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山东省东营市胜利油田第三职业中学2023年高一数学理模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.某扇形的圆心角为135°,所在圆的半径为4,则它的面积是(
)A.6π
B.5π
C.4π
D.3π参考答案:A由题得
2.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=2n,n∈A},则A∩B=()A.{1,4} B.{2,4} C.{9,16} D.{2,3}参考答案:B【考点】交集及其运算.【分析】把A中元素代入x=2n中计算求出x的值,确定出B,找出A与B的交集即可.【解答】解:把x=1,2,3,4分别代入x=2n得:x=2,4,6,8,即B={2,4,6,8},∵A={1,2,3,4},∴A∩B={2,4},故选:B.3.设有一个直线回归方程为,则变量x增加一个单位时(
)
A.
y平均增加1.5个单位
B.
y平均增加2个单位
C.
y平均减少1.5个单位
D.
y平均减少2个单位参考答案:C4.下列函数中,最小值为4的是(
)A.
B.C.
D.参考答案:C5.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是(A)y=sin
(B)y=sin(C)y=cos
(D)y=cos参考答案:D设图中对应三角函数最小正周期为T,从图象看出,T=,所以函数的最小正周期为π,函数应为y=向左平移了个单位,即=,选D.
6.设A、B为非空集合,定义集合A*B为如图非阴影部分表示的集合,若则A*B=(
)
参考答案:D略7.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有1个白球;都是白球B.至少有1个白球;至少有1个红球C.恰有1个白球;恰有2个白球D.至少有一个白球;都是红球参考答案:C考点:互斥事件与对立事件.分析:由题意知所有的实验结果为:“都是白球”,“1个白球,1个红球”,“都是红球”,再根据互斥事件的定义判断.解答:解:A、“至少有1个白球”包含“1个白球,1个红球”和“都是白球”,故A不对;B、“至少有1个红球”包含“1个白球,1个红球”和“都是红球”,故B不对;C、“恰有1个白球”发生时,“恰有2个白球”不会发生,且在一次实验中不可能必有一个发生,故C对;D、“至少有1个白球”包含“1个白球,1个红球”和“都是白球”,与都是红球,是对立事件,故D不对;故选C.点评:本题考查了互斥事件和对立事件的定义的应用,一般的做法是找出每个时间包含的试验结果再进行判断,是基础题.8.某扇形的半径为1cm,它的弧长为2cm,那么该扇形的圆心角为()A.2°
B.4rad
C.4°
D.2rad参考答案:D9.已知函数,若函数在上有两个零点,则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:D略10.已知点在直线上,则的最小值为A. B. C. D.
参考答案:A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是直线上的动点,是圆的切线,是切点,是圆心,那么四边形面积的最小值是________________.参考答案:∵圆的方程为:x2+y2-2x-2y+1=0,∴圆心C(1,1)、半径r为:1。根据题意,若四边形的面积最小,则PC的距离最小,即PC的距离为圆心到直线的距离时,切线长PA,PB最小。又圆心到直线的距离为d=3,,。12.已知=__________________.参考答案:略13.函数的定义域是
参考答案:14.在等比数列{an}中,,则_________.参考答案:3n-1因为在等比数列中,,解得,故答案为.15.函数的定义域是_________.参考答案:略16.设等差数列{an}满足,公差,若当且仅当时,数列{an}的前n项和Sn取得最大值,则首项的取值范围是________.参考答案:【分析】由同角三角函数关系,平方差公式、逆用两角和差的正弦公式、等差数列的性质,可以把已知等式,化简为,根据,可以求出的值,利用等差数列前项和公式和二次函数的性质,得到对称轴所在范围,然后求出首项的取值范围.【详解】,数列是等差数列,所以,,所以有,而,所以,因此,,对称轴为:,由题意可知:当且仅当时,数列的前项和取得最大值,所以,解得,因此首项的取值范围是.【点睛】本题考查了同角三角函数关系,两角和差的正弦公式,考查了等差数列的性质、前项和公式,以及前项和取得最大值问题,考查了数学运算能力.17.设函数.已知,且当时,恒成立,则实数的取值范围是_________.参考答案:.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.将数列的各项排成如图所示的三角形形状.(1)若数列是首项为1,公差为2的等差数列,求图中第5行第5个数;(2)若函数且求数列的通项公式;(3)设为第行所有项的和,在(Ⅱ)的条件下,用含的代数式表示.参考答案:(1)第5行第5个数是29.
·········2分
(2)由得.
设是数列的前项和,∴.
当时,
当时,
又当时,,∴
即数列的通项公式是
············6分
(3)由(II)知数列是首项为1,公差为2的等差数列.
∵前行共有项
∴第行的第一项为
∴第行构成首项为,公差为2的等差数列,且有项.
∴.
············12分略19.已知向量,设(t为实数).(1)若α=,求当取最小值时实数t的值;(2)若,问:是否存在实数t,使得向量和向量夹角的余弦值为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.参考答案:【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角;93:向量的模.【分析】(1)α=,可得=,=.利用数量积运算性质可得:||===,再利用二次函数的单调性即可得出.(2)存在实数t满足条件,理由如下:,可得=0,由条件得=,分别计算==,==,代入即可得出.【解答】解:(1)α=,∴=,=.则||===,…所以当t=时,|m|取到最小值,最小值为.…(2)存在实数t满足条件,理由如下:,可得=0.由条件得=,…又因为===,==,=﹣t=5﹣t,∴=,且t<5,整理得t2+6t﹣7=0,所以存在t=1或t=﹣7满足条件.20.(本小题10分)已知向量
(1)求;(2)当时,求的.
参考答案:解:(1)(2)略21.已知函数.任取t∈R,若函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)﹣m(t).(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程;(2)当t∈[﹣2,0]时,求函数g(t)的解析式;(3)设函数h(x)=2|x﹣k|,H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8,其中实数k为参数,且满足关于t的不等式有解,若对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,求实数k的取值范围.参考答案:【考点】正弦函数的图象.【分析】(1)根据正弦型函数f(x)的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程;(2)分类讨论、和t∈[﹣1,0]时,求出对应函数g(t)的解析式;(3)根据f(x)的最小正周期T,得出g(t)是周期函数,研究函数g(t)在一个周期内的性质,求出g(t)的解析式;画出g(t)的部分图象,求出值域,利用不等式求出k的取值范围,再把“对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立”转化为“H(x)在[4,+∞)的值域是h(x)在(﹣∞,4]的值域的子集“,从而求出k的取值范围.【解答】解:(1)函数,则f(x)的最小正周期为;令,解得f(x)的对称轴方程为x=2k+1(x∈Z);(2)①当时,在区间[t,t+1]上,,m(t)=f(﹣1)=﹣1,∴;②当时,在区间[t,t+1]上,,m(t)=f(﹣1)=﹣1,∴;③当t∈[﹣1,0]时,在区间[t,t+1]上,,,∴;∴当t∈[﹣2,0]时,函数;(3)∵的最小正周期T=4,∴M(t+4)=M(t),m(t+4)=m(t),∴g(t+4)=M(t+4)﹣m(t+4)=M(t)﹣m(t)=g(t);∴g(t)是周期为4的函数,研究函数g(t)的性质,只须研究函数g(t)在t∈[﹣2,2]时的性质即可;仿照(2),可得;画出函数g(t)的部分图象,如图所示,∴函数g(t)的值域为;已知有解,即k≤4g(t)max=4,∴k≤4;若对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=
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