第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷 北师大版九年级数学下册

第一章直角三角形的边角关系一．选择题（每题3分，共30分）．1．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5，则下列各式中正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanA＝3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值为（）A． B． C． D．14．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA等于（）A． B． C． D．5．在△ABC中，∠C＝90°，如果tanA＝，那么sinB的值等于（）A． B． C． D．6．在△ABC中，sinB＝cos（90°﹣C）＝，那么△ABC是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，则sin∠ACD的值为（）A． B． C． D．8．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（）A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米9．如图，为测量河两岸A、B距离，在与AB垂直方向取点C，测得AC＝a，∠ACB＝α，则A、B两点的距离为（）A．asinα B．acosα C．atanα D．10．如图，在高为2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．2（+1）m B．4m C．（+2）m D．2（+3）m二．填空题（每题3分，共21分）．11．若，则锐角α＝．12．如图，P是∠AOx的边OA上的一点，且点P的坐标为（1，），则∠AOx＝度．13．如图，飞机A在目标B的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B、C之间的距离是．14．如图，有一斜坡AB长40m，此斜坡的坡角为60°，则坡顶离地面的高度为．（答案可以带根号）15．学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境．预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园需要投资元．（精确到1元）16．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如下图的育苗棚，棚宽a＝3m，棚顶与地面所成的角约为30°，长b＝9m，则需覆盖在顶上的塑料薄膜至少需m2．（保留根号）17．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3.5cm，则此光盘的直径是cm．三、计算题（每题5分，共10分）．18．（5分）．19．（5分）2cos245°﹣tan60°•tan30°．四、解答题（共39分）．20．（9分）如图，某体育馆入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm．为了迎接残奥会，方便残疾人士，拟将台阶改为无障碍斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度．（结果精确到1cm，其中sin12°＝0.2079，cos12°＝0.9781，tan12°＝0.2126．）21．（9分）如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°．已知AB＝20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．22．（9分）下表是小亮所填实习报告的部分内容：题目在平面上测量国贸大厦的高AB测量目标测量数据测量项目∠α∠βCD的长第一次30°16′44°35′60.11m第二次29°44′45°25′59.89m平均值30°45°60m请根据小亮测得的数据，填表并计算国贸大厦的高（已知测倾器的高CE＝DF＝1m）．23．（12分）去年某省将地处A、B的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，如所示图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？四、附加题：（10分）24．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？

参考答案与试题解析一．选择题（每题3分，共30分）．1．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，∴斜边的长为2×2＝4cm．故选：B．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5，则下列各式中正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanA＝【分析】根据锐角三角函数的定义，可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5，∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，∴B选项正确，故选：B．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值为（）A． B． C． D．1【分析】根据特殊角的三角函数值及等腰直角三角形的性质解答．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∴∠A＝∠B＝45°，∴cosB＝．故选：B．4．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA等于（）A． B． C． D．【分析】根据三角形内角和定理求出角的度数后解答．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，∴设∠A＝x，则∠B＝2x．由三角形内角和定理得：x+2x+90°＝180°，解得x＝30°．∴cosA＝cos30°＝．故选：A．5．在△ABC中，∠C＝90°，如果tanA＝，那么sinB的值等于（）A． B． C． D．【分析】先根据题意设出直角三角形的两直角边，根据勾股定理求出其斜边；再根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∴设BC＝5x，则AC＝12x，∴AB＝13x，sinB＝＝．故选：B．6．在△ABC中，sinB＝cos（90°﹣C）＝，那么△ABC是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【分析】由题意可证∠C＝∠B＝30°，即证△ABC是等腰三角形．【解答】解：sinB＝cos（90°﹣C）＝，即sinB＝，∴∠B＝30°；cos（90°﹣C）＝，∴90°﹣∠C＝60°，∴∠C＝30°，∴∠C＝∠B．∴△ABC是等腰三角形．故选：A．7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，则sin∠ACD的值为（）A． B． C． D．【分析】先可证明∠ACD＝∠B，再利用勾股定理求出AB的长度，代入就可以求解．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC．∴∠ACD＝∠B．∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝．故选：C．8．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（）A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米【分析】利用所给角的正切函数即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．∴BC＝30tanα．故选：A．9．如图，为测量河两岸A、B距离，在与AB垂直方向取点C，测得AC＝a，∠ACB＝α，则A、B两点的距离为（）A．asinα B．acosα C．atanα D．【分析】根据题意，可得Rt△ABC，同时可知AC与∠ACB．根据三角函数的定义解答．【解答】解：根据题意，在Rt△ABC，有AC＝a，∠ACB＝α，且tanα＝，则AB＝AC×tanα＝a•tanα，故选：C．10．如图，在高为2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．2（+1）m B．4m C．（+2）m D．2（+3）m【分析】由题意得，地毯的总长度至少为（AC+BC）．在△ABC中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AC的长，进而求得地毯的长度．【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC），在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2m，∠C＝90°．∵tanA＝，∴AC＝BC÷tan30°＝2．∴AC+BC＝2+2．故选：A．二．填空题（每题3分，共21分）．11．若，则锐角α＝45°．【分析】首先求得cosα的值，即可求得锐角α的度数．【解答】解：∵，∴cosα＝，∴α＝45°．故答案是：45°．12．如图，P是∠AOx的边OA上的一点，且点P的坐标为（1，），则∠AOx＝60度．【分析】过点P作PB⊥x轴与点B，根据点P坐标可得tan∠AOx，继而可得∠AOx的度数．【解答】解：过点P作PB⊥x轴与点B，∵点P坐标为（1，），∴OB＝1，PB＝，∴tan∠AOx＝＝，∴∠AOx＝60°．故答案为：60．13．如图，飞机A在目标B的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B、C之间的距离是1000．【分析】根据平行线的性质可求出∠C的度数，再由特殊角的三角函数值即可解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C．∵∠DAC＝30°，∴∠C＝30°．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴BC＝＝＝1000，∴地面目标B、C之间的距离是1000米；故答案为：1000．14．如图，有一斜坡AB长40m，此斜坡的坡角为60°，则坡顶离地面的高度为20m．（答案可以带根号）【分析】由题意可得：∠ACB＝90°，AB＝40m，∠A＝60°，然后在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝40m，∠A＝60°，∴在Rt△ABC中，BC＝AB•sin60°＝40×＝20（m），即坡顶离地面的高度为：20m．故答案为：20m．15．学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境．预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园需要投资7794元．（精确到1元）【分析】延长BC，过A作AD⊥BC的延长线于点D，再根据补角的定义求出∠ACD的度数，由锐角三角函数的定义接可求出AD的长，再根据三角形的面积公式求出此三角形的面积，再根据每平方米造价为30元计算出所需投资即可．【解答】解：延长BC，过A作AD⊥BC的延长线于点D，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝180°﹣120°＝60°，∵AC＝20米，∴AD＝AC•sin60°＝20×＝10（米），∴S△ABC＝BC•AD＝×30×10＝150（平方米），∴所需投资＝150×30≈7794（元）．故答案为：7794．16．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如下图的育苗棚，棚宽a＝3m，棚顶与地面所成的角约为30°，长b＝9m，则需覆盖在顶上的塑料薄膜至少需18m2．（保留根号）【分析】根据余弦的定义求出AB，根据矩形的面积公式计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，cosB＝，则AB＝BC÷cosB＝3÷＝2，∴覆盖在顶上的塑料薄膜的面积＝2×9＝18（m2），故答案为：18．17．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3.5cm，则此光盘的直径是cm．【分析】设圆的圆心是O，连接OB，OA，根据已知可求得OB的长，即可得到圆的直径．【解答】解：设圆的圆心是O，连接OB，OA，OC．∵AC，AB与⊙O相切，∴∠OAB＝×120°＝60°，∠OBA＝90°，在Rt△AOB中，∵AB＝3.5，∴OB＝ABtan60°＝3.5．∴圆的直径是7cm．三、计算题（每题5分，共10分）．18．（5分）．【分析】将cos60°＝，sin45°＝代入，然后进行合并运算即可．【解答】解：原式＝×﹣×＝﹣1＝﹣．19．（5分）2cos245°﹣tan60°•tan30°．【分析】将cos45°＝，tan60°＝，tan30°＝代入，然后进行合并运算即可．【解答】解：原式＝2×（）2﹣×＝1﹣1＝0．四、解答题（共39分）．20．（9分）如图，某体育馆入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm．为了迎接残奥会，方便残疾人士，拟将台阶改为无障碍斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度．（结果精确到1cm，其中sin12°＝0.2079，cos12°＝0.9781，tan12°＝0.2126．）【分析】过点B作BD⊥AC于D，由题意可得，所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD＝60m，AD＝60m；在Rt△BCD中，用正切函数即可求得CD的长，进而由AC＝CD﹣AD求出AC的长．【解答】解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可得：BD＝60cm，AD＝60cm，在Rt△BDC中：tan12°＝BD÷CD，∴CD＝BD÷tan12°＝60÷0.2126≈282.2（cm），∴AC＝CD﹣AD＝282.2﹣60＝222.2≈222（cm）．答：AC的长度约为222cm．21．（9分）如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°．已知AB＝20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．【分析】过点C作CD⊥AB，交AB于点D；设CD＝x．本题涉及到两个直角三角形△ADC、△BDC，应利用其公共边CD构造等量关系，解三角形可得AD、BD与x的关系；借助AB＝AD﹣BD构造方程关系式，进而可求出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D；设CD＝x，在Rt△ADC中，有AD＝＝CD＝x，在Rt△BDC中，有BD＝＝x，又有AB＝AD﹣BD＝20；即x﹣x＝20，解得：x＝10（3+），答：气球离地面的高度CD为10（3+）米．22．（9分）下表是小亮所填实习报告的部分内容：题目在平面上测量国贸大厦的高AB测量目标测量数据测量项目∠α∠βCD的长第一次30°16′44°35′60.11m第二次29°44′45°25′59.89m平均值30°45°60m请根据小亮测得的数据，填表并计算国贸大厦的高（已知测倾器的高CE＝DF＝1m）．【分析】根据图表就可以计算出∠α、∠β、CD的均值，即它们的值．FG、GE根据三角函数都可以利用三角函数用AG表示出来．已知CD，就得到一个关于AG的方程，解方程就可以求出AG，则可以得到AB．【解答】解：根据条件可知∠α＝30°，∠β＝45°CD＝60m．在直角△AFG中，BD＝FG＝＝AG，在直角△AEG中，EG＝AG∵CD＝EG﹣FG∴AG﹣AG＝60解得AG＝30+30m．∴AB＝30+30+1＝30+31（m）．23．（12分）去年某省将地处A、B的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，如所示图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？【分析】先过点C作CD⊥AB于D，设CD为xkm，则BD为xkm，AD为xkm，则有x+x＝2，求出x的值，再与0.7比较大小，即可得出答案．【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由题意可得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，∴∠CBA＝∠BCD，∴BD＝CD．在Rt△ACD中，∠CAB＝30°，∴AC＝2CD．设CD＝DB＝x，∴AC＝2x．由勾股定理得AD＝＝＝x．