信号与线性系统管致中第章连续时间傅立叶变换

第4章连续时间傅立叶变换

TheContinuoustimeFourierTransform本章的主要内容:连续时间傅立叶变换;傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系;傅立叶变换的性质;系统的频率响应及系统的频域分析；

在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系统对非周期信号的响应如何求得，就是这一章要解决的问题。4.0引言Introduction

在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在T趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。4.1

非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换RepresentationofAperiodicSignals:TheContinuous-TimeFourierTransform一.从傅立叶级数到傅立叶变换我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期增大时，频谱的幅度随的增大而下降；谱线间隔随的增大而减小；但频谱的包络不变。再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：

当时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。（a）（b）(a)(b)

00由于也随增大而减小，并最终趋于0，考查的变化，它在时应该是有限的。

于是，我们推断出:当时，离散的频谱将演变为连续的频谱。由当时,如果令则有与周期信号傅立叶级数对比有：这表明:周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。根据傅立叶级数表示：连续时间傅立叶变换当时，于是有：傅立叶反变换此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、振幅为的复指数信号之和。由于具有频谱随频率分布的物理含义，因而称为频谱密度函数。于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。可见见，，周周期期信信号号的的频频谱谱是是对对应应的的非非周周期期信信号号频谱谱的的样样本本；而而非非周周期期信信号号的的频频谱谱是是对对应应的的周周期期信信号号频谱谱的的包包络络。。既然傅傅立叶叶变换换的引引出是是从周周期信信号的的傅立立叶级级数表表示出出发，，讨论论周期期趋于于无穷穷大时时的极极限得得来的的，傅傅立叶叶变换换的收收敛问问题就就应该该和傅傅立叶叶级数数的收收敛相相一致致。二.傅傅立叶叶变换换的收收敛这表明明能量量有限限的信信号其其傅立立叶变变换一一定存存在。。2.Dirichlet条件a.绝对可积条件1.若则存在。也有相应的的两组条件件：b.在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值有限。c.在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。应该指出:这些条件只只是傅立叶叶变换存在在的充分条条件。和周期信号的情况一样，当的傅立叶变换存在时，其傅立叶变换在的连续处收敛于信号本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs现象。

这两组条件并不等价。例如：是平方可积的，但是并不绝对可积。三.常用信信号的傅立立叶变换：：1.0102.结论：实偶信号的的傅立叶变变换是实偶偶函数。此时可以用用一幅图表表示信号的的频谱。对此例有103.0这表明中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应才能完全描述一个LTI系统的特性，才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。01

显然，将中的代之以再乘以，即是相应周期信号的频谱4.矩形脉冲:101000不同脉冲宽宽度对频谱谱的影响可见，信号在时域域和频域之之间有一种种相反的关关系。(称为理想低通滤滤波器)与矩形脉冲冲情况对比比，可以发发现信号在时域域和频域之之间存在一一种对偶关关系。5.1，0，100对偶关系可可表示如下下:101000

同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。对例5.我们可以想到，如果，则将趋于一个冲激。6.若则有因为所以四.信号号的带宽(BandwidthofSignals):由信号的频频谱可以看看出：信号号的主要能能量总是集集中于低频频分量。另另一方面，，传输信号号的系统都都具有自己己的频率特特性。因而而，工程中中在传输信信号时，没没有必要一一定要把信信号的所有有频率分量量都有效传传输，而只只要保证将将占据信号号能量主要要部分的频频率分量有有效传输即即可。为此此，需要对对信号定义义带宽。通通常有如下下定义带宽宽的方法:2.对包络是形状的频谱，通常定义主瓣宽度(即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。

下降到最大值的时对应的频率范围,此时带内信号分量占有信号总能量的1/2。1.以矩形脉冲冲为例，按按带宽的定定义，可以以得出，脉宽乘以带带宽等于常常数C(脉宽带宽宽积)。这这清楚地反反映了频域域和时域的的相反关系系。4.2周期信号的的傅立叶变变换到此为止，，我们对周周期信号用用傅立叶级级数表示，，非周期信信号用傅立立叶变换表表示。因为为数学描述述方法的不不一致，在在某些情况况下,会会给我们带带来不便。。但由于周周期信号不不满足Dirichlet条件，因而而不能直接接从定义出出发，建立立其傅立叶叶变换表示示。TheFourierTransformationofPeriodicSignals所对应的信号考查这表明周期性复指指数信号的的频谱是一一个冲激。于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为就有周期信号的傅立叶变换表示若则

这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数。例1：

例2：

例3：

均匀冲激串010例4.周周期性矩形形脉冲014.3连续时间傅傅立叶变换换的性质讨论傅立叶叶变换的性性质，旨在在通过这些些性质揭示示信号时域域特性与频频域特性之之间的关系系，同时掌掌握和运用用这些性质质可以简化化傅立叶变变换对的求求取。1.线线性:Linearity则PropertiesoftheContinuous-TimeFourierTransform若2.时时移:TimeShifting这表明信号号的时移只只影响它的的相频特性性，其相频频特性会增增加一个线线性相移。。则若3.共轭轭对称性:ConjugateandSymmetry若

则所以即若是实信号，则于是有:由可得即实部是偶函函数虚部是奇函函数若则可得出即：模是偶函数数，相位是是奇函数若则可得如果即信号是偶函数。则表明：实偶信号的的傅立叶变变换是偶函函数。表明是实函数。若即信号是奇函数，同样可以得出:所以又因为表明是奇函数表明是虚函数若则有:例:的频谱:101/20-1/21/20将分解为偶部和奇部有4.时域微微分与积分分:DifferentiationandIntegration(可将微分分运算转变变为代数运运算)(将两边对微分即得该性质)由时域积分特性从也可得到:（时域积分特性）则若5.时域和和频域的尺尺度变换:Scaling当时，有尺度变换特特性表明：：信号如果在在时域扩展展a倍倍，则其带带宽相应压压缩a倍倍，反之之亦然。这就从理论论上证明了了时域与频频域的相反反关系，也也证明了信信号的脉宽宽带宽积等等于常数的的结论。则若时域中的压压缩（扩展展）对应频频域中的扩扩展（压缩缩）6.对偶性性:Duality若则证明：也可由得到证明。根据得这就是移频特性例如:由有对偶关系利用时移特性有再次对偶有由对偶性可可以方便地地将时域的的某些特性性对偶到频频域由得所以频域微分特特性该特性也可可由对偶性性从时域微微分特性得得出:由有利用时域微分特性有对再次对偶得频域微分特特性由时域积分分特性，可可对偶出频频域积分特特性利用时域积分特特性再次对偶由有频域积分特特性7.Parseval定理:若则这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于表示了信号能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度”函数。4.4卷积性质TheConvolutionProperty一.卷积特特性：由于卷积特特性的存在在，使对LTI系统在频域域进行分析析成为可能能。本质上上，卷积特特性的成立立正是因为为复指数信信号是一切切LTI系统的特征征函数。则若由表明：故有可将分解成复指数分量的线性组合，每个通过LTI系统时都要受到系统与对应的特征值的加权。这个特征值就是所以

由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过LTI系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。

鉴于与是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的频率响应都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了二.LTI系统的频域域分析法:根据卷积特特性,可以以对LTI系统进行频频域分析,其过程程为:1.由2.根据系统的描述，求出3.4.4.5相乘性质TheMultiplicationProperty利用对偶性性可以从卷积性质质得出相乘乘性质若则两个信号在在时域相乘乘，可以看看成是由一一个信号控控制另一个个信号的幅幅度，这就就是幅度调制。其中一个个信号称为为载波，另一个是是调制信号。例1:移频性质例2.正弦幅度调调制:1001/2正弦幅度调调制等效于于在频域将将调制信号号的频谱搬搬移到载频频位置。例3.同步解调:1/21/41/4此时，用一个频率特性为的系统即可从恢复出。20只要即可。具有此频率率特性的LTI系统称为理想低通滤滤波器。例4.中心频率可可变的带通通滤波器：：A1理想低通的频率响应1等效带通滤滤波器

相当于从中直接用一个带通滤波器滤出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为的带通滤波器，改变即可实现中心频率可变。4.6傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表(自学)工程实际中中有相当广广泛的LTI系统其输入入输出关系系可以由一一个线性常常系数微分分方程描述述。一般形形式的LCCDE是:4.7由线性常系系数微分方方程表征的的系统一.由LCCDE描述的LTI系统的频率率特性:SystemsCharacterizedbyLinearConstant-CoefficientDifferentialEquations由于是一切LTI系统的特征函数，因此，当系统的输入为时，系统所产生的响应就是。表明在的情况下，求解LCCDE即可得到。但是这种方法太麻烦，很少使用。对LCCDE两边进行傅傅立叶变换换有：由于

可见由LCCDE描述的LTI系统其频率特性是一个有理函数。由此可以看出，对由LCCDE描述的LTI系统，当需要求得其时(比如时域分析时)，往往是由做反变换得到。对有理函数数求傅立叶叶反变换通通常采用部分分式展展开和利用常用变变换对进行。二.频率响响应的求法法：1.用微分分方程表征征的系统例：可见，对由微分方程程所描述的的系统通过过求频率响响应可以方方便地求出出其单位冲冲激响应。。2.以方框框图描述的的系统例：3.互联系系统的*级联:*并联:H1(j)H2(j)H1(j)H2(j)*反馈联联结:1.通过连续时时间傅立叶叶变换，建建立了将连连续时间信信号(包括括周期、非非周期信号号)分解为为复指数信信号分量的的线性组合合的方法。。2.通过讨论傅傅立叶变换换的性质，，揭示了信信号时域特特性与频域域特性的关关系。卷积积特性是LTI系统频域分分析方法的的理论基础础，相乘特特性则是通通信和信号号传输领域域各种调制制解调技术术的理论基基础。4.8小结Summary3.对LTI系统建立了了频域分析析的方法。。5.稳定的LTI系统可以通通过其频率率响应来描描述。4.对由LCCDE描述的LTI系统，可以很方便地由LCCDE或系统框图得到其。6.建立了系统统互联时，，系统频率率响应与各各子系统频频率响应的的关系。9、静夜四四无邻，，荒居旧旧业贫。。。1月-231月-23Saturday,January7,202310、雨中黄叶叶树，灯下下白头人。。。18:23:4718:23:4718:231/7/20236:23:47PM11、以我我独沈沈久，，愧君君相见见频。。。1月-2318:23:4718:23Jan-2307-Jan-2312、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。18:23:4718:23:4718:23Saturday,January7,202313、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。1月-231月-2318:23:4718:23:47January7,202314、他乡生白白发，旧国国见青山。。。07一月月20236:23:47下下午18:23:471月-2315、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。一月236:23下下午午1月-2318:23January7,202316、行行动动出出成成果果，，工工作作出出财财富富。。。。2023/1/718:23:4718:23:4707January202317、做前前，能能够环环视四四周；；做时时，你你只能能或者者最好好沿着着以脚脚为起起点的的射线线向前前。。。6:23:47下下午6:23下下午午18:23:471月-239、没有有失败败，只只有暂暂时停停止成成功！！。1月-231月-23Saturday,January7,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，但但是是不不努努力力却却什什么么改改变变也也没没有有。。。。18:23:4718:23:4718:231/7/20236:23:47PM11、成功就是日日复一日那一一点点小小努努力的积累。。。1月-2318:23:4718:23Jan-2307-Jan-2312、世间间成事事，不不求其其绝对对圆满满，留留一份份不足足，可可得无无限完完美。。。18:23:4718:23:4718:23Saturday,January7,202313、不知香积寺寺，数里入云云峰。。1月-231月-2318:23:4718:23:47January7,202314、意志坚强强的人能把把世界放在在手中像泥泥块一样任任意揉捏。。07一月月20236:23:47下下午18:23:471月-2315、楚塞三湘湘接，荆门门九派通。。。。一月236:23下下午1月-2318:23January7,202316、少年年十五五二十十时，，步行行夺得得胡马马骑。。。2023/1/718:23:4818:23:4807January202317、空山新