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导数的实际应用

在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。实际问题利用导数求解的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．例1.在边长为a的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的长方体容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应是多少？解：设小正方形边长为xcm，则箱子容积典型例题所以令解得x1=a，x2=a（舍去），在区间(0，a)内，且当0<x<a时，V'(x)>0，当a<x<a时，V'(x)<0，

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近a）时，箱子容积很小，

因此当截下的正方形边长是a时，容积最大。因此x=a是极大值点，例2．横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？解：如图，设断面的宽为x，高为h，则h2=d2－x2，横梁的强度函数f(x)=kxh2(k为强度系数,k>0)，所以f(x)=kx(d2－x2)，0<x<d，在开区间(0，d)内，令f'(x)=k(d2－3x2)=0，

解得x=±d，其中负根没有意义，舍去.当0<x<d时，f’(x)>0，当d<x<d时，f'(x)<0，

因此在区间(0，d)内只有一个极大值点x=d，所以f(x)在x=d取得最大值，这就是横梁强度的最大值，这时

即当宽为d，高为时，横梁的强度最大。例3．如图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km，在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，A与B之间有一铁路，现有海陆联运方式运送。火车时速为50km，船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？解:设点C与点B的距离是xkm，则运输时间(0≤x≤300)因为所以令T'(x)=0，则有即25x2=9(1502+x2)，解此方程，得x=±舍去负值，取x0=112.5.因为T(0)=11，T(300)=11.2，T(112.5)=则10是三数中最小者，

所以选点C在与点B距离为112.5km处,运输时间最小。例4．如图，已知电源的电动势为ε，内电阻为r，问当外电阻取什么值时，输出的功率最大？解：由欧姆定律得电流强度在负载电路上的输出功率是P=

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