专题8 指数型函数取对数问题（解析版）-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之导数

专题8指数型函数取对数问题一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,在导数解答题中有些指数型函数，常通过取对数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如的函数取对数可以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在解高考导数题中有时能大显身手.二、解题秘籍(一)等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.【例1】（2021全国甲卷高考试题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．【分析】（1）当时，由,可得函数在上单调递增；上单调递减；（2）,两边取对数得，构造函数,由,得在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,得的取值范围是.(二)等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运算转化为加法运算，形如或的等式或不等式通过两边取对数，可以把乘积运算，转化为加法运算，使运算降级。【例2】（2021届黑龙江省大庆市高三二模）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.【分析】由题意得，①时，恒成立，所以，所以在单调递增.②时，在上，在上，所以在单调递减，在单调递增.综上，时，在单调递增.时，在单调递减，在单调递增.（2）因为有两个相异零点，，由（1）可知，，不妨设，因为，，所以，，所以，要证（两边取对数），即证，等价于证明，而，所以等价于证明，也就是.（*）令，则，于是欲证（*）成立，等价于证明成立，设函数，求导得，所以函数是上的增函数，所以，即成立，所以成立.提醒：不等式也两边取对数，要根据对数函数的单调性判断不等号是否改变方向.(三)把比较转化为比较的大小比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较的大小，可通过取对数转化为比较的大小，再转化为比较的大小，然后可以构造函数，利用的单调性比较大小。【例3】一天，小锤同学为了比较与的大小，他首先画出了的函数图像，然后取了离1.1很近的数字1，计算出了在x=1处的切线方程，利用函数与切线的图像关系进行比较.（1）请利用小锤的思路比較与大小（2）现提供以下两种类型的曲线，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较的大小.【分析】（1）构造函数，由f(x)在上单调递增，在上单调递减，得，即，取x=1，得（2）通过取对数，把比较的大小转化为比较e与3的大小，即比较与大小选，令与公切于e则有，记，∴在上单调递减，在上单调递增,，下证：只需证只需证而，即选，通过取对数，把比较的大小转化为比较e与3的大小，即比较与大小，即较与大小令与y=kx+t切于，则有令∴在上单调递增，在上单调递减,，当取等下证，只需证，.三、典例展示【例1】（2021届贵州省铜仁市高三月考）已知函数存在极大值.（1）求实数的值；（2）若函数有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.【解析】（1），，令，，此时，在上，递增；在上，递减，所以当时，取得极大值为符合题意，所以.（2）由（1）知：在上递增，在上递减，极大值为.，，当时，；当时，；当时，.由于函数有两个零点，，所以.因为，是的两个零点，则.所以，，，两边取对数得，要证，只需证明，即证，不妨设，令，则，即证对恒成立.令，，所以在上递增，所以，即，所以.从而成立.【例2】（2021届内蒙古呼和浩特市高三二模）已知函数（1）讨论g(x)的单调性；（2）若，对任意恒成立，求a的最大值；【解析】（1），当时，，在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）即为，即，设，则，易知函数在上单调递增，而，所以（两边取对数），即，当时，即为，设，则，易知函数在上单调递减，在上单调递增，（e），，即的最大值为．【例3】形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知，.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，求的单调区间；（3）求证：恒成立.【解析】（1）由幂指函数导数公式得，所以，又，所以，曲线在处的切线方程为.（2），则，所以的单调增区间为，无单调减区间.（3）构造，，则，令，所以，因为与同号，所以，所以，又，所以，所以即为上增函数，又因为，所以，当时，；当时，.所以，为上减函数，为上增函数，所以，，即，因此，恒成立，即证.四、跟踪检测1.已知函数.（1）若是曲线的切线，求a的值；（2）若有两不同的零点，求b的取值范围；（3）若，且恒成立，求a的取值范围.【解析】(1)依题意，设切点为，则，，于是得，则有且，时，，无解，所以；(2)由得，令，则有时时，在上递增，在上递减，，又时，恒成立，于是得有两个不同的零点，等价于直线与函数图象有两个不同的公共点，即，，所以有两不同的零点，b的取值范围是；(3)，，令，，令，，即在上递增，而，即，使得，时，时，，在上递减，在上递增，从而有，而，即，令，两边取对数得，则，即有，显然函数在上单调递增，从而得，于是得，，所以，.2．已知函数，．（1）当时，①求的极值；②若对任意的都有，，求的最大值；（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：．【解析】（1）①时，，则，令，解得：，令，解得：，∴在递减，在,递增，故的极小值是，没有极大值；②对任意都有，即恒成立，由，有，故，由①知，在,单调递增，故，可得，即，当时，的最小值是，故的最大值是；（2）证明：要证，只需证明即可，由题意，、是方程的两个不相等的实数根，又，∴，消去，整理得：，不妨设，令，则，故只需证明当时，，即证明，设，则，∴在单调递增，从而，故，即得证．3．（2022届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三上学期考试）已知，，（其中e为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）若，函数有两个零点，，求证：.【解析】（1）解：∵，∴时，，∴时，增区间为：，减区间为：；时，，∴时，增区间为：；时，，，∴时，增区间为：，减区间为：；（2）因为时，函数有两个零点，，则两个零点必为正实数，故问题转化为有两个正实数解；令（）则（），在单调递增，在单调递减，且令，，则所以在单调递增，又，故，又，所以，又，所以，，又在单调递增，所以所以．4.（2021届辽宁省实验学校高三下学期四模）已知函数（1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；（2）当时，证明：【解析】（1）函数的定义域，因为，是的极值点，所以（1），所以，所以，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，所以当时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，，设，则，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以存在使得，所以当时，，当时，，所以在单调递减，在上单调递增，所以，因为，即，两边取对数得，所以，因为，所以，所以.5．（2021届新疆高三第二次适应性检测）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，；（3）若时，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）函数定义域为，且，故切点为又所以在处的切线方程为，即．（2