定常离散系统的能控性 定常连续系统的能控性

第四章线性系统的能控性与能观性第四章线性系统的能控性与能观性4.1定常离散系统的能控性4.2定常连续系统的能控性4.3定常系统的能观性4.4线性时变系统的能控性及能观性4.5能控性及能观性的对偶关系4.6线性定常系统的结构分解4.7能控性、能观性与传递函数矩阵的关系4.8能控标准形和能观标准形4.9系统的实现在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心，其一是参加适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态转移到希望的状态上，即系统是否具有通过控制作用随意支配状态的能力。其二是通过在一段时间内对系统输出的观测，能否判断系统的初始状态，即系统是否具有通过观测系统输出来估计状态的能力。这便是线性系统的能控性与能观测性问题。稳定性、能控性与能观测性均是系统的重要结构性质。本章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义，在此根底上，介绍判别系统能控性与能观测性的准那么，及如何通过线性非奇异变换将能控系统和能观测系统的状态空间表达式化为能控标准型与能观测标准型。然后介绍能控性与能观测性之间的对偶关系、能控性及能观测性与传递函数的关系，以及如何对不能控和不能观测系统进行结构分解。再后，讨论线性离散系统的能控性与能观测性问题。本章最后介绍MATLAB在系统能控性与能观测性分析中的应用。第四章线性系统的能控性与能观性1960卡尔曼(Kalman)两个根底性概念：能控性与能观性两个根本问题：•在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状态的能控性问题;•在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？系统的输出量〔或观测量〕能否反映状态变量，称之为状态的能观性问题。能控性与能观测性概论如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态x(to)转移到任一状态，那么称该系统在时刻to是能控的。如果系统的状态x(to)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻to是能观测的。第四章线性系统的能控性与能观性例

桥形电路(a)，两个电容相等。选各自的电压为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，那么两个状态分量恒相等。相平面图(b)中，相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不管电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线。显然，它是不完全能控的。第四章线性系统的能控性与能观性例

选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，所以该电路是不能观测的。【例3】给定系统的状态空间表达方式为

,其状态变量图如图1所示。

系统的状态是完全能控且完全能观测的。

图1

第四章线性系统的能控性与能观性4.1定常离散系统的能控性4.1定常离散系统的能控性4.1.1定常离散系统的能控性定义4.1.2单输入离散系统能控性的判定条件4.1.3多输入离散系统能控性的判定条件第四章线性系统的能控性与能观性4.1.1定常离散系统的能控性定义线性定常离散系统的状态方程4.1定常离散系统的能控性定义对于系统(4.1.1)，如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系统从第k步的状态向量开始，在第N步到达零状态，其中N是大于k的有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。如果对每一个k，系统的所有状态都是能控的，那么称系统是状态完全能控的，简称能控。(4.1.1)…,

第四章线性系统的能控性与能观性

单输入离散系统能控性的判定条件单输入线性定常离散系统的状态方程4.1定常离散系统的能控性定理

单输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵[b,Ab,…,An-1b]的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是此能控性判据可以写成

rankUc=rank[b,Ab,…,An-1b]=n.(4.1.5)(4.1.2)…,

第四章线性系统的能控性与能观性满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。4.1定常离散系统的能控性例

第四章线性系统的能控性与能观性

多输入离散系统能控性的判定条件多输入线性定常离散系统的状态方程4.1定常离散系统的能控性定理

多输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵[B,AB,…,An-1B]的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是此能控性判据可以写成

rankUc=rank[B,AB,…,An-1B]=n.

(4.1.10)(4.1.9)…,

第四章线性系统的能控性与能观性

多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相同。但多输入系统有以下特点：

1.多输入系统的能控性矩阵是一个nxnp矩阵.根据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。

2.为了把系统的某一初始状态转移到零状态,存在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。4.1定常离散系统的能控性第四章线性系统的能控性与能观性只要计算出矩阵[B,AB]的秩，即可

例

第四章线性系统的能控性与能观性4.2定常连续系统的能控性

4.2定常连续系统的能控性4.2.1线性定常连续系统的能控性定义4.2.2线性定常连续系统的能控性判据4.2.3线性定常连续系统的输出能控性4.2.4利用Matlab判定系统能控性第四章线性系统的能控性与能观性4.2.1线性定常连续系统的能控性定义线性定常连续系统的状态方程4.2定常连续系统的能控性定义对于系统(4.2.1)，假设存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内，将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。假设系统任意t0时刻的所有状态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态完全能控的，简称能控。(4.2.1)1.状态能控

对于式（4.2.1）所示线性时变连续系统，如果对指定初始时刻t0的一个非零初始状态,存在一个时刻t1,t1>t0,和一个无约束的容许控制u(t),,使状态由转移到tf时的,则称此是在时刻能控的。

(4.2.1)线性定常连续系统的状态方程2.系统能控

对于式(4.2.1)所示线性时变连续系统,指定初始时刻，如果状态空间的所有非零状态都是在时刻能控的,则称系统在时刻是状态完全能控的，简称系统在时刻能控。如果系统对于任意的均是状态完全能控的(即系统的能控性与初始时刻的选取无关)，则称系统是一致能控的。

(4.2.1)线性定常连续系统的状态方程3.系统不完全能控

对于式(4.2.1)所示线性时变连续系统，指定初始时刻,如果状态空间存在一个或一个以上非零状态在时刻是不能控的，则称系统在时刻是状态不完全能控的，简称系统不能控。

(4.2.1)线性定常连续系统的状态方程

对线性时变连续系统而言,其能控性与初始时刻的选取有关,而线性定常连续系统其能控性与初始时刻的选取无关。故线性定常连续系统其系统能控性可定义为:对于任意的初始时刻(一般取

)，存在一个有限时刻，和一个无约束的容许控制,能使状态空间的任意非零状态转移到，则称系统状态完全能控，简称系统能控。4.状态与系统能达

对于式（4.2.1）所示线性时变系统,若存在能将状态转移到的控制作用,,则称状态x1是时刻能达的。若x1对所有时刻都是能达的，则称状态x1为完全能达或一致能达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻能达的，则称系统是时刻状态能达的，简称系统是时刻能达的。

对线性定常连续系统，能控性与能达性是等价的。

第四章线性系统的能控性与能观性4.2.2线性定常连续系统的能控性判据能控性判据的第一种形式4.2定常连续系统的能控性定理

系统(4.2.1)状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵的秩为n，即第四章线性系统的能控性与能观性注如果系统是单输入系统，即控制变量维数,那么系统的状态完全能控性的判据为4.2定常连续系统的能控性此时，能控性矩阵为nxn维，即要求阵是非奇异的。第四章线性系统的能控性与能观性例

考察如下系统的能控性4.2定常连续系统的能控性易知第四章线性系统的能控性与能观性从而4.2定常连续系统的能控性其秩为3，该系统能控

第四章线性系统的能控性与能观性例

判断线性定常系统4.2定常连续系统的能控性其秩为2，所以系统不能控

第四章线性系统的能控性与能观性注对照一下定常连续系统与定常离散系统能控性判别条件，发现两者是一致的，这有其内在联系。如果离散系统的系统矩阵和控制矩阵与连续系统的系统矩阵和控制矩阵相同，那么它们的能控性相同。对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变。4.2定常连续系统的能控性第四章线性系统的能控性与能观性能控性判据的第二种形式4.2定常连续系统的能控性定理

如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，那么系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后，A阵变换成对角标准形，它的状态方程其中，

不包含元素全为0的行。

第四章线性系统的能控性与能观性例

此系统是不能控的4.2定常连续系统的能控性状态变量x3不受控制

第四章线性系统的能控性与能观性例以下系统是能控的4.2定常连续系统的能控性此方法的优点在于很容易判断出能控性，并且将不能控的局部确定下来，但它的缺点是要进行等价变换。第四章线性系统的能控性与能观性定理假设线性定常系统4.2定常连续系统的能控性的系统矩阵具有重特征值，且对应于每一个重特征值只有一个约当块，那么系统状态完全能控的充要条件是，经线性非奇异变换后，系统化为约当标准形其中，

矩阵中与每个约当块最后一行相对应的那些行，其各行的元素不全为零。第四章线性系统的能控性与能观性

线性定常连续系统的输出能控性4.2定常连续系统的能控性设系统的状态空间表达式为定义如果在一个有限的区间[t0,t1]内，存在适当的控制向量u(t),使系统能从任意的初始输出y(t0)转移到任意指定最终输出y(t1)，那么称系统是输出完全能控的。式中，x为n维状态向量，u为p维输入向量，

y为q维输出向量。

注：1.系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵的秩为输出向量的维数q.

2.对输出能控性来说,状态能控性既不是必要的,也不是充分的,即状态能控性与输出能控性之间没有必然的联系。3.设线性定常连续系统

可以证明，由该方程所描述的系统，其输出完全能控的充分必要条件是输出能控性判别矩阵

的秩等于输出向量的维数q,即

第四章线性系统的能控性与能观性4.2定常连续系统的能控性例

判断系统是否具有状态能控性和输出能控性。

第四章线性系统的能控性与能观性4.2定常连续系统的能控性秩为1，等于输出变量的个数，因此系统是输出能控的。秩为1，所以系统是状态不能控的。【例4.2.10】设系统的状态方程与输出方程为

试分析该系统是否输出完全能控与状态完全能控。