2023年福建省莆田市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年福建省莆田市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.f(x)在[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上有界的()条件。A.充分B.必要C.充要D.非充分也非必要

2.下列各式中正确的是（）。

A.

B.

C.

D.

3.若级数在x=-1处收敛，则此级数在x=2处

A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.不能确定

4.

5.微分方程y'+y=0的通解为()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

6.函数y=x3-3x的单调递减区间为()A.A.(-∞,-1]

B.[-1，1]

C.[1，＋∞)

D.(-∞，＋∞)

7.

8.函数f(x)=lnz在区间[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

9.

10.

11.微分方程y'=1的通解为A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

12.

13.

14.A.A.

B.

C.

D.不能确定

15.设f(x)在x=2处可导，且f'(2)=2，则等于()．A.A.1/2B.1C.2D.4

16.已知斜齿轮上A点受到另一齿轮对它作用的捏合力Fn，Fn沿齿廓在接触处的公法线方向，且垂直于过A点的齿面的切面，如图所示，α为压力角，β为斜齿轮的螺旋角。下列关于一些力的计算有误的是()。

A.圆周力FT=Fncosαcosβ

B.径向力Fa=Fncosαcosβ

C.轴向力Fr=Fncosα

D.轴向力Fr=Fnsinα

17.

18.

19.

20.设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且，则f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.1二、填空题(20题)21.

则b__________.

22.y=lnx，则dy=__________。

23.

24.

25.26.

27.

28.

29.30.微分方程y＋9y＝0的通解为________．31.32.设y=e3x知，则y'_______。

33.

34.设y=y(x)是由方程y+ey=x所确定的隐函数，则y'=_________.

35.36.设y=(1+x2)arctanx，则y=________。37.

38.曲线y=2x2-x+1在点(1，2)处的切线方程为__________。

39.40.三、计算题(20题)41.

42.求曲线在点(1，3)处的切线方程．43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．44.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．45.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．46.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

47.证明：48.49.

50.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．51.52.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则53.

54.

55.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．56.求微分方程的通解．

57.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

58.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

59.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

60.

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.设

65.计算

66.

67.

68.

69.

70.求曲线在点(1，3)处的切线方程．五、高等数学(0题)71.求函数I(x)=

的极值。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A定理：闭区间上的连续函数必有界；反之不一定。

2.B

3.C由题意知，级数收敛半径R≥2，则x=2在收敛域内部，故其为绝对收敛.

4.C

5.D可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。解法1将方程认作可分离变量方程。分离变量

两端分别积分

或y=Ce-x解法2将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为r+1=0，特征根为r=-1，方程通解为y=Ce-x。

6.B

7.C

8.D由拉格朗日定理

9.C

10.B

11.D

12.A

13.B

14.B

15.B本题考查的知识点为导数在一点处的定义．

可知应选B．

16.C

17.B

18.C

19.B

20.B由导数的定义可知

可知，故应选B。

21.所以b=2。所以b=2。

22.(1/x)dx

23.22解析：

24.25.2．

本题考查的知识点为二次积分的计算．

由相应的二重积分的几何意义可知，所给二次积分的值等于长为1，宽为2的矩形的面积值，故为2．或由二次积分计算可知

26.

本题考查的知识点为重要极限公式．

27.

28.29.本题考查的知识点为二重积分的直角坐标与极坐标转化问题。

30.

本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

31.32.3e3x

33.

34.1/(1+ey)本题考查了隐函数的求导的知识点。

35.36.因为y=(1+x2)arctanx，所以y"=2xarctanx+(1+x2)。=2xarctanx+1。37.2本题考查的知识点为二重积分的几何意义．

由二重积分的几何意义可知，所给二重积分的值等于长为1，宽为2的矩形的面积值，故为2．或由二重积分计算可知

38.y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)39.

本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解．

二阶线性常系数齐次微分方程求解的－般步骤为：先写出特征方程，求出特征根，再写出方程的通解．

40.

41.

则

42.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

43.

44.

45.由二重积分物理意义知

46.

47.

48.

49.由一阶线性微分方程通解公式有

50.函数的定义域为

注意

51.

52.由等价无穷小量的定义可知

53.

54.

55.

56.

57.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

58.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

59.

列表：

说明

60.

61.

62.

63.

64.

解析：本题考查的知识点为偏导数运算．

65.本题考查的知识点为不定积分的换元积分运算．

66.

67.

68.

69.本题考查的知识点为定积分的几何应用：利用定积分表示平面图形的面积；利用定积分求绕坐标轴旋转而成旋转体体积．

所给平面图形如图4—1中阴影部分所示，

注这是常见的考试题型，考生应该熟练掌握．70.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明