寿险精算教案

--10-河南城建学院教师教 案〔2023~20231学期〕课专课程程名类称业别精算数学专业必修课授课班级2023级主讲教师胡素敏职称讲师使用教材《寿险精算》北京理工大学出版社目 录课程简介..........................................................................................................................................21章利息的根本概念.............................................................................................................32章确定型年金......................................................................................................................83章生命表根底...................................................................................................................144章人寿保险的精算现值...................................................................................................175章年金的精算现值...........................................................................................................206章均衡纯保费...................................................................................................................237章责任预备金...................................................................................................................258章保单现金价值与红利....................................................................................................279章资产份额定价法............................................................................................................28课程简介课程名称课程名称精算数学课程代码学分课程类别专业必修课授课专业数学与应用数学专业授课班级讲课：64学时上机：0学时试验：0学时2023级任课教师胡素敏职称讲师争论保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险和要求具体问题计算方法的应用数学。本课程以寿险精算为主，具体争论寿险精算的根本原理和根本技术，对非寿险精算中的根本概念和主要问题进展概括性的介绍。难点

本课程的重点难点有：各种确定型年金的计算各种寿险趸缴纯保费计算生存年金的计算均衡纯保费计算责任预备金的计算方法保单红利和现金价值的计算教材：《寿险精算》李秀芳傅安平李静中国人民大学出版社参考书目：教材和参[1]考书 [2]《保险精算技术》曾庆五等编著东北财经大学出版社《寿险数理根底学问》万峰中国金融出版社2023.06《利息理论》尚汉冀译 上海科学技术出版社2023.09课题课题1章利息的根本概念把握有关利息的根本学问：单利、复利、名义利率、实际利率、贴现率目的要求把握单利、复利及其终值、现值的计算方法把握贴现因子、贴现率及利率的区分与联系/谈话法(提问,争论)教法教具教具:ppt课时安排4教学内容具体要点如下：1.1实际利率与实际贴现率【概念】本金、利息、积存值、度量期【符号】1单位的投资在时刻t的积存值为积存函数a(t)，也称为t期积存因子ktA(tA(t)ka(t)a1(t)ta1(1)简称为折现因子，并记为vn 从投资日起第n个时期得到的利息金额记为I ，则I A(n)A(n1),nn 实际利率i表示。ni A(n)A(n1) In

n1,n为整数n A(n1) A(n1)1，2加以说明。单利和复利单利法A(n)=A(0)[1+i(1)+i(2)+……+i(n-1)+i(n)]复利法A(n)=A(0)[1+i(1)][1+i(2)]……[1+i(n-1)][1+i(n)]单利和复利的比较短时期，单利积存值较大，长期则相反常数单利的有效利率不是常数，而常数复利的有效利率是常数同样长的时间段内增长的比率一样实际贴现率d表示。nd A(n)A(n1) In

n1,n为整数n A(n) A(n)假设i i n1,n为整数，则na(n)(1i)nd a(n)a(n1)1 1 i

n1,n为整数n a(n) 1i 1i这种状况下的贴现叫做复贴现。i和d之间的关系di=1-diiddd(1i)id i1idv之间的关系v 1 div1id1v v1d名义利率和名义贴现率则称相应的一个度量期的利率和贴现率为“名义”的。【符号】i(m)dm)【定义】名义贴现率dm)1/m1/m个度量期的d(m)实际贴现率为mi(m)为每一个度量期付m次利息的名义利率1 1 i(m)m个度量期支付利息一次，而在每m个度量期的实际利率为mi(4)=8%的名义利率指的是每季度的实际利率为48%。【1假设i(m)i等价，则

1 i (1 )mm i (1 )m 1m1i(m)m[(1i)m1【2】名义贴现率与实际贴现率之间的关系

1]同理，假设dm)d等价，则d(m)1d(1 )mm d d 1 (1 )mm1 1d(m)

m[1(1d)m]m(1vm)【3】名义利率与名义贴现率之间的关系i(m) d(p)(1 )m1i(1 )pm p 假设对于任意的m,p；mp,则上式变为i(m) d 1 (1 )1m mi(m)d(m)i(m)d(m)m m m mP91.2.1-1.2.3利息强度【概念】利息强度：在无穷小时间区间上的利息，即在各个时间点上度量的利息。【符号】t【定义】

A(t)a(t)t A(t) a(t)【计算】1.计算利息强度，依据定义计算

tdr2.a(t)e0r【例题讲解】P111.3.1常数。n-1～n之间为常数，则有ti na(n)a(n1)a(n1)e( dr drn1n0rn1r)en1dr0ren1dr0renn1rdr1e 1i注：本命题的反命题未必成立。利息强度为常数时，可以推导出本章各种利息度量联系在一起的关系式:e1ie1iln(1i)(1i(m))mm1iv1(1d)1(1d(p))ppe【例题讲解】P13例1.3.3，1.3.4作业及课P13~14 1-10后分析课题课题确定型年金把握在期初支付和期末支付这两种方式下每期支付一次和屡次、形下的年金的计算，了解变动年金的构成和计算方法。本章的重点是不同支付方式下支付的时间间隔与单位时间相等重点难点或不等状况下年金的计算。讲授法/谈话法(提问,争论)教法教具2.1 期末付年金【概念】在每个付款期间末付款的年金为期末付年金。n个付款期内，均在期末付款1个单位，则【符号】ansn1vnan

＝vv2v3

vn

(1i)n1

snan

(1i)n1(1i)n2(1i)nsn

(1i)1 i4.1an

sn1可推出：1＝ian

vn01个单位，等式右边表示资金回收方式：每期期末都可获得利息i,n期利息现值之和为ia ，到n期期末，将投资本n金收回，折现到时刻0时现值为vn。2(1i)n1isn0in期期末，投资积存值为(1i)n；等式右边表示投资本金1，每期期末产生利息i，而每期所产生利息又再以利率i再投资，到n期期末积存值之和为is 。n3式即为在时刻0an

，以复利计算，到n期期末的积存值即a (1i)nn对于4式，可以这样理解，P等于左边局部，在每期期末投资P个单位，则这些投资值在时刻0的现值之和为Pa 1a

1nn期积存值n a n则为Ps ，这等价于在期初投资1个单位到n期期末积存值(1i)n，即nPsn

1is 。nP19-20期初付年金【概念】在每个付款期间初付款的年金为期末付年金。n个付款期内，均在期末付款1个单位，则【符号】ansn1vnan

＝1+vv2v3

vn1

(1i)n1sn

(1i)n

(1i)n1

(1i) d3.a (1i)nsn n【公式】4.11danana

sna(1i)na 1ns

n1s(1i)n n8.s s 1n n11与期末付年金现值公式相比较，差异在于分母不同，在期d是利息在每期期初支付的度量标准。【例题讲解】P232.2.1任意时刻的年金值t的年金值。V(t)【1a vma a am n n mn ma vma a am n n mn m【2V(mn)sn

(1i)ms smn mV(mn)sn

(1i)ms smn m【3nm〔m<n〕次付款时全部付款的当前值a(1i)mvnmsn

s m

nma(1i)mn

vnmsn

s m

nm永续年金【概念】付款次数没有限制，永久持续的年金就称为永续年金。【符号】a

1,i

1 d【例题讲解】P282.4.1连续年金【概念为】付款频率无限大的年金称连续年金。a【符号】n

nvtdt0

1vn,sn

(1i)n1

(1i)n【例题讲解】P30例2.5.1，2.5.2补充内容1010.98%，计算每次还款额。2023元，后3年中，每季度初在银2023元，每月计息一次的年名义利率为12%，计算5年末该储户的存款积存值。计息频率与付款频率不同的状况期末付年金假设条件：n1则年金现值公式nk

vkvnk avkv2k vk

n1vk sk年金终值公式

(1i)n1 s(1i)nk(1i)n2k 1 n期初付年金则年金现值公式

(1i)k1 skn(1)k

1vn a a1vk

v2k

vk

1vk a

an年金终值公式

k k(1i)n1 s s(1i)n(1i)nk (1i)k n n1vk a ak k1%100032年，每季度初存入2023元，计算甲在第5年末的存款积存值。期末付年金假设条件：ni，n，m为整数〔1/m〕则年金现值公式则年金积存值为

a(m)n

1(v1v2m m

mn1vm

vn)

1vni(m)s(m)n

a(m)(1i)nn

(1i)n1i(m)期初付年金

a(m)n

1vnd(m)s(m)n

(1i)n1d(m)51006%，计算该储户到时刻支取的存款本利和。练习题

i(5) d(5)1 1i(m)1m

5i(6)

d(m),确定m 1 m

5 ,确定md(6)1 1

6 . 630022004100元，这样在4700元，求实际利率。一家制造商出售其产品给零售商，后者可以有两种选择：30％的价格付款625％的价格付款则利率为多少时，两种选择无差异？110009206个月末，288元，假设为单贴现，问小王在年末还应付款多少？a试比较

,a,a

a(ma(m)大小关系n n n n n20251150000元资金及一个期初付、每半年领取一次的15K202311日起，K252次的年名义利率为423K.某保险受益人以年金形式从保险公司分期领取100000元死亡给付金，每月25310年后，保险公司打算515增加额。a440年，8i

k，计算该年金现值。标准递增年金一、标准递增年金k a nk a nn

•s nn(Ia)

, (Is) k(1i)nk1 (Ia)

(1i)nnk1

(1i)k i

n i nk1

k a nvn nnn

s n nn(Ia) (1i)(Ia) , (Is) k(1i)nk1 (Ia) (1i)nnk1

(1i)k1 d

n n d nk1二、标准递减年金n nk1 na

n n(1i)ns(Da)n

(1i)k k1

n, (Ds)n

k(1i)k1k1

n (Da)i

(1i)n

nk1 na

n

n(1i)ns (Da)n

(1i)k1 1

n, (Ds)n

k(1i)k1

n (Da)d

(1i)n作业 P311~9课题 第3章生命表根底规律，并了解构造生命表的根本过程和各种不同用途的生命表。了解生存函数和死力的概念目的要求 命表的构造，会用精算符号表示有关余命的各种概率会用生命表描述寿命分布生命表的类型，了解选择――终极表本章的重点是了解构造生命表的根本过程和各种不同用途的生并且会用生命表描述寿命分布。

课堂讲授教具:ppt生命函数分布函数【概念】XXF(x)则可以表示为F(x)Pr(Xx), x00x岁之前死亡的概率。2.X的概率密度函数记为〔x，则f(x)F(x), x03. 50岁仍旧生存的概率。Pr(X50)1Pr(X50)1F(50)4. Pr(xXx1|Xx)F(x1)FX)xx～x+1之间死1F(X)亡的概率。5.E(x)xf(x)dx03.1.2生存函数【概念】s(x)Pr(Xx), x0，s〔x〕称为生存函数，表示0岁的人活过xx岁以后死亡的概率。Pr(xXx1|Xx)s(x)s(x1)s(x)3.1.3 T(x)【概念】1. 用〔x〕x岁的人，T(x)＝X-x表示〔x〕的将来寿命的随机变量，即剩余寿命，简称余命。F(t)Pr(Tt), t0TPr(Xxt|Xx)2.

F(xt)F(x)1F(x)s(x)s(x1)s(x)

(t)F(t)s(xt)T T s(x)qt p

表示x岁的人在xt岁以前死亡的概率表示x岁的人在xt岁时仍活着的概率tt|u

xq表示x岁的人在活过t年后的u年内死亡的概率x用生存函数表示死亡率和生存率s(x)s(xt)q t x s(x)s(xt)p t x s(x)s(xt)s(xtu)K(x)

q t|u x s(x)K(x)表示〔x〕K(x)＝[T(x)]Pr(K(x)k)Pr(kT(x)k1) qk| x pqk x

xk

, k0,1,2死力

s(xk)s(xk1)s(x)

k0,1,2【概念】用生存函数的相对变化率来表示死力，有x

s(x)s(x)xdy

s(x)e 0 y

t dsf(t)T

pt x xt

xt

0xss(x)的解析表达式1. deMoivre假设GompertzGompertz假设Makeham假设Weibull假设3.2 生命表一、随机生存群体二、确定生存群体三、年龄间的寿命分布三、生命表的类型四、生命表的构造计算死亡率、修匀死亡率曲线、附加安全幅度、设置极限年龄作业及课P45 1～4后分析课题课题4章人寿保险的精算现值目的要求识解决实际问题的力量。ppt6死亡即付的人寿保险T时刻支付的保险金的数学期望称为将来保险金给付在签单时的精算现值。也称为趸缴纯保费。x投保年龄bt【符号】vt保险金给付函数贴现函数t从签单到死亡的时间长度zbv将来保险金给付在签单时的现值t tt【公式】n年定期保险趸缴纯保费A1

nvtftdtnvtp dt终身寿险趸缴纯保费

x:n Ax

Tvt0

0 p dtx xt

x xt延期终身寿险趸缴纯保费n年期生存保险

Am|

vtfm

dtvtm t

p dtx xtA1vnpn年期两全保险趸缴纯保费

x:n n xA A1

A

nv

p dtvnpx:n

x:n x:n

t x xt t x4.1.14.1.3，例4.1.4死亡年末给付的人寿保险【概念】死亡年末给付指保险金的支付是在死亡发生的年末进展的人寿保险。【 符 号 】x投保年龄T取整余命随机变量bv

1, K0,1,2,0, 0, 贴现因子

n1

保险金给付函数Z b v

vK1, K0,1,2,

n1将来保险金给付在签单时的现值

0, 其他【公式】n年定期寿险终身寿险趸缴纯保费

A1

nk0

vk1k

pqx xk

Axk0

vk1k

pqx xkn年期两全保险趸缴纯保费

Am| Ax:n

AxA1x:nA1x:mA1x:n死亡即付人寿保险与死亡年末付人寿保险的精算现值的关系缴纯保费的关系是：Ai Ax xiA1 x:n i

A1x:nA A1 A1x:n

x:n

x:n递增型人寿保险和递减型人寿保险通过例子讲解其计算原理，让学生把握一般保险金给付额变化状况下的计算。通过例子讲解其计算原理，让学生把握一般保险金给付额变化状况下的计算。作业及课P67-691-14后分析2课时课题课题5章年金的精算现值通过本章的教学，使学生把握年金精算现值的计算原理，生疏各种保险险种的年金精算现值计算方法。使学生具备从事目的要求保险精算工作所必需的年金精算现值学问，培育学生实际运用年金精算现值学问解决实际问题的力量。重点难点连续给付型年金离散型年金每年给付数次的年金/谈话法(提问,争论)/案例分析说明教法教具教具:ppt课时安排 4课时精算现值与精算积存值现时支付法总额支付法连续型生存年金连续给付型生存年金的精算现值终身生存年金【概念及符号】x—购置时年龄年金给付方式—按连续方式每年给付1元a 该终身年金在x岁时的精算现值x【公式】a＝

pvtdtx 0t x延期生存年金

ax:n

n0t

pvtdtxa pvtdtE an| x nt x

t x xn【例题讲解】P73例5.2.1生存年金精算现值与寿险精算现值之间的关系【公式】x x【公式】

A a ＝1x:n x:nsx:n

1 aE n x离散型生存年金〔重点〕期初付生存年金及其精算现值终身生存年金

a vk px k xk0ka n1v pk

x:n

k xk0an|

vk pk xkn

a x

x:n

Ean x

xn延期定期生存年金a a a Eam| x:n x:mn x:m m x xm:n期初付生存年金的精算现值与寿险精算现值之间的关系x xA da ＝1x:n x:n期末付生存年金的精算现值a＝a 1x xa ＝ax:n x:n

1 En x离散型生存年金的精算积存值1sx:n

ax:n En x变额生存年金〔介绍按年递增或递减型〕概念、计算公式、讲解例题作业及课作业及课P881~12后分析课题 第6章均衡纯保费

通过本章的学习，使学生把握年缴均衡纯保费的计算原理，娴熟运用精算符号表示各种保险的均衡纯保费表达式，了解全连续型和半连续型模型的计算原理及表达式。使学生具备从事保险精算工作所必需的期缴纯保费和毛保费学问，了解人寿保险公司通常会发生的一些,培育学生实际运用期缴纯保费和毛保费学问解决实际问题的力量。重点难点 本章的重点是全连续型寿险的期缴纯保费的计算和全离散型寿险的期缴纯保费的计算。

教具:ppt课时安排 4课时均衡纯保费计算的平衡原理一、均衡纯保费计算的平衡原理概念、计算公式、讲解例题全