0xyO若级数在收敛，则对满足的z，级数必绝对收敛，如果在级数发散，则对满足的z，级数必发散。同高等数学中的幂级数一样，复变幂级数也有所谓幂级数的收敛定理。[证]因收敛，则则存在Ｍ使对所有的n有如果，则而第二十页，共一百二十一页，2022年，8月28日由于为公比小于1的等比级数，故收敛，因此亦收敛，从而级数是绝对收敛的。如果级数发散，且如果。用反证法，设级数结论可导出收敛，与所设矛盾，因此只能是发散。反而收敛，则根据前面的第二十一页，共一百二十一页，2022年，8月28日2.收敛圆和收敛半径利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种：i)对所有的正实数都是收敛的。这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛。ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的。这时,级数在复平面内除原点外处处发散。iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数。设时,级数发散。当α由小逐渐变大时,(正实数)时,级数收敛,(正实数)一个以原点为中心,R为半径的圆周CR。必定逐渐接近第二十二页，共一百二十一页，2022年，8月28日显然a<b,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.RCROabCaCbxy在CR的内部都是红色,外部都是蓝色。这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆。在收敛圆的内部,级数绝对收敛。以z=a为中心的圆域。在收敛圆上是否收敛,则不一定。的外部,级数发散。收敛圆收敛圆的半径R称为收敛半径。所以幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域。对幂级数来说,收敛范围是第二十三页，共一百二十一页，2022年，8月28日例1

求幂级数[解]

级数是等比级数，部分和为的收敛范围与和函数。当时，由于，从而有,即时级数收敛，和函数为不趋于零，级数发散。收敛范围为,当时，由于时，在此范围内绝对收敛，并有第二十四页，共一百二十一页，2022年，8月28日3.收敛半径的求法定理二(比值法)，则收敛半径如果[证]时，收敛。由上节定理三，级数由于故知当在圆内收敛。为第二十五页，共一百二十一页，2022年，8月28日外有一点，使级数再证当时，级数发散。假设在圆收敛。在圆外再取一点，，那么根据阿贝尔定理，级数必收敛。然而，所以收敛的假定不能成立。因而使级数在圆这跟收敛相矛盾，即在圆周外有一点，使第二十六页，共一百二十一页，2022年，8月28日,那么根据阿贝尔定理，级数必收敛。然而，所以收敛的假定不能成立。因而使级数外发散。以上的结果表明了收敛半径在圆这跟收敛相矛盾，即在圆周外有一点，第二十七页，共一百二十一页，2022年，8月28日注意：定理中的极限是假定存在的且不为零。若,那么对任何z,级数收敛,从而级数证明从略。，则收敛半定理三(根值法)如果因此也不能收敛,即R=0。否则,根据阿贝尔定理将有使得级数收敛。复平面内除z=0以外的一切z，级数都不收敛。径为在复平面内处处收敛，即。如果，那么对于第二十八页，共一百二十一页，2022年，8月28日例2

求下列幂级数的收敛半径(并讨论在收敛圆周上的情形)；(并讨论z=0,2时的情形)；1)2)3)[解]1)因为或所以收敛半径R=1，也就是原级数在圆|z|=1内收敛,在圆周外发散。在圆周|z|=1上，级数是收敛的,第二十九页，共一百二十一页，2022年，8月28日例2

求下列幂级数的收敛半径(并讨论在收敛圆周上的情形)；(并讨论z=0,2时的情形)；1)2)3)[解]1)在圆周|z|=1上，级数是收敛的,因为这是一个p级数，p=3>1，所以原级数在收敛圆上是处处收敛的。第三十页，共一百二十一页，2022年，8月28日例2

求下列幂级数的收敛半径(并讨论在收敛圆周上的情形)；(并讨论z=0,2时的情形)；1)2)3)[解]2)级数收敛；当z=2时，原级数成为也有级数的发散点。，即R=1。这个例子表明，在收敛圆周上即有级数的收敛点，上，当z=0时，原级数成为在收敛圆发散。第三十一页，共一百二十一页，2022年，8月28日例2

求下列幂级数的收敛半径(并讨论在收敛圆周上的情形)；(并讨论z=0,2时的情形)；1)2)3)[解]3)因为故收敛半径为，所以第三十二页，共一百二十一页，2022年，8月28日2)上，当z=0时，原级数成为，级数收敛；当z=2上即有级数的收敛点，也有级数的发散点。，即R=1。在收敛圆时，原级数成为发散。这个例子表明，在收敛圆周3)因为故收敛半径为因为这是一个p级数，p=3>1，所以原级数在收敛圆上是处处收敛的。，所以第三十三页，共一百二十一页，2022年，8月28日例求下列幂级数的收敛半径1)2)3)[解]1)4)5)第三十四页，共一百二十一页，2022年，8月28日例求下列幂级数的收敛半径1)2)3)[解]2)4)5)第三十五页，共一百二十一页，2022年，8月28日例求下列幂级数的收敛半径[解]3)1)2)3)4)5)第三十六页，共一百二十一页，2022年，8月28日例求下列幂级数的收敛半径[解]4)1)2)3)4)5)第三十七页，共一百二十一页，2022年，8月28日例求下列幂级数的收敛半径1)2)3)[解]5)4)5)第三十八页，共一百二十一页，2022年，8月28日4.幂级数的运算和性质在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积。在象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算。具体说来，设中较小的一个，也就是各种情形，所得到的幂级数的收敛半径大于或等于r1与r2第三十九页，共一百二十一页，2022年，8月28日为了说明两个幂级数经过运算后所得的幂级数的收敛半径确定可以大于r1与r2中较小的一个,下面举一个例子。例3设有幂级数与，求的收敛半径。第四十页，共一百二十一页，2022年，8月28日例3设有幂级数与，求的收敛半径。[解]但级数容易验证，与的收敛半径都等于1,的收敛半径的公共收敛圆域自身的收敛圆域大于这就是说，但应注意，使等式与第四十一页，共一百二十一页，2022年，8月28日例3设有幂级数与，求的收敛半径。[解]的公共收敛圆域自身的收敛圆域大于这就是说，但应注意，使等式与成立的收敛圆域仍应为，不能扩大。第四十二页，共一百二十一页，2022年，8月28日更为重要的是代换(复合)运算,就是：把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用。如果当时,,又设在内g(z)解析且满足则当时，。这个代换运算,在第四十三页，共一百二十一页，2022年，8月28日例4把函数表成形如的幂级数，其中a与b是不相等的复常数。[解]把函数写成如下形式：当时，有第四十四页，共一百二十一页，2022年，8月28日例4把函数表成形如的幂级数，其中a与b是不相等的复常数。[解]设从而可得，那么当时，上式右端的级数收敛，第四十五页，共一百二十一页，2022年，8月28日例4把函数表成形如的幂级数，其中a与b是不相等的复常数。[解]设，那么当时，上式右端的级数收敛，且其和为且。因为z=b时，阿贝尔定理知，当级数发散，即上式右端的级数Oxyab当|z-a|<|b-a|=R时级数收敛上式右端的级数发散，故由时，的收敛半径为第四十六页，共一百二十一页，2022年，8月28日本题的解题步骤为：首先把函数作代数变形，使其分母中出现量再按照展开式为已知的函数的形式写成，其中。然后把展开式中的z换成g(z)。第四十七页，共一百二十一页，2022年，8月28日例把函数分别表成形如和的幂级数，并求其收敛半径。[解](1)把函数而时，即展开成形如的幂级数，即第四十八页，共一百二十一页，2022年，8月28日例把函数分别表成形如和的幂级数，并求其收敛半径。[解](2)把函数而时，即展开成形如的幂级数，即第四十九页，共一百二十一页，2022年，8月28日定理四设幂级数的收敛半径为R，则1)它的和函数是收敛圆的解析函数。2)f(z)在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导内得到，即3)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即或复变幂函数也象实变幂级数一样，在其收敛圆内具有下列性质：第五十页，共一百二十一页，2022年，8月28日例求下列幂级数的收敛半径及其和函数1)2)3)[解]1)2)第五十一页，共一百二十一页，2022年，8月28日例求下列幂级数的收敛半径及其和函数1)2)3)[解]3)第五十二页，共一百二十一页，2022年，8月28日例求下列幂级数的收敛半径及其和函数1)2)3)[解]1)4)2)3)4)第五十三页，共一百二十一页，2022年，8月28日§3泰勒级数第五十四页，共一百二十一页，2022年，8月28日设函数f(z)在区域D内解析,而z0Kzrzz0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于D,把上一节中证明了一个幂级数的和函数在收敛域内部是一个解析函数。这节来研究：任何一个解析函数是否能用幂级数来表达？这个问题不但具有理论意义，而且很有实用价值。为D内以它记作K,又设z为K内任一点。于是按柯西积分公式有第五十五页，共一百二十一页，2022年，8月28日其中K取正方向,且有由于积分变量取在圆周K上，点z在K的内部，所以，且有第五十六页，共一百二十一页，2022年，8月28日代入柯西积分公式得由解析函数高阶导数公式，上式可写成第五十七页，共一百二十一页，2022年，8月28日其中在K内成立,即f(z)可在K内用幂级数表达。为此令显然，q与积分变量z无关,且0q<1。由于K含于D,如果能证明在K内成立，由上式可得第五十八页，共一百二十一页，2022年，8月28日

f(z)在D内解析,从而在K上连续,则在K上有界,因此在K上存在正实数M使|f(z)|M。则因此,下面的公式在K内成立。第五十九页，共一百二十一页，2022年，8月28日称为f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数。如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则展开式在圆域|z-z0|<d内成立。但这时对f(z)在z0的泰勒级数来说,它的收敛半径R至少等于d,因为凡满足|z-z0|<d的z必能使公式成立,即Rd。从以上的讨论，可得到下面的定理(泰勒展开定理)第六十页，共一百二十一页，2022年，8月28日成立，其中定理(泰勒展开定理)D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|<d时,设f(z)在区域D内解析,z0为从以上的讨论，可得到下面的定理(泰勒展开定理)第六十一页，共一百二十一页，2022年，8月28日如果f(z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立Oxyz0a的圆域的半径R等于从z0到f(z)距z0最近一个奇点a的距离,即R=|a-z0|。这是因为f(z)在收敛圆内解析,故奇点a不可能在收敛圆内。又因为奇点a不可能在收敛圆外,不然收敛半径还可以扩大,因此奇点a只能在收敛圆周上。第六十二页，共一百二十一页，2022年，8月28日任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的。这是因为,假设f(z)在z0用另外的方法展开为泰勒级则 f(z0)=a0.而于是 f'(z0)=a1.级数：同理可得第六十三页，共一百二十一页，2022年，8月28日由此可见，任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数，因而是唯一的。利用泰勒展开式,也可以直接通过计算系数:把f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法,例如,故有求ez在z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1,(n=0,1,2,...)第六十四页，共一百二十一页，2022年，8月28日因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,

收敛半径为。同样,可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:因为sinz与cosz在复平面上处处解析,所以这些等式也在复平面内处处成立。第六十五页，共一百二十一页，2022年，8月28日除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质(定理四),以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法。例如sinz在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出：第六十六页，共一百二十一页，2022年，8月28日例1把函数展开成z的幂级数。[解]由于函数有一个奇点，而在内处处解析，所以可在内展开成z的幂级数。将上式两边求导，即得所求的展开式因为第六十七页，共一百二十一页，2022年，8月28日[解]ln(1+z)在从解析的,而例2求ln(1+z)的主值在z=0处的泰勒展开式。向左沿负实轴剪开的平面内是是它的奇点,所以可在|z|<1展开为z的因为，逐项积分得幂级数。第六十八页，共一百二十一页，2022年，8月28日-1OR=1xy即这就是所求的泰勒展开式。例2求ln(1+z)的主值在z=0处的泰勒展开式。[解]ln(1+z)在从第六十九页，共一百二十一页，2022年，8月28日[解法1]例3求幂级数用待定系数法展开。由于可知f(z)满足微分方程为复数)的主值支：在z=0处的泰勒展开式。显然,f(z)在从-1起向左沿负实轴剪开的复平面内解析，因此必能在|z|<1内展开成z的幂级数。第七十页，共一百二十一页，2022年，8月28日设把它代入上列微分方程，得即第七十一页，共一百二十一页，2022年，8月28日所以所求的展开式为，得比较上式两端z的同次幂的系数并注意第七十二页，共一百二十一页，2022年，8月28日[解法2]直接从算出泰勒展开式的系数。为了方便，设求导，得所以即继续求导得第七十三页，共一百二十一页，2022年，8月28日总之,把复变函数展开成幂级数的方法与实变函数的情形基本一样。最后要指出，幂级数在收敛圆内的和函数是解析函数；反过来，在圆域析的函数f(z)必能在展开成幂级数f(z)在解析跟f(z)在的邻域内可以展开成幂级数是两种等价的说法。内解。所以，于是得所求的展开式。令z=0，得第七十四页，共一百二十一页，2022年，8月28日例把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们[解]又的收敛半径。故第七十五页，共一百二十一页，2022年，8月28日例把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们[解]的收敛半径。第七十六页，共一百二十一页，2022年，8月28日例把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们[解]的收敛半径。第七十七页，共一百二十一页，2022年，8月28日例把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们[解]的收敛半径。第七十八页，共一百二十一页，2022年，8月28日例求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出[解]它们的收敛半径。第七十九页，共一百二十一页，2022年，8月28日例求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出[解]它们的收敛半径。第八十页，共一百二十一页，2022年，8月28日例求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出[解]它们的收敛半径。第八十一页，共一百二十一页，2022年，8月28日§4洛朗级数第八十二页，共一百二十一页，2022年，8月28日一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z),可以在首先讨论下列形式的级数:该圆域内展开成则在z0的邻域内就不能用将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数的幂级数。如果f(z)在z0不解析,的幂级数表示。本节中表示法。第八十三页，共一百二十一页，2022年，8月28日可将其分为两部分考虑(正幂项部分)(负幂项部分)只有在正幂项和负幂项都收敛才认为第一式收敛于它们的和。第八十四页，共一百二十一页，2022年，8月28日z0R1R2这是正幂项是一幂级数,设它的收敛半径为R2,对负幂项,如果令时,时，在圆环域,,负幂项才收敛,因此,只有的幂级数,设收敛半径为R,令R1=1/R,则当,原级数才收敛。就得到第八十五页，共一百二十一页，2022年，8月28日例如级数中的负幂项级数即(a与b为复常数)，当时收幂级数在收敛圆内的许多性质,负幂项级数在收敛圆环域内也具有。敛,而正幂项级数,当时收敛。所以当时原级数在圆环域收敛。当时原级数处处发散。第八十六页，共一百二十一页，2022年，8月28日的收敛区域。例1求级数[解]当时，有，则当时，有，则所以级数的收敛区域为：第八十七页，共一百二十一页，2022年，8月28日例如,可以证明,负幂项级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导。现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数?先看下例。函数在z=0及z=1都不解析，但在圆环内都是解析的先研究的情及域形，幂级数在收敛圆内的许多性质,负幂项级数在收敛圆环域内也具有。第八十八页，共一百二十一页，2022年，8月28日函数在z=0及z=1都不解析，但在圆环内都是解析的先研究的情及由此可见，f(z)在内是可以展开为级数的。域形，其次,在圆环域：内也可以展开为级数：第八十九页，共一百二十一页，2022年，8月28日其次,在圆环域：内处处解析的函数f(z),可能展开成形如上面的级数，事实上我们有下面的定理。x1Oy内也可以展开为级数：从以上讨论可知，函数f(z)是可以展开成为级数的，只是这些级数含有负幂的项罢了。据此推想，在圆环域第九十页，共一百二十一页，2022年，8月28日定理设f(z)在圆环域这里C为在圆环域内绕z0的任何一条闭曲线。其中内解析,则[证]设z为圆环域内的任一点,R1R2zrK1zRK2zz0圆周K1与K2,K2半径R大于K1半径r,且使z在K1与K2之间。在圆环域内作以z0为中心的正向第九十一页，共一百二十一页，2022年，8月28日其中R1R2zrK1zRK2zz0由柯西积分公式得第九十二页，共一百二十一页，2022年，8月28日内，所以对第一个积分，上，z在在.又由于在上连续，因此存在一个常数M，使得，跟泰勒展开式一样，可以推得第九十三页，共一百二十一页，2022年，8月28日第二个积分。由于在上，点z在。因此的外部，所以第九十四页，共一百二十一页，2022年，8月28日其中现在需要证明所以在外部成立。令，因此有则第九十五页，共一百二十一页，2022年，8月28日因此有因此有第九十六页，共一百二十一页，2022年，8月28日上面级数的系数由不同的式子表出。如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C，则根据闭路变形原理,这两个式子可表示为：其中第九十七页，共一百二十一页，2022年，8月28日(4.4.5)称为f(z)在以z0为中心的圆环域：内的洛朗(Laurent)展开式,它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数。级数中正整次幂和负整次幂分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。Cz0R1R2第九十八页，共一百二十一页，2022年，8月28日另外，一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正，负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛事实上，假定f(z)在圆环域种方法展成由正负幂项组成的级数：内用某并设C为圆环域内任何一条正向简单闭曲线,为C上一点，那么朗级数。第九十九页，共一百二十一页，2022年，8月28日这就是得到前面的级数的系数。从而上面定理给出了将一个圆环域内解析的函数展开成洛朗级数的一般方法。但这方法计算系数很麻烦。例如要把在以z=0为中心的圆环域以去乘上式两边，且p为任一整数，并沿C沿分，得第一百页，共一百二十一页，2022年，8月28日内展开成洛朗级数时，若用公式计算cn算，那么有其中C为圆环域内的任意一条简单闭曲线。当，即，由于在圆环域内解析，故由柯西-古萨基本定理知，，即。由高阶导数公式知故有当第一百零一页，共一百二十一页，2022年，8月28日若根据正、负整次幂项组成的级数的唯一性，可以用别可以用别的方法，特别是代数运算，代换，求导和积分等方法去展开,那么将会简便得多，像上例两种方法相比，其繁简程度不可同日而语。因此，以后在求函数的洛朗展开式时，通常不用公式去求系数，而像求函数的泰勒展开式那样采用间接展开法。第一百零二页，共一百二十一页，2022年，8月28日xyO1xyO12xyO2在圆环域：例1函数iii)2<|z|<+；i)0<|z|<1；ii)1<|z|<2；内处处解析,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数。第一百零三页，共一百二十一页，2022年，8月28日[解]先把f(z)用部分分式表示：i)在0<|z|<1内；由于|z|<1，从而，所以结果中不含有z的负幂项，原因在于在z=0处是解析的。第一百零四页，共一百二十一页，2022年，8月28日ii)在1<|z|<2内，由于，则，又因为从而有，因此有[解]先把f(z)用部分分式表示：第一百零五页，共一百二十一页，2022年，8月28日iii)

在2<|z|<+内，由于,所以，并因此有，所以有[解]先把f(z)用部分分式表示：第一百零六页，共一百二十一页，2022年，8月28日在圆环域：例函数iii)0<|z-2|<1；i)0<|z-1|<1；ii)1<|z-1|<+；内处处解析,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数。iv)1<|z-2|<+；[解]先把f(z)用部分分式表示：第一百零七页，共一百二十一页，2022年，8月28日[解]先把f(z)用部分分式表示：i)在0<|z-1|<1内，由于|z-1|<1，所以第一百零八页，共一百二十一页，2022年，8月28日ii)在1<|z-1|<+内，由于，则，有[解]先把f(z)用部分分式表示：第一百零九页，共一百二十一页，2022年，8月28日iii)在0<|z-2|<1内，由于，则[解]先把f(z)用部分分式表示：第一百一十页，共一百二十一页，2022年，8月28日iv)在1<|z-2|<+